Awọn akọsilẹ iwe-iwe

Ni apẹrẹ yii, emi o ṣe akopọ diẹ ninu awọn imọran nipa ṣiṣe idiyele idibajẹ lati awọn data ti kii ṣe ayẹwo ni ọna kika mathematiki diẹ si. Awọn ọna meji ti o wa ni akọkọ: ilana ilana ti awọn idiyele, julọ ti o ni nkan ṣe pẹlu Judea Pearl ati awọn ẹlẹgbẹ, ati awọn ilana ti o pọju, julọ ti o ni ibatan pẹlu Donald Rubin ati awọn ẹlẹgbẹ rẹ. Mo ṣe agbekale awọn ilana iyọrisi ti o ṣeeṣe nitori pe o ni asopọ si ni pẹkipẹki si awọn imọran ninu awọn akọsilẹ mathematiki ni opin ori 3 ati 4. Fun diẹ sii lori ilana awọn ilana ifẹkufẹ, Mo ṣe iṣeduro Pearl, Glymour, and Jewell (2016) (ifarahan ) ati Pearl (2009) (to ti ni ilọsiwaju). Fun itọju atunyẹwo ti iwe-kikọ ti idiyele ti idibajẹ ti o dapọ awọn ilana iyọrisi ti o le ṣeeṣe ati ilana ilana ti awọn idiyele, Mo ṣe iṣeduro Morgan and Winship (2014) .

Àfojúsùn ti àfikún yii jẹ lati ṣe iranlọwọ fun ọ lati ni itara pẹlu akọsilẹ ati ara ti awọn iyọrisi ti o pọju ti aṣa ti o le ṣe iyipada si diẹ ninu awọn ohun elo imọran ti a kọ lori koko yii. Ni akọkọ, Emi yoo ṣe apejuwe awọn ilana ti o ni agbara. Nigbana ni, Emi yoo lo lati ṣe alaye siwaju sii nipa awọn adayeba adayeba gẹgẹbi ọkan nipasẹ Angrist (1990) lori ipa ti iṣẹ-ogun ni awọn ohun-ini. Àfikún yii ṣe pataki lori Imbens and Rubin (2015) .

Awọn ilana iyọrisi ti o pọju

Ilana awọn iṣoro ti o pọ julọ ni awọn ero pataki mẹta: awọn ẹya , awọn itọju , ati awọn esi ti o pọju . Lati le ṣe apejuwe awọn nkan wọnyi, jẹ ki a wo abajade ti a ti ṣe ayẹwo ti ibeere ti a koju ni Angrist (1990) : Kini ni ipa ti iṣẹ ologun lori awọn anfani? Ni idi eyi, a le ṣe ipinnu awọn ẹya lati jẹ awọn eniyan ti o yẹ fun idiyele 1970 ni United States, ati pe a le ṣe afiwe awọn eniyan wọnyi nipa \(i = 1, \ldots, N\) . Awọn itọju ni ọran yii le jẹ "ṣiṣẹ ni ihamọra" tabi "ko ṣiṣẹ ni ologun." Emi yoo pe awọn ipo itọju ati iṣakoso, emi o si kọ \(W_i = 1\) ti eniyan ba \(i\) wa ni ipo itọju ati \(W_i = 0\) ti eniyan \(i\) ba wa ni ipo iṣakoso. Níkẹyìn, awọn abajade ti o ṣeeṣe jẹ diẹ sii ni idiwọ pupọ nitori pe wọn ni awọn esi "agbara"; ohun ti o le ṣẹlẹ. Fun ẹni kọọkan ti o yẹ fun atunṣe ọdun 1970, a le rii iye ti wọn yoo ti ṣe ni 1978 ti wọn ba ṣiṣẹ ni ihamọra, eyi ti emi o pe \(Y_i(1)\) , ati iye ti wọn yoo ti ri ni 1978 ti wọn ko ba sin ni ologun, eyi ti emi o pe \(Y_i(0)\) . Ni awọn ilana ti o pọju ti o pọju, \(Y_i(1)\) ati \(Y_i(0)\) ni a kà awọn iwọn ti o wa titi, nigba ti \(W_i\) jẹ iyipada laileto.

Yiyan awọn ẹya, awọn itọju, ati awọn esi jẹ pataki nitori pe o ṣe alaye ohun ti o le-ati pe a ko le kọ lati inu iwadi naa. Iyanfẹ awọn ẹya-eniyan ti o yẹ fun atunṣe ọdun 1970-ko ni awọn obirin, ati bẹ laisi afikun awọn ero-inu, iwadi yii kii yoo sọ fun wa ohunkohun nipa ipa ti iṣẹ ologun lori awọn obirin. Awọn ipinnu nipa bi o ṣe le ṣalaye awọn itọju ati awọn iyọrisi jẹ pataki bi daradara. Fun apẹẹrẹ, yẹ ki o ṣe itọju ti awọn anfani ni idojukọ lori sisin ni ologun tabi iriri ija? Yoo ṣe ipinnu ti anfani ni owo tabi itẹlọrun iṣẹ? Nigbamii, awọn ipinnu, awọn itọju, ati awọn abajade yẹ ki o ṣaakiri nipasẹ awọn ijinle sayensi ati awọn eto imulo eto imulo ti iwadi naa.

Fun awọn iyipo ti awọn ẹya, awọn itọju, ati awọn abajade ti o pọju, ipa imolu ti itọju lori eniyan \(i\) , \(\tau_i\) , jẹ

\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]

Ni awọn ọrọ miiran, a ṣe afiwe iye eniyan ti \(i\) yoo ti ṣe lẹhin ti o ba nsise si iye eniyan ti \(i\) yoo ti ṣe laisi sìn. Fun mi, eq. 2.1 jẹ ọna ti o dara julọ lati ṣetan ipa ipa, ati pe paapaa lalailopinpin, ilana yii wa jade si ọpọlọpọ awọn ọna ti o ṣe pataki (Imbens and Rubin 2015) .

Nigbati o ba nlo ilana awọn abajade ti o pọju, Mo maa rii pe o ṣe iranlọwọ lati kọ tabili kan ti o fihan awọn abajade ti o ṣeeṣe ati awọn itọju ipa fun gbogbo awọn ẹya (tabili 2.5). Ti o ko ba le ṣe akiyesi tabili bi eleyi fun iwadi rẹ, lẹhinna o le nilo lati wa ni pato diẹ ninu awọn itumọ rẹ ti awọn ẹya rẹ, awọn itọju, ati awọn esi ti o pọju.

Nigbati o ṣalaye ipa ipa ti ọna bayi, sibẹsibẹ, a ma ṣoro sinu iṣoro kan. Ni gbogbo igba diẹ, a ko ni lati ṣe akiyesi awọn abajade ti o pọju. Iyẹn ni, eniyan kan ti o ṣe iranṣẹ tabi ko sin. Nitorina, a ṣe akiyesi ọkan ninu awọn esi ti o ṣeeṣe- \(Y_i(1)\) tabi \(Y_i(0)\) - ṣugbọn kii ṣe mejeji. Awọn ailagbara lati ṣe akiyesi awọn abajade ti o pọju mejeji jẹ iru iṣoro nla kan ti Holland (1986) pe o ni Iṣoro pataki ti Causal Inference .

O da, nigba ti a nṣe iwadi, a ko ni ọkan kan; dipo, a ni ọpọlọpọ awọn eniyan, ati eyi nfunni ni ọna ti o wa ni ayika Agbegbe Ipilẹ Causal Inference. Dipo igbiyanju lati ṣe iṣiro ipa ipa-itọju ẹni kọọkan, a le ṣe iṣeduro idiyele itọju ilera fun gbogbo awọn ẹya:

\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]

Iwọn idogba yii ni a tun fi han ni awọn ofin ti \(\tau_i\) , eyiti ko le ṣe iyipada, ṣugbọn pẹlu diẹ aljebra (eq 2.8 ti Gerber and Green (2012) ), a gba

\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]

Eyi fihan pe ti a ba le ṣe iṣiro iye abajade iye eniyan ni ibamu si itọju ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) ati abajade apapọ iye eniyan labẹ iṣakoso ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), lẹhinna a le ṣe itọkasi ipa itọju apapọ, paapa laisi isọye ipa itọju fun eyikeyi eniyan kan.

Nisisiyi pe Mo ti sọ asọye wa-ohun ti a n gbiyanju lati ṣeyeye-Emi yoo yipada si bi a ṣe le ṣafihan rẹ gangan pẹlu data. Ati nihin a ma n lọ sinu iṣoro ti a nṣe akiyesi ọkan ninu awọn abajade ti o le ṣeeṣe fun ẹni kọọkan; a ri boya \(Y_i(0)\) tabi \(Y_i(1)\) (tabili 2.6). A le ṣe iṣeduro idiyele itọju apapọ nipasẹ fifiwe owo ti awọn eniyan ti o ṣiṣẹ si awọn owo ti awọn eniyan ti ko sin:

\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]

nibiti \(N_t\) ati \(N_c\) jẹ awọn nọmba ti awọn eniyan ni awọn itọju ati iṣakoso awọn ipo. Ilana yii yoo ṣiṣẹ daradara ti iṣẹ iyọọda naa ba jẹ ominira lati awọn iyọrisi ti o ṣeeṣe, ipo ti a npe ni aiṣedeede . Laanu, ni aisi isanwo kan, aṣiwère ko nigbagbogbo ni itẹlọrun, eyi ti o tumọ si pe ẹri ni eq. 2.4 ko ṣee ṣe lati ṣe iṣiro to dara julọ. Ọna kan lati ronu nipa rẹ ni pe ni laisi iṣẹ iyasọtọ ti itọju, eq. 2.4 ko ṣe afiwe bi pẹlu iru; o ṣe afiwe awọn owo-ori ti awọn oriṣiriṣi awọn eniyan. Tabi ṣafihan diẹ lọtọ, laisi iṣẹ iyipo ti aanidii, itọju itọju naa ni o ni ibatan si awọn iṣoro ti o ṣeeṣe.

Ninu ori 4, Mo ṣe apejuwe bi iṣeduro iṣakoso ti a ko le ṣetọju le ṣe iranlọwọ fun awọn oluwadi ni idiyele idiyele, ati nibi emi yoo ṣe apejuwe bi awọn oniwadi ṣe le lo awọn igbadun ti ara, gẹgẹbi awọn igbiyanju lotiri.

Awọn adanwo adayeba

Ọna kan lati ṣe awọn idiyele idiyele laisi ṣiṣe idanwo kan ni lati wa ohun kan ti n ṣẹlẹ ni agbaye ti o ti fi itọju kan fun ọ laileto. Eyi ni a npe ni awọn adanwo adayeba . Ni ọpọlọpọ awọn ipo, laanu, iseda ko le ṣe itọju naa lailewu ti o fẹ fun awọn eniyan ti iwulo. Ṣugbọn nigbamiran, iseda n ṣe ipinnu itọju kan ni iṣeto. Ni pato, Emi yoo ṣe akiyesi ọran naa nibi ti itọju diẹ miiran ti n ṣe iwuri fun awọn eniyan lati gba itọju akọkọ . Fun apere, a le ṣe ayẹwo igbadun naa ni itọju akọkọ ti a pese laileto ti o ni iwuri diẹ ninu awọn eniyan lati lo itọju akọkọ, eyiti o wa ni ihamọra. Oniru yii ni a npe ni imudaniloju itumọ . Ati ọna imọran ti Emi yoo ṣe apejuwe lati mu ipo yii ni a maa n pe awọn ayipada ohun-elo . Ni ipilẹ yii, pẹlu awọn imọran, awọn oluwadi le lo itunu lati ni imọ nipa ipa ti itọju akọkọ fun ipinlẹ pataki ti awọn ẹya.

Lati le mu awọn itọju ti o yatọ meji naa-iwuri ati itọju akọkọ-a nilo diẹ ninu awọn iwifunni tuntun. Ṣebi pe diẹ ninu awọn eniyan ti wa ni ṣiṣẹ laileto ( \(Z_i = 1\) ) tabi ko ṣiṣẹ ( \(Z_i = 0\) ); ni ipo yii, \(Z_i\) ni a npe ni ohun elo .

Ninu awọn ti a ti kọ silẹ, diẹ ninu awọn ti ṣiṣẹ ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) ati diẹ ninu awọn ko ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) ). Bakannaa, laarin awọn ti a ko ṣe lẹkọ, diẹ ninu awọn ti ṣiṣẹ ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) ati diẹ ninu awọn ko ( \(Z_i = 0, W_i = 0\) ). Awọn abajade ti o ṣeeṣe fun olúkúlùkù ènìyàn le wa ni igbanwo lati ṣe afihan ipo wọn fun awọn iwuri ati itọju naa. Fun apẹẹrẹ, jẹ ki \(Y(1, W_i(1))\) jẹ awọn owo-owo ti eniyan \(i\) ti o ba ti ṣiṣẹ, ni ibi ti \(W_i(1)\) jẹ ipo iṣẹ rẹ ti o ba ṣajọ. Pẹlupẹlu, a le pin awọn eniyan sinu awọn ẹgbẹ mẹrin: awọn ọmọ-ọdọ, awọn alaiṣe-ara, awọn aṣiṣe, ati awọn alakoso nigbagbogbo (tabili 2.7).

Ṣaaju ki a to jiroro lori isọtẹlẹ ipa ti itọju (ie, iṣẹ ologun), a le ṣe alaye akọkọ awọn ipa meji ti iwuri (ie, ti a ṣaṣẹ). Ni akọkọ, a le ṣe alaye ipa ti itunu lori itọju akọkọ. Keji, a le ṣalaye ipa ti itunu lori abajade. O yoo jade pe awọn ipa meji wọnyi le ni idapo lati pese iṣeduro kan ti ipa ti itọju lori ẹgbẹ kan pato ti awọn eniyan.

Ni akọkọ, awọn itumọ ti iwuri lori itọju ni a le ṣe alaye fun eniyan \(i\) bi

\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]

Pẹlupẹlu, opoiye yii le ti ṣe alaye lori gbogbo olugbe bi

\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]

Níkẹyìn, a le ṣe \(\text{ITT} _{W}\) nipa lilo data:

\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]

nibiti \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) ni oṣuwọn itọju ti a ṣe akiyesi fun awọn ti a iwuri ati \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) jẹ oṣuwọn itọju ti a ṣe akiyesi fun awọn ti a ko ni iwuri. \(\text{ITT}_W\) ni a maa n pe oṣuwọn igbesoke .

Nigbamii ti, ipa ti itunu lori abajade le ṣee ṣe alaye fun eniyan \(i\) bi:

\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]

Pẹlupẹlu, opoiye yii le ti ṣe alaye lori gbogbo olugbe bi

\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]

Níkẹyìn, a le ṣéye \(\text{ITT}_{Y}\) nipa lilo data:

\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]

nibi ti \(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) jẹ abajade ti a ṣe akiyesi (fun apẹẹrẹ, awọn dukia) fun awọn ti a ni iwuri (fun apẹrẹ, iwe) ati \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) jẹ abajade ti a ṣe ayẹwo fun awọn ti a ko ni iwuri.

Nikẹhin, a tan ifojusi wa si ipa ti anfani: ipa ti itọju akọkọ (fun apẹẹrẹ, iṣẹ ologun) lori abajade (fun apẹẹrẹ, awọn owo-ori). Laanu, o han pe ọkan ko le, ni apapọ, ṣe iṣiro ipa yii lori gbogbo awọn ẹya. Sibẹsibẹ, pẹlu diẹ ninu awọn imọran, awọn oluwadi le ṣe akiyesi ipa ti itọju lori awọn alabapade (ie, awọn eniyan ti yoo sin ti o ba ṣiṣẹ ati awọn eniyan ti yoo ko sin ti ko ba ṣe iwe aṣẹ, tabili 2.7). Emi yoo pe idiwọn yii ni ipa ipa ti o pọju (CACE) (eyiti a tun n pe ni itọju abojuto agbegbe , LATE):

\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]

nibiti \(G_i\) fi fun ẹgbẹ ti eniyan \(i\) (wo tabili 2.7) ati \(N_{\text{co}}\) jẹ nọmba awọn oniṣẹ. Ni awọn ọrọ miiran, eq. 2.11 ṣe afiwe awọn owo-owo ti awọn oniṣẹ ti a ti ṣe akojọpọ \(Y_i(1, W_i(1))\) ati ki o ko ṣe akojọ \(Y_i(0, W_i(0))\) . Awọn ẹri ni eq. 2.11 dabi pe o ṣòro lati ṣe apejuwe lati ṣakiye data nitori pe ko ṣeeṣe lati ṣe idanimọ awọn onipaṣe pẹlu lilo data nikan ti a ṣakiyesi (lati mọ bi ẹnikan ba ṣe apọnju iwọ yoo nilo lati ṣe akiyesi boya o wa ni akoko ti a ti kọwe ati boya o wa nigba ti a ko ṣiṣẹ).

O wa ni ita-ni iyalenu-pe ti o ba wa ni awọn oludiṣẹ eyikeyi, lẹhinna pese ọkan ṣe awọn iṣaro afikun mẹta, o ṣee ṣe lati ṣe išeduro CACE lati data akiyesi. Ni akọkọ, ọkan ni lati ro pe iṣẹ-ṣiṣe si itọju ni aṣiṣe. Ninu ọran ti yiyan osere yi o jẹ otitọ. Sibẹsibẹ, ninu awọn eto kan nibiti awọn igbadun adayeba ko dale lori iṣeduro ti ara, iṣaro yii le jẹ iṣoro diẹ sii. Keji, ọkan ni lati ro pe wọn kii ṣe idiwọ (eyi ni a npe ni iropọ monotonicity nigbakanna). Ni ipo ti o ṣe apejuwe ti o dabi pe o yẹ lati ro pe awọn eniyan pupọ wa ti kii yoo sin ti wọn ba ṣiṣẹ ati pe yoo sin bi a ko ba ṣiṣẹ. Ẹkẹta, ati nikẹhin, wa ni ero pataki julọ ti a pe ni ihamọ iyasoto . Laisi idinamọ iyasoto, ọkan ni lati ro pe gbogbo ipa ti iṣẹ iyọọda naa ti kọja nipasẹ itọju naa. Ni gbolohun miran, ọkan ni lati ro pe ko si itọsọna gangan ti iwuri lori awọn esi. Ni ọran ti yiyan osere, fun apẹẹrẹ, ọkan nilo lati ro pe ipo idiyele ko ni ipa lori awọn anfani miiran ju nipasẹ iṣẹ-ogun (nọmba 2.11). Awọn iyasoto iyasoto le ni ipalara ti o ba jẹ, fun apẹẹrẹ, awọn eniyan ti a ti kọ silẹ lo diẹ akoko ni ile-iwe lati yago fun iṣẹ tabi ti awọn agbanisiṣẹ jẹ kere julọ lati bẹwẹ awọn eniyan ti o ni iwe-aṣẹ.

Atọka 2.11: Ihamọ iyasoto nbeere pe igbiyanju (titẹda otutu) ni ipa lori abajade (awọn oya) nikan nipasẹ itọju naa (iṣẹ ologun). Awọn ihamọ iyasoto le ni ipalara ti o ba jẹ, fun apẹẹrẹ, awọn eniyan ti a ti kọ silẹ lo akoko pupọ ni ile-iwe lati yago fun iṣẹ ati pe akoko ti o pọ si ile-iwe ni o mu ki awọn owo ti o ga julọ.

Ti awọn ipo mẹta yii (iṣẹ iyasilẹtọ si itọju, ko si awọn iyọọda, ati idinamọ iyasoto) ni a pade, lẹhinna

\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]

nitorina a le ṣe itọkasi ṣe ayẹwo:

\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]

Ọna kan lati ronu nipa CACE ni pe o jẹ iyatọ ninu awọn esi laarin awọn ti a ni iwuri ati awọn ti a ko ni iwuri, ti o pọ si nipasẹ iṣiro itọju.

Awọn ihò pataki meji wa lati wa ni lokan. Ni akọkọ, iyasọtọ iyasoto jẹ eroja ti o lagbara, o si nilo lati wa ni lare lori ilana idajọ nipa idajọ, eyi ti o nbeere ni imọ-aaye-agbegbe. Awọn ihamọ iyasoto ko le ṣe idalare pẹlu iṣeduro ti iwuri. Keji, ipenija to wulo ti o ṣe pẹlu imọran iyipada ti o wulo jẹ nigbati igbiyanju naa ko ni ipa diẹ lori ifojusi itọju (nigbati \(\text{ITT}_W\) jẹ kekere). Eyi ni a npe ni ohun elo ti ko lagbara , o si nyorisi awọn iṣoro pupọ (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) . Ọnà kan lati ronu nipa iṣoro pẹlu awọn ohun elo ti ko lagbara ni pe \(\widehat{\text{CACE}}\) le jẹ aifọwọyi si awọn ipalara kekere ni \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) - ni pato nitori awọn ibajẹ ti ihamọ iyasoto-nitori awọn ipalara wọnyi ti ni igbega nipasẹ kekere \(\widehat{\text{ITT}_W}\) (wo eq 2.13). Ni irẹwẹsi, ti itọju ti iseda aye ko ni ipa nla lori itọju ti o ni abojuto, lẹhinna o yoo ni akoko lile lati kọ nipa itọju ti o ni abojuto.

Wo ori 23 ati 24 ti Imbens and Rubin (2015) fun ọna ti o ni ilọsiwaju ti ijiroro yii. Ilana ọna-ọrọ ti ibile ti a ṣe si awọn iyipada ohun-elo jẹ eyiti a ṣalaye ni awọn ọna ti idasi awọn idogba, kii ṣe awọn abajade ti o le ṣe. Fun ifihan lati inu irisi miiran, wo Angrist and Pischke (2009) , ati fun iṣaro laarin awọn ọna meji, wo apakan 24.6 ti Imbens and Rubin (2015) . Yiyatọ, diẹ die kere si fifiranṣẹ ti awọn ọna ayọkẹlẹ ti awọn ohun-elo irin-ajo wa ni ori 6 ti Gerber and Green (2012) . Fun diẹ sii lori idinamọ iyasoto, wo D. Jones (2015) . Aronow and Carnegie (2013) ṣafihan apejuwe afikun ti awọn ero ti a le lo lati ṣe iṣiro ATE ju CACE lọ. Fun diẹ ẹ sii lori bi awọn adanwo adayeba le jẹ gidigidi ti o tọ lati ṣe itumọ, wo Sekhon and Titiunik (2012) . Fun ifihan diẹ sii si awọn adanwo adayeba-ọkan ti o kọja kọja awọn oniyipada awọn ohun elo ọna lati tun pẹlu awọn aṣa bii idinudinku iwa-ipa-wo Dunning (2012) .