Awọn akọsilẹ iwe-iwe

Ni apẹrẹ yii, Mo ṣe apejuwe diẹ ninu awọn imọran lati ori yii ni fọọmu mathematiki diẹ si die. Atokun nibi ni lati ṣe iranlọwọ fun ọ lati ni itunu pẹlu ilana imọ-ọrọ ati imo-ẹkọ mathematiki ti awọn oluwadi iwadi nlo ki o le ṣe iyipada si diẹ ninu awọn ohun elo imọ-ẹrọ diẹ ti a kọ lori awọn koko wọnyi. Emi yoo bẹrẹ pẹlu ṣe afihan iṣapẹẹrẹ iṣeeṣe, lẹhinna gbe si iṣeduro iṣeeṣe pẹlu laisi idahun, ati nikẹhin, iṣeduro ti kii ṣe iṣeeṣe.

Aṣaṣe idiṣe

Gẹgẹbi apẹẹrẹ ti nṣiṣẹ, jẹ ki a ṣe akiyesi ìlépa ti isọdọye oṣuwọn alainiṣẹ ni United States. Jẹ ki \(U = \{1, \ldots, k, \ldots, N\}\) jẹ awọn eniyan afojusun ati ki o jẹ ki \(y_k\) nipasẹ iye ti iyipada abajade fun ẹni \(k\) . Ni apẹẹrẹ yi \(y_k\) jẹ boya ẹni \(k\) jẹ alainiṣẹ. Níkẹyìn, jẹ ki \(F = \{1, \ldots, k, \ldots, N\}\) jẹ nọmba ti awọn igi, eyi ti o jẹ pe o jẹ pe o rọrun ni iyatọ.

Ipilẹ iṣeduro iṣowo jẹ rọrun iṣeduro ID lai rirọpo. Ni ọran yii, ẹni kọọkan ni o ṣeeṣe lati wa ninu apẹẹrẹ \(s = \{1, \ldots, i, \ldots, n\}\) . Nigba ti a ba gba data naa pẹlu apẹẹrẹ itọnisọna yi, awọn oluwadi le ṣe itọkasi iye oṣuwọn alainiṣẹ ti ko niiṣe pẹlu itọwo apejuwe:

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{\sum_{i \in s} y_i}{n} \qquad(3.1)\]

nibi ti \(\bar{y}\) jẹ oṣuwọn alainiṣẹ ninu awọn eniyan ati \(\hat{\bar{y}}\) jẹ iṣiro ti oṣuwọn alainiṣẹ (ti \(\hat{ }\) jẹ wọpọ lo lati ṣe afihan nkan kan).

Ni otito, awọn oluwadi nlo lati lo iṣowo ti o rọrun laisi iyipada. Fun awọn oriṣi idi (ọkan ninu eyi ti Emi yoo ṣe apejuwe ni akoko kan), awọn oluwadi maa n ṣẹda awọn ayẹwo pẹlu awọn idiṣe ti ko ṣe afihan ti isopọ. Fun apẹẹrẹ, awọn oluwadi le yan awọn eniyan ni Florida pẹlu ifarahan ti o ga julọ ju awọn eniyan lọ ni California. Ni idi eyi, aṣiṣe ayẹwo (eq. 3.1) ko le jẹ oluṣeto to dara. Dipo, nigbati o ba wa awọn idiṣe ti iṣaṣe ti iyasọtọ, awọn oluwadi lo

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{1}{N} \sum_{i \in s} \frac{y_i}{\pi_i} \qquad(3.2)\]

nibi ti \(\hat{\bar{y}}\) jẹ iṣiro ti oṣuwọn alainiṣẹ ati \(\pi_i\) jẹ aṣiṣe eniyan ti \(i\) ti isopọ. Ni ibamu si iwa ti o ṣe deede, Emi yoo pe ẹri ni eq. 3.2 ẹya estimọ Horvitz-Thompson. Idiyelọ Horvitz-Thompson jẹ wulo julọ nitori pe o nyorisi awọn idiyele ti a ko ni iyasọtọ fun eyikeyi apẹẹrẹ itọnisọna iṣeeṣe (Horvitz and Thompson 1952) . Nitori ipinnu Horvitz-Thompson wa soke bẹ nigbagbogbo, o wulo lati ṣe akiyesi pe o le tun-kọ bi

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{1}{N} \sum_{i \in s} w_i y_i \qquad(3.3)\]

nibi ti \(w_i = 1 / \pi_i\) . Bi eq. 3.3 fi han, ipinnu Horvitz-Thompson jẹ apẹrẹ ayẹwo ti o wa ni ibi ti awọn òṣuwọn wa ni ibamu pẹlu iṣeeṣe ti asayan. Ni awọn ọrọ miiran, ti o kere julọ le jẹ pe a gbọdọ fi ọkan kun ninu apẹẹrẹ, iye diẹ ti eniyan yẹ ki o wa ni isọmọ.

Gẹgẹbi a ti ṣalaye rẹ tẹlẹ, awọn oluwadi nigbagbogbo n ṣalaye awọn eniyan pẹlu awọn idiṣe ti koṣeye ti ifisi. Apeere kan ti apẹrẹ kan ti o le ja si awọn aṣiṣe ti ko ṣe afihan ti isopọ jẹ samisi iṣeduro , eyi ti o ṣe pataki lati ni oye nitori pe o ni ibatan pẹkipẹrẹ pẹlu ilana iṣeduro ti a npe ni post-stratification . Ni apẹẹrẹ iṣeduro, aṣàwákiri kan pin awọn eniyan ti o ni opin si awọn ẹgbẹ \(H\) ni iyasoto ti o ni iyasọtọ ati awọn ẹgbẹ pipe. Awọn ẹgbẹ yii ni a npe ni strata ati pe a fihan bi \(U_1, \ldots, U_h, \ldots, U_H\) . Ni apẹẹrẹ yi, iyọ ni awọn ipinle. Awọn titobi ti awọn ẹgbẹ ni a fihan bi \(N_1, \ldots, N_h, \ldots, N_H\) . Aṣiriwadi le fẹ lo ọja-iṣowo ti o ni iyọdaju lati rii daju pe o ni eniyan to ni ipo kọọkan lati ṣe ipinnu ipo-ipinle ti alainiṣẹ.

Lọgan ti awọn eniyan ti pin si okun , ro pe oluwadi yan aṣayan ti o rọrun laisi iyipada ti iwọn \(n_h\) , ominira lati ara kọọkan. Siwaju sii, ro pe gbogbo eniyan ti a yan ninu ayẹwo jẹ oluranlowo (Emi yoo mu awọn kii-idahun ni aaye to wa). Ni idi eyi, iṣeeṣe ti ifisi jẹ

\[ \pi_i = \frac{n_h}{N_h} \mbox{ for all } i \in h \qquad(3.4)\]

Nitori awọn iṣeṣe wọnyi le yatọ lati eniyan si eniyan, nigbati o ba ṣe idaduro lati inu apẹẹrẹ iṣeduro yi, awọn oluwadi nilo lati ṣe iwọn olukuluku ti o dahun nipa iyatọ ti aiṣe-ifarahan wọn nipa lilo aṣasọtọ Horvitz-Thompson (eq 3.2).

Biotilẹjẹpe oluimọ Horvitz-Thompson jẹ alailẹgbẹ, awọn oluwadi le ṣe awọn iṣeduro diẹ sii (ie, iyatọ) diẹ nipa pipọ ayẹwo pẹlu alaye iranlọwọ . Diẹ ninu awọn eniyan ri i ni iyalenu pe otitọ yii jẹ otitọ paapaa nigba ti a ti ṣe ayẹwo apẹẹrẹ iṣeeṣe daradara. Awọn imuposi wọnyi nipa lilo awọn alaye iranlọwọ jẹ pataki julọ nitori pe, bi emi yoo ṣe afihan nigbamii, alaye iranlọwọ jẹ pataki fun ṣiṣe awọn nkan lati awọn apẹẹrẹ iṣeeṣe pẹlu airesi ati lati awọn ayẹwo ti kii ṣe iṣeeṣe.

Ọna kan ti o wọpọ fun lilo awọn alaye iranlọwọ iranlọwọ jẹ ipilẹ-lẹhin . Fojuinu, fun apẹẹrẹ, pe oluwadi kan mọ nọmba awọn ọkunrin ati awọn obinrin ni ipinle kọọkan 50; a le sọ awọn titobi ẹgbẹ wọnyi bi \(N_1, N_2, \ldots, N_{100}\) . Lati darapọ awọn alaye iranlọwọ iranlọwọ pẹlu ayẹwo, oluwadi naa le pin ayẹwo si awọn ẹgbẹ ( \(H\) (ninu idi eyi 100), ṣe idasilẹ fun ẹgbẹ kọọkan, lẹhinna ṣẹda apapọ apapọ ti awọn ẹgbẹ yii tumọ si:

\[ \hat{\bar{y}}_{post} = \sum_{h \in H} \frac{N_h}{N} \hat{\bar{y}}_h \qquad(3.5)\]

Lai ṣe pataki, ẹri ni eq. 3.5 o le ṣe deede nitori pe o nlo alaye agbegbe ti a mọ-ti \(N_h\) - lati \(N_h\) deede ti o ba jẹ ayẹwo ti ko ni aiṣe ti a yan. Ọna kan lati ronu nipa rẹ ni pe igbasilẹ post-ti-ni-ni-ni-ni-ni-ni-ni-ni-ni-ni-ni-ni-ni-ni-sunmọ lẹhin ti o ti gba data tẹlẹ.

Ni ipari, apakan yii ti ṣalaye awọn aṣa diẹ ẹ sii: awọn iṣeduro iṣowo laiṣe awọn iyipada, iṣapẹẹrẹ pẹlu iṣedede idibajẹ, ati samisi iṣeduro. O tun ti ṣe apejuwe awọn ero akọkọ pataki nipa isanwo: Estimate Horvitz-Thompson ati igbejade post-stratification. Fun alaye ti o ni imọran diẹ si awọn aṣa imudaniloju iṣeṣe, wo ori keji 2 ti Särndal, Swensson, and Wretman (2003) . Fun ilana itọju ti o dara julọ ati imudaniloju ti iṣeduro ifọwọkan, wo apakan 3.7 ti Särndal, Swensson, and Wretman (2003) . Fun apejuwe imọran ti awọn ohun-ini ti estimas Horvitz-Thompson, wo Horvitz and Thompson (1952) , Overton and Stehman (1995) , tabi apakan 2.8 ti @ sarndal_model_2003. Fun itọju ti o ni ipa diẹ si igbasilẹ lẹhin igbimọ, wo Holt and Smith (1979) , Smith (1991) , Little (1993) , tabi apakan 7.6 ti Särndal, Swensson, and Wretman (2003) .

Aṣeyọri iṣapẹẹrẹ pẹlu nonresponse

O fẹrẹ pe gbogbo awọn iwadi iwadi gangan ni idaamu; eyini ni, kii ṣe gbogbo eniyan ti o wa ninu olugbe ayẹwo ti dahun ibeere gbogbo. Awọn ọna akọkọ ti kii ṣe idahun ni meji: ohun ko dahun ati idahun aifọwọyi . Ni ohun kan ko dahun, diẹ ninu awọn oluwadi ko dahun diẹ ninu awọn ohun kan (fun apẹẹrẹ, awọn oluranniran miiran ko fẹ lati dahun awọn ibeere ti wọn ṣe kà pe o ni aiyipada). Ni aifọwọyi aifọwọyi, diẹ ninu awọn eniyan ti a yan fun orilẹ-ede apejuwe ko dahun si iwadi naa rara. Awọn idi ti o wọpọ julọ fun idahun aifọwọyi ni pe a ko le kan si eniyan ti a sampled ati pe a gba olubasọrọ naa ni imọran ṣugbọn o kọ lati kopa. Ni apakan yii, emi yoo fojusi si aifọwọyi aifọwọyi; awọn onkawe si nife ninu esi ko yẹ lati rii Little ati Rubin (2002) .

Awọn oniwadi nigbagbogbo n ronu nipa awọn iwadi pẹlu iyasọtọ ti aifọwọyi gẹgẹbi ọna ilana iṣapẹẹrẹ meji-ipele. Ninu awọn ipele akọkọ, awọn awadi yan a ayẹwo \(s\) iru awọn ti kọọkan eniyan ni o ni a iṣeeṣe ti ifisi \(\pi_i\) (ibi ti \(0 < \pi_i \leq 1\) ). Lẹhinna, ni ipele keji, awọn eniyan ti a yan sinu ayẹwo ṣe idahun pẹlu iṣeeṣe \(\phi_i\) (nibi ti \(0 < \phi_i \leq 1\) ). Igbesẹ meji-ipele yii ni o ni abajade ipari ti awọn idahun \(r\) . Iyatọ pataki laarin awọn ipele meji yii ni pe awọn oluwadi ṣakoso ilana ti yiyan apejuwe, ṣugbọn wọn ko ṣakoso eyi ti awọn eniyan ti o ṣe ayẹwo ni o di awọn idahun. Fifi awọn ilana wọnyi mejeji jọ, iṣeeṣe pe ẹnikan yoo jẹ olufokunran jẹ

\[ pr(i \in r) = \pi_i \phi_i \qquad(3.6)\]

Fun idi ti ayedero, Emi yoo ṣe akiyesi ọran naa nibi ti apẹrẹ ayẹwo akọkọ jẹ rọrun iṣeduro ID lai rirọpo. Ti oluwadi ba yan apẹẹrẹ iwọn \(n_s\) ti o ni awọn \(n_r\) , ti o ba jẹ pe oluwadi ko kọ esi ti kii ṣe idahun ati pe o nlo awọn ti o dahun, lẹhinna ipalara ti iṣiro yoo jẹ:

\[ \mbox{bias of sample mean} = \frac{cor(\phi, y) S(y) S(\phi)}{\bar{\phi}} \qquad(3.7)\]

nibi ti \(cor(\phi, y)\) jẹ idapọ awọn eniyan laarin iyọdaba esi ati abajade (fun apẹẹrẹ, ipo alainiṣẹ), \(S(y)\) jẹ iyatọ ti awọn eniyan ti abajade (fun apẹẹrẹ, alainiṣẹ ipo), \(S(\phi)\) jẹ iyatọ boṣewa iye eniyan ti abajade idahun, ati \(\bar{\phi}\) jẹ iye eniyan ti o tumọ si (Bethlehem, Cobben, and Schouten 2011, sec. 2.2.4) .

Eq. 3.7 fihan pe airesi yoo ko ṣe iyasọtọ ti eyikeyi ti awọn ipo wọnyi ba pade:

• Ko si iyatọ ninu ipo alainiṣẹ \((S(y) = 0)\) .
• Ko si iyatọ ninu awọn ohun elo idahun \((S(\phi) = 0)\) .
• Ko si atunṣe laarin iyọọda esi ati ipo alainiṣẹ \((cor(\phi, y) = 0)\) .

Laanu, ko si ọkan ninu awọn ipo wọnyi ṣeese. O dabi pe o ṣeeṣe pe ko si iyatọ ninu ipo iṣẹ tabi pe ko si iyatọ ninu awọn ohun elo idahun. Bayi, ọrọ pataki ni eq. 3.7 ni ibamu: \(cor(\phi, y)\) . Fun apẹẹrẹ, ti awọn eniyan ba jẹ pe alainiṣẹ ni o le ṣe idahun, lẹhinna oṣuwọn oojọ ti a pinnu fun ni yoo lọ si oke.

Awọn ẹtan lati ṣe awọn idiyele nigbati ko si idahun ni lati lo awọn alaye iranlọwọ. Fún àpẹrẹ, ọnà kan nínú èyí tí o le lo ìwífún olùrànlọwọ jẹ ìdúró-ìsọdipúpọ (rántí eq 3.5 láti òkè). O wa ni wi pe iyasọtọ ti nkan ti o ni iyọ si post-stratification ni:

\[ bias(\hat{\bar{y}}_{post}) = \frac{1}{N} \sum_{h=1}^H \frac{N_h cor(\phi, y)^{(h)} S(y)^{(h)} S(\phi)^{(h)}}{\bar{\phi}^{(h)}} \qquad(3.8)\]

nibi ti \(cor(\phi, y)^{(h)}\) , \(S(y)^{(h)}\) , \(S(\phi)^{(h)}\) , ati \(\bar{\phi}^{(h)}\) wa ni apejuwe bi o ti loke sugbon o ni ihamọ si awọn eniyan ni ẹgbẹ \(h\) (Bethlehem, Cobben, and Schouten 2011, sec. 8.2.1) \(h\) (Bethlehem, Cobben, and Schouten 2011, sec. 8.2.1) . Bayi, ibanujẹ ti o tobi julọ yoo jẹ kekere ti o ba jẹ pe iyọọda ninu ẹgbẹ kọọkan ti o ni ipamọ ni kekere. Awọn ọna meji wa ti Mo fẹ lati ronu nipa ṣiṣe kekere iyọọda ni ẹgbẹ kọọkan ti o ni ipilẹ. Ni akọkọ, o fẹ gbiyanju lati dagba awọn ẹgbẹ ọtọọtọ nibiti o wa ni iyatọ pupọ ninu idahun esi ( \(S(\phi)^{(h)} \approx 0\) ) ati abajade ( \(S(y)^{(h)} \approx 0\) ). Keji, o fẹ lati ṣe awọn ẹgbẹ ni ibi ti awọn eniyan ti o ri ti dabi awọn eniyan ti o ko ri ( \(cor(\phi, y)^{(h)} \approx 0\) ). Itọkasi eq. 3.7 ati eq. 3.8 ṣe iranlọwọ lati ṣalaye nigbati ipilẹṣẹ-ifiweranṣẹ le dinku iṣedede ti awọn alaiṣẹ ko da.

Ni ipari, apakan yii ti pese apẹẹrẹ fun apẹẹrẹ iṣeeṣe pẹlu awọn kii kii ṣe idahun ati ki o han iyasọtọ ti aiyipada ko le mu awọn mejeeji laisi ati pẹlu awọn atunṣe post-stratification. Bethlehem (1988) nfunni ni igbasilẹ ti ipalara ti awọn alaiṣẹ fun awọn aṣa iṣowo ti o pọju sii. Fun diẹ ẹ sii lori lilo iṣelọpọ post lati ṣatunṣe fun idahun, wo Smith (1991) ati Gelman and Carlin (2002) . Igbẹhin igbesilẹ jẹ apakan ti awọn ẹgbẹ ti o ni imọran gbogbogbo ti a npe ni awọn ayẹwo estimasẹ, wo Zhang (2000) fun itọju ti ipari-ọrọ ati Särndal and Lundström (2005) fun itọju ti ipari-iwe. Fun diẹ sii lori awọn ọna miiran ti o niwọnwọn fun atunṣe fun idahun, wo Kalton and Flores-Cervantes (2003) , Brick (2013) , ati Särndal and Lundström (2005) .

Ami-iṣe iṣe-iṣeeṣe

Apẹẹrẹ iṣe-iṣeeṣe kan pẹlu ọpọlọpọ awọn orisirisi awọn aṣa (Baker et al. 2013) . Fojusi pataki lori apẹẹrẹ awọn olumulo Xbox nipasẹ Ọgbẹni ati awọn alabara (W. Wang et al. 2015) , o le ronu iru apẹẹrẹ bi ọkan nibiti apakan apakan ti apẹẹrẹ itumọ ko jẹ \(\pi_i\) ( Iṣeyeṣe ti iṣawari ti a ṣe awadi-ti iṣawari) ṣugbọn awọn \(\phi_i\) (awọn ẹda idahun ti awọn oluṣe naa). Nitõtọ, eyi kii ṣe apẹrẹ nitori pe \(\phi_i\) ko mọ. Ṣugbọn, bi Wang ati awọn alabaṣiṣẹpọ ti fihan, irufẹ ijade-aṣiṣe-ani lati ipilẹ ọja iṣeduro pẹlu iṣiro aifọwọyi tobi-ko yẹ ki o jẹ ajakaye ti o ba jẹ pe oluwadi ni alaye iranlọwọ ti o dara ati awoṣe iṣiro to dara fun iroyin fun awọn iṣoro wọnyi.

Bethlehem (2010) gbe ọpọlọpọ awọn ohun ti o wa loke loke nipa igbesọ-ifiweranṣẹ lati fi awọn aṣiṣe ati awọn aṣiṣe agbegbe han. Pẹlupẹlu si igbasilẹ post, awọn imọran miiran fun ṣiṣẹ pẹlu awọn ayẹwo-kiiṣe-iṣeeṣe-ati awọn ayẹwo iṣeeṣe pẹlu awọn aṣiṣe agbegbe ati awọn kii ṣe idahun-ni apẹrẹ ti a fi kun (Ansolabehere and Rivers 2013; ??? ) , idiyele idiyele (Lee 2006; Schonlau et al. 2009) , ati isamisi (Lee and Valliant 2009) . Ọkan akọpo wọpọ laarin awọn imọran yii ni lilo awọn alaye iranlọwọ.