מאַטאַמאַטיקאַל הערות
אין דעם אַפּפּענדיקס, איך וועל סאַמערייז עטלעכע געדאנקען וועגן מאכן קאַוסאַל ינפעראַנס פון ניט-יקספּערמענאַל דאַטע אין אַ ביסל מער מאַטאַמאַטיקאַל פאָרעם. עס זענען צוויי הויפּט אַפּראָוטשיז: די קאַוסאַל גראַפיק פריימווערק, רובֿ פארבונדן מיט דזשודעאַ פּערל און חברים, און די פּאָטענציעל רעזולטאטן פריימווערק, רובֿ פארבונדן מיט דאָנאַלד רובין און חברים. איך וועל פאָרשטעלן די פּאָטענציעל רעזולטאטן פריימווערק ווייַל עס איז מער ענג פארבונדן צו די געדאנקען אין די מאַטאַמאַטיקאַל הערות אין די סוף פון קאַפּיטל 3 און 4. פֿאַר מער אויף די קאַוסאַל גראַפס פריימווערק, איך רעקאָמענדירן Pearl, Glymour, and Jewell (2016) (ינטראַדאַקטערי ) און Pearl (2009) (אַוואַנסירטע). פֿאַר אַ בוך-לענג באַהאַנדלונג פון קאַוסאַל ינפעראַנס אַז קאַמביינז די פּאָטענציעל רעזולטאטן פריימווערק און די קאַוסאַל גראַפיק פריימווערק, איך רעקאָמענדירן Morgan and Winship (2014) .
די ציל פון דעם אַפּענדיקס איז צו העלפן איר באַקומען באַקוועם מיט די נאָוטיישאַן און סטיל פון די פּאָטענציעל אַוטקאַם טראדיציע אַזוי אַז איר קענען יבערגאַנג צו עטלעכע פון די מער טעכניש מאַטעריאַל געשריבן אויף דעם טעמע. ערשטער, איך וועט באַשרייַבן די פּאָטענציעל רעזולטאטן פריימווערק. דערנאָך, איך וועט נוצן עס צו ווייַטער דיסקוטירן נאַטירלעך יקספּעראַמאַנץ ווי דער איינער דורך Angrist (1990) אויף די ווירקונג פון מיליטער דינסט אויף פאַרדינסט. דעם אַפּענדיקס דראָז שווער אויף Imbens and Rubin (2015) .
Potential outcomes framework
די פּאָטענציעל רעזולטאטן פריימווערק האט דרייַ הויפּט עלעמענטן: וניץ , טריטמאַנץ , און פּאָטענציעל רעזולטאטן . צום אילוסטרירן די עלעמענטן, לאָמיר רעכענען אַ סטיילייזד ווערסיע פון די פראגע גערעדט אין Angrist (1990) : וואָס איז דער ווירקונג פון מיליטער דינסט אויף פאַרדינסט? אין דעם פאַל, מיר קענען דעפינירן די וניץ צו זיין בארעכטיגט צו די 1970 פּלאַן אין די פאַרייניקטע שטאַטן, און מיר קענען אינדעקס די מענטשן דורך \(i = 1, \ldots, N\) . די טריטמאַנץ אין דעם פאַל קענען זיין "געדינט אין די מיליטער" אָדער "נישט געדינט אין די מיליטער." איך וועט רופן די די באַהאַנדלונג און קאָנטראָל טנאָים, און איך וועט שרייַבן \(W_i = 1\) אויב מענטש \(i\) איז אין די באַהאַנדלונג צושטאַנד און \(W_i = 0\) אויב מענטש \(i\) איז אין די קאָנטראָל טנאָים. סוף, די פּאָטענציעל רעזולטאטן זענען ביסל מער קאַנסעפּטשואַלי שווער ווייַל זיי אַרייַנציען "פּאָטענציעל" רעזולטאטן; זאכן וואָס קען האָבן געטראפן. פֿאַר יעדער מענטש בארעכטיגט צו די 1970 פּלאַן, מיר קענען דערשייַנען די סומע וואָס זיי וואָלט ערנד אין 1978 אויב זיי געדינט אין די מיליטעריש וואָס איך וועל רופן \(Y_i(1)\) , און די סומע וואָס זיי וואָלט ערנד אין 1978 אויב זיי האבן נישט דינען אין די מיליטעריש, וואָס איך וועל רופן \(Y_i(0)\) . אין די פּאָטענציעל רעזולטאטן פריימווערק, \(Y_i(1)\) און \(Y_i(0)\) זענען געהאלטן פאַרפעסטיקט קוואַנטאַטיז, בשעת \(W_i\) איז אַ טראַפ בייַטעוודיק.
די ברירה פון וניץ, טריטמאַנץ, און אַוטקאַמז איז קריטיש ווייַל עס דיפיינז וואָס קענען-און קען ניט-געלערנט פון דעם לערנען. די ברירה פון וניץ-מענטשן בארעכטיגט פֿאַר די 1970 פּלאַן-טוט ניט אַרייַננעמען פרויען, און אַזוי אָן נאָך אַסאַמפּשאַנז, דעם לערנען וועט ניט זאָגן אונדז עפּעס וועגן די ווירקונג פון מיליטער דינסט אויף פרויען. די דיסיזשאַנז וועגן ווי צו באַגרענעצן טריטמאַנץ און רעזולטאטן זענען וויכטיק. פֿאַר בייַשפּיל, זאָל די באַהאַנדלונג פון אינטערעס זיין פאָוקיסט אויף געדינט אין די מיליטעריש אָדער יקספּיריאַנסט קאַמבאַט? זאָל די אַוטקאַם פון אינטערעס זיין פאַרדינסט אָדער אַרבעט צופֿרידנקייט? לעסאָף, די ברירה פון וניץ, טריטמאַנץ, און אַוטקאַמז זאָל זיין געטריבן דורך די וויסנשאפטלעכע און פּאָליטיק צילן פון די לערנען.
ביי די ברירות פון וניץ, טריטמאַנץ, און פּאָטענציעל רעזולטאטן, די קאַוסאַל ווירקונג פון די באַהאַנדלונג אויף מענטש \(i\) , \(\tau_i\) איז
\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]
אין אנדערע ווערטער, מיר פאַרגלייַכן ווי פיל מענטש \(i\) וואָלט האָבן ערנד נאָך געדינט צו ווי פילע מענטשן \(i\) וואָלט האָבן ערנד אָן געדינט. צו מיר, עק. 2.1 איז די קליריסט וועג צו באַשליסן אַ קאַוסאַל ווירקונג, און כאָטש זייער פּשוט, דעם פריימווערק טורנס אויס צו גענעראַליזאַבלע אין פילע וויכטיק און טשיקאַווע וועגן (Imbens and Rubin 2015) .
ווען ניצן די פּאָטענציעל רעזולטאטן פריימווערק, איך אָפט געפֿינען עס נוציק צו שרייַבן אויס אַ טיש ווייזונג די פּאָטענציעל אַוטקאַמז און די באַהאַנדלונג יפעקס פֿאַר אַלע וניץ (טיש 2.5). אויב איר קען נישט ימאַדזשאַן אַ טיש ווי דאָס פֿאַר דיין לערנען, איר זאָל זיין מער פּינטלעך אין דיין דעפֿיניציע פון דיין וניץ, טריטמאַנץ, און פּאָטענציעל רעזולטאטן.
| מענטש | פאַרדינסט אין באַהאַנדלונג | פאַרדינסט אין קאָנטראָל צושטאַנד | באַהאַנדלונג ווירקונג |
|---|---|---|---|
| 1 | \(Y_1(1)\) | \(Y_1(0)\) | \(\tau_1\) |
| 2 | \(Y_2(1)\) | \(Y_2(0)\) | \(\tau_2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | \(Y_N(0)\) | \(\tau_N\) |
| מיין | \(\bar{Y}(1)\) | \(\bar{Y}(0)\) | \(\bar{\tau}\) |
ווען די דיפאָרמיישאַן פון די קאַוסאַל ווירקונג אין דעם וועג, אָבער, מיר לויפן אין אַ פּראָבלעם. אין כּמעט אַלע קאַסעס, מיר טאָן ניט באַקומען צו זען ביידע פּאָטענציעל רעזולטאטן. אַז איז, אַ ספּעציפיש מענטש אָדער געדינט אָדער האט נישט דינען. דעריבער, מיר אָבסערווירן איינער פון די פּאָטענציעל אַוטקאַמז - \(Y_i(1)\) אָדער \(Y_i(0)\) אָבער ניט ביידע. די ינאַביליטי צו אָבסערווירן ביידע פּאָטענציעל רעזולטאטן איז אַזאַ אַ הויפּט פּראָבלעם אַז Holland (1986) גערופן עס די פונדאַמענטאַל פּראָבלעם פון קאַוסאַל ינפעראַנס .
גליק, ווען מיר טוען פאָרשונג, מיר טאָן ניט נאָר איין מענטש; אלא, מיר האָבן פילע מענטשן, און דאָס אָפפערס אַ וועג אַרום די פונדאַמענטאַל פּראָבלעם פון קאַוסאַל ינפעראַנס. אַנשטאָט פון פּרובירן צו אָפּשאַצן די באַהאַנדלונג ווירקונג פון יחיד-מדרגה, מיר קענען די דורכשניטלעך באַהאַנדלונג ווירקונג פֿאַר אַלע וניץ:
\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]
די יקווייזשאַן איז נאָך אויסגעדריקט אין טערמינען פון די \(\tau_i\) , וואָס זענען ונאָבסערוואַבלע, אָבער מיט עטלעכע אַלגעבראַ (עק 2.8 פון Gerber and Green (2012) ), מיר באַקומען
\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]
דעם ווייזט אַז אויב מיר קענען אָפּשאַצן די באַפעלקערונג דורכשניטלעך אַוטקאַם אונטער באַהאַנדלונג ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) און די באַפעלקערונג דורכשניטלעך אַוטקאַם אונטער קאָנטראָל ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), דעמאָלט מיר קענען די דורכשניטלעך באַהאַנדלונג ווירקונג, אַפֿילו אָן די אָפּטימאַליטי פֿאַר אַ באַזונדער מענטש.
איצט איך ווע דיפיינד אונדזער ויסשפּיגלונג-די זאַך מיר זענען טריינג צו אָפּשאַצן-איך וועט קער צו ווי מיר קענען אַקשלי טוישיקן עס מיט דאַטן. און דאָ מיר לויפן גלייַך אין די פּראָבלעם אַז מיר בלויז אָבסערווירן איינער פון די פּאָטענציעל אַוטקאַמז פֿאַר יעדער מענטש; מיר זען אָדער \(Y_i(0)\) אָדער \(Y_i(1)\) (טיש 2.6). מיר קענען די דורכשניטלעך באַהאַנדלונג ווירקונג דורך קאַמפּערינג די פאַרדינסט פון מענטשן וואס געדינט צו די פאַרדינסט פון מענטשן וואס האבן נישט דינען:
\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]
ווו \(N_t\) און \(N_c\) זענען די נומערן פון מענטשן אין די באַהאַנדלונג און קאָנטראָל טנאָים. דעם צוגאַנג וועט אַרבעטן געזונט אויב די באַהאַנדלונג אַסיינמאַנט איז פרייַ פון פּאָטענציעל אַוטקאַמז, אַ צושטאַנד מאל גערופן יגנאָראַביליטי . צום באַדויערן, אין דער אַוועק פון אַ עקספּערימענט, די אַרויסגעוואָרפן אָפטקייַט איז נישט אָפט צופֿרידן, וואָס מיטל אַז דער עסטימאַטאָר אין עק. 2.4 איז ניט מסתּמא צו פּראָדוצירן גוט אָפּשאַצונג. איין וועג צו טראַכטן וועגן עס איז אַז אין דער אַוועק פון טראַפ - אַסיינמאַנט פון באַהאַנדלונג, עק. 2.4 איז נישט קאַמפּערד ווי מיט ווי; עס איז קאַמפּערינג די פאַרדינסט פון פאַרשידענע מינים פון מענטשן. אָדער אויסגעדריקט אַ ביסל אַנדערש, אָן טראַפאַל אַסיינמאַנט פון באַהאַנדלונג, די באַהאַנדלונג אַלאַקיישאַן איז מסתּמא שייַכות צו פּאָטענציעל רעזולטאטן.
אין דעם פּרק 4, איך וועל דיסקרייבד ווי ראַנדאַמייזד קאַנטראָולד יקספּעראַמאַנץ קענען העלפן ריסערטשערז מאַכן קאַוסאַל עסטאַמאַץ, און דאָ איך וועט באַשרייַבן ווי פאָרשער קענען נעמען מייַלע פון נאַטירלעך יקספּעראַמאַנץ, אַזאַ ווי די לאָטעריע פּלאַן.
| מענטש | פאַרדינסט אין באַהאַנדלונג | פאַרדינסט אין קאָנטראָל צושטאַנד | באַהאַנדלונג ווירקונג |
|---|---|---|---|
| 1 | ? | \(Y_1(0)\) | ? |
| 2 | \(Y_2(1)\) | ? | ? |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | ? | ? |
| מיין | ? | ? | ? |
נאַטירלעך יקספּעראַמאַנץ
איין צוגאַנג צו מאַכן קאַוסאַל עסטאַמאַץ אָן פליסנדיק אַ עקספּערימענט איז צו קוקן פֿאַר עפּעס געשעעניש אין דער וועלט וואָס האט ראַנדאַמלי אַסיינד אַ באַהאַנדלונג פֿאַר איר. דעם צוגאַנג איז גערופן נאַטירלעך יקספּעראַמאַנץ . אין פילע סיטואַטיאָנס, ליידער, נאַטור טוט נישט ראַנדאַמלי געבן די באַהאַנדלונג וואָס איר ווילט צו די אינטערעס פון די באַפעלקערונג. אבער מאל, נאַטור ראַנדאַמלי דיליווערז אַ פֿאַרבונדענע באַהאַנדלונג. אין באַזונדער, איך וועל באַטראַכטן דעם פאַל ווו עס איז עטלעכע צווייטיק באַהאַנדלונג אַז ינקעראַדזשאַז מענטשן צו באַקומען די ערשטיק באַהאַנדלונג . פֿאַר בייַשפּיל, די פּלאַן קען זיין געהאלטן אַ ראַנדאַמלי אַסיינד צווייטיק באַהאַנדלונג וואָס ינקעראַדזשד עטלעכע מענטשן צו נעמען די ערשטיק באַהאַנדלונג, וואָס איז געדינט אין די מיליטעריש. דעם פּלאַן איז מאל גערופן אַ ענקערידזשמאַנט פּלאַן . און די אַנאַליסיס אופֿן וואָס איך וועל באַשרייַבן צו האַנדלען מיט דעם סיטואַציע איז מאל גערופן ינסטרומענטאַל וועריאַבאַלז . אין דעם באַשטעטיקן, מיט עטלעכע אַסאַמפּשאַנז, ריסערטשערז קענען נוצן די ענקערידזשמאַנט צו לערנען וועגן די ווירקונג פון די ערשטיק באַהאַנדלונג פֿאַר אַ באַזונדער סאַבסטיישאַן פון וניץ.
אין סדר צו האַנדלען מיט די צוויי פאַרשידענע טריטמאַנץ, די ענקערידזשמאַנט און די ערשטיק באַהאַנדלונג, מיר דאַרפֿן עטלעכע נייע נאָוטיישאַן. רעכן אַז עטלעכע מענטשן זענען ראַנדאַמלי דראַפטיד ( \(Z_i = 1\) ) אָדער נישט דראַפטעד ( \(Z_i = 0\) ); אין דעם סיטואַציע, \(Z_i\) איז מאל גערופן אַ קיילע .
צווישן די וואס האבן זיך אויסגעדרייט, האָט מען געדינט ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) און עטלעכע האבן נישט ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) ). אין דער זעלביקער צייַט, צווישן די וואס זענען נישט עריינדזשד, עטלעכע געדינט ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) און עטלעכע האבן נישט ( \(Z_i = 0, W_i = 0\) ). די פּאָטענציעל רעזולטאטן פֿאַר יעדער מענטש קענען איצט זיין יקספּאַנדיד צו ווייַזן זייער סטאַטוס פֿאַר ביידע ענקערידזשמאַנט און באַהאַנדלונג. פֿאַר בייַשפּיל, לאָזן \(Y(1, W_i(1))\) זיין די פאַרדינסט פון מענטש \(i\) אויב ער איז געווען געצווונגען, ווו \(W_i(1)\) איז זיין דינסט סטאַטוס אויב דראַפטיד. ווייַטער, מיר קענען שפּאַלטן די באַפעלקערונג אין פיר גרופּעס: קאַמפּליינז, קיינמאָל-טאַקערז, דיפערז, און שטענדיק-טאַקערז (טיש 2.7).
| טיפּ | סערוויס אויב דראַפטיד | סערוויס אויב נישט דראַפט |
|---|---|---|
| קאָמפּליקערס | יאָ, \(W_i(Z_i=1) = 1\) | ניין, \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| קיינמאָל ניטאָ | ניין, \(W_i(Z_i=1) = 0\) | ניין, \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| דעפליערס | ניט, \(W_i(Z_i=1) = 0\) | יאָ, \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
| שטענדיק-טאַקסעס | יאָ, \(W_i(Z_i=1) = 1\) | יאָ, \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
איידער מיר דיסקוטירן די ווירקונג פון די באַהאַנדלונג (ד"ה, מיליטער דינסט), מיר קענען ערשטער דעפינירן צוויי יפעקס פון די ענקערידזשמאַנט (י.ע., געדרוקט). ערשטער, מיר קענען באַשליסן די ווירקונג פון די ענקערידזשמאַנט פון די ערשטיק באַהאַנדלונג. רגע, מיר קענען דעפינירן די ווירקונג פון די ענקערידזשמאַנט אויף די אַוטקאַם. עס טורנס אויס אַז די צוויי יפעקס קענען זיין קאַמביינד צו צושטעלן אַן אָפּשאַצונג פון די ווירקונג פון די באַהאַנדלונג אויף אַ ספּעציפיש גרופּע פון מענטשן.
ערשטער, די ווירקונג פון די ענקערידזשמאַנט פון באַהאַנדלונג קענען זיין דיפיינד פֿאַר מענטש \(i\) ווי
\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]
ווייַטער, דעם קוואַנטיטי קענען זיין דיפיינד איבער די גאנצע באַפעלקערונג ווי
\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]
צום סוף, מיר קענען אָפּשאַצן \(\text{ITT} _{W}\) ניצן דאַטן:
\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]
ווו \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) איז דער באמערקט קורס פון באַהאַנדלונג פֿאַר די וואס זענען ענקערידזשד און \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) די באמערקט קורס פון באַהאַנדלונג פֿאַר די וואס זענען נישט ינקעראַדזשד. \(\text{ITT}_W\) איז אויך גערופן די ופּטאַקע טעמפּאָ .
ווייַטער, די ווירקונג פון די ענקערידזשמאַנט אויף די אַוטקאַם קענען זיין דיפיינד פֿאַר מענטש \(i\) ווי:
\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]
ווייַטער, דעם קוואַנטיטי קענען זיין דיפיינד איבער די גאנצע באַפעלקערונג ווי
\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]
צום סוף, מיר קענען ייַנטיילן \(\text{ITT}_{Y}\) ניצן דאַטן:
\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]
וווּ \(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) איז דער באמערקט רעזולטאַט (למשל, פאַרדינסט) פֿאַר די וואס זענען ענקערידזשד (למשל, דראַפטעד) און \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) איז דער באמערקט רעזולטאַט פֿאַר די וואס זענען נישט ינקעראַדזשד.
סוף, מיר ווענדן אונדזער ופמערקזאַמקייט צו די ווירקונג פון אינטערעס: די ווירקונג פון די ערשטיק באַהאַנדלונג (למשל, מיליטעריש דינסט) אויף די אַוטקאַם (למשל, פאַרדינסט). צום באַדויערן, עס טורנס אויס אַז מען קען נישט, אין אַלגעמיין, אָפּשאַצן דעם ווירקונג אויף אַלע וניץ. אָבער, מיט עטלעכע אַסאַמפּשאַנז, ריסערטשערז קענען אָפּשאַצן די ווירקונג פון די באַהאַנדלונג אויף קאָמפּליקערס (י.ע., מענטשן וואס וועלן דינען אויב דראַפטיד און מענטשן וואס וועט נישט דינען אויב ניט דראַפּט, טיש 2.7). איך וועל רופן דעם עסטימענד די קאָמפּליער דורכשניטלעך קאָזאַל ווירקונג (CACE) (וואָס איז אויך מאל גערופן די היגע דורכשניטלעך באַהאַנדלונג ווירקונג , שפּעט):
\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]
ווו \(G_i\) דאָנאַטעס די גרופּע פון מענטש \(i\) (זען טיש 2.7) און \(N_{\text{co}}\) איז די נומער פון קאַמפּליקערס. אין אנדערע ווערטער, עק. 2.11 קאַמפּערז די פאַרדינסט פון קאַמפּליקערס וואָס זענען דראַפטעד \(Y_i(1, W_i(1))\) און ניט דראַפטעד \(Y_i(0, W_i(0))\) . דער אָפּשאַצונג אין עק. 2.11 מיינט שווער צו אָפּשאַצן פון באמערקט דאַטן ווייַל עס איז ניט מעגלעך צו ידענטיפיצירן קאָמפּליקערס ניצן בלויז באמערקט דאַטן (צו וויסן אויב עמעצער איז קאָמפּליער איר וואָלט דאַרפֿן צו אָבסערווירן צי ער געדינט ווען דראַפטעד און צי ער געדינט ווען ניט דראַפטיד).
עס טורנס זיך-עפּעס סאַפּרייזינגלי - אַז אויב עס זענען קיין קאַמפּליקערס, דעמאָלט צוגעשטעלט איינער מאכט דרייַ נאָך אַסאַמפּשאַנז, עס איז מעגלעך צו באַצאָלן CACE פון באמערקט דאַטן. ערשטער, איר דאַרפֿן צו יבערנעמען אַז די אַסיינמאַנט צו באַהאַנדלונג איז טראַפ. אין דעם פאַל פון די לאָטעריע פון דעם פּלאַן איז גלייַך. אָבער, אין עטלעכע סעטטינגס ווו נאַטירלעך יקספּעראַמאַנץ טאָן נישט פאַרלאָזן אויף גשמיות ראַנדאַמאַזיישאַן, דעם האַשאָרע קען זיין מער פּראָבלעמאַטיק. צווייטנס, מען דאַרף אנזייען אַז זיי זיינען ניט פאַרשטאָרבענע (דאָס האַנט איז אויך גערופן די מאָנאָטאָניסיטי האַשאָרע). אין דעם קאָנטעקסט פון די פּלאַן עס מיינט גלייַך צו יבערנעמען אַז עס זענען זייער ווייניק מענטשן וואָס וועט נישט דינען אויב דראַפטיד און וועט דינען אויב ניט דראַפטיד. דריט, און לעסאָף, קומט די מערסט וויכטיק האַשאָרע וואָס איז גערופן די יקסקלוזשאַן ריסטריקשאַן . אונטער די יקסקלוזשאַן ריסטריקשאַן, איינער האט צו יבערנעמען אַז אַלע פון די ווירקונג פון די באַהאַנדלונג אַסיינמאַנט איז דורכגעגאנגען דורך די באַהאַנדלונג זיך. אין אנדערע ווערטער, איר דאַרפֿן צו יבערנעמען אַז עס איז קיין דירעקט ווירקונג פון ענקערידזשמאַנט אויף אַוטקאַמז. אין דער פאַל פון די לאָטעריע פּלאַן, פֿאַר בייַשפּיל, איר דאַרפֿן צו יבערמאַכן אַז דער פּלאַן סטאַטוס האט קיין ווירקונג אויף פאַרדינסט אנדערע ווי דורך מיליטער דינסט (פיגורע 2.11). די יקסקלוזשאַן ריסטריקשאַן קען זיין ווייאַלייטיד אויב, פֿאַר בייַשפּיל, מענטשן וואס זענען דראַפּט פארבראכט מער צייַט אין שולע אין סדר צו ויסמייַדן דינען אָדער אויב עמפּלויערס זענען ווייניקער מסתּמא צו דינגען מענטשן וואס זענען אינטערעסירט.
פיגורע 2.11: די יקסקלוזשאַן ריסטריקשאַן ריקווייערז אַז די ענקערידזשמאַנט (פּלאַן לאָטעריע) האט אַ ווירקונג אויף די אַוטקאַם (פאַרדינסט) בלויז דורך די באַהאַנדלונג (מיליטעריש דינסט). די יקסקלוזשאַן ריסטריקשאַן קען זיין ווייאַלייטיד אויב, פֿאַר בייַשפּיל, מענטשן וואס זענען אויסגעקליבן פארבראכט מער צייַט אין שולע אין סדר צו ויסמייַדן דינען און אַז דאָס געוואקסן צייַט אין שולע געפירט צו העכער פאַרדינסט.
אויב די דרייַ צושטאַנד (ראַנדאָם אַסיינמאַנט צו באַהאַנדלונג, קיין דיפערז, און די יקסקלוזשאַן ריסטריקשאַן) זענען באגעגנט, דעמאָלט
\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]
אַזוי מיר קענען אָפּשאַצן קאַסע:
\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]
איין וועג צו טראַכטן וועגן קייז איז אַז עס איז די חילוק אין אַוטקאַמז צווישן די וואס זענען ינקעראַדזשד און יענע ניט ענקערידזשד, ינפלייטיד דורך די אַפּטייק קורס.
עס זענען צוויי וויכטיק קאַוועאַץ צו האַלטן אין גייַסט. ערשטער, די יקסקלוזשאַן ריסטריקשאַן איז אַ שטאַרק האַשאָרע, און עס דאַרף צו זיין גערעכטפארטיקט אויף אַ פאַל-דורך-פאַל יקער, וואָס אָפט ריקווייערז אונטער-געגנט געגנט עקספּערטיז. די יקסקלוזשאַן ריסטריקשאַן קענען ניט זיין גערעכטפארטיקט מיט ראַנדאַמאַזיישאַן פון די ענקערידזשמאַנט. רגע, אַ פּראָסט פּראַקטיש אַרויסרופן מיט ינסטרומענטאַל בייַטעוודיק אַנאַליסיס קומט ווען די ענקערידזשמאַנט האט ביסל ווירקונג אויף די ופהערן פון באַהאַנדלונג (ווען \(\text{ITT}_W\) איז קליין). דאָס איז גערופן אַ שוואַך ינסטרומענט , און עס געפירט אַ פאַרשיידנקייַט פון פראבלעמען (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) . איין וועג צו טראַכטן וועגן דעם פּראָבלעם מיט שוואַך ינסטראַמאַנץ איז אַז \(\widehat{\text{CACE}}\) קענען זיין שפּירעוודיק צו קליין בייייזאַז אין \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) -פּאָטענשאַלי רעכט צו ווייאַליישאַנז פון די יקסקלוזשאַן ריסטריקשאַן - ווייַל די בייייזאַז באַקומען magnified דורך אַ קליין \(\widehat{\text{ITT}_W}\) (זען עק 2.13). בעערעך, אויב די באַהאַנדלונג אַז נאַטור אַסיינז טוט נישט האָבן אַ גרויס ווירקונג אויף די באַהאַנדלונג איר זאָרג וועגן, דעמאָלט איר וועט האָבן אַ שווער מאָל וויסן וועגן די באַהאַנדלונג איר זאָרג וועגן.
זען פּרק 23 און 24 פון Imbens and Rubin (2015) פֿאַר אַ מער פאָרמאַל ווערסיע פון דעם דיסקוסיע. די טראדיציאנעלן עקאָנאָמעטריק צוגאַנג צו ינסטרומענטאַל וועריאַבאַלז איז טיפּיקאַללי אויסגעדריקט אין טערמינען פון עסטימאַטינג יקווייזשאַנז, ניט פּאָטענציעל רעזולטאטן. פֿאַר אַן הקדמה פון דעם אַנדערן פּערספּעקטיוו, זען Angrist and Pischke (2009) , און פֿאַר אַ פאַרגלייַך צווישן די צוויי אַפּערטונאַטיז, זען אָפּטיילונג 24.6 פון Imbens and Rubin (2015) . אַ אָלטערנאַטיוו, אַ ביסל ווייניקער פאָרמאַל פּרעזענטירונג פון די ינסטרומענטאַל וועריאַבאַלז צוגאַנג איז צוגעשטעלט אין קאַפּיטל 6 פון Gerber and Green (2012) . פֿאַר מער אויף די יקסקלוזשאַן ריסטריקשאַן, זען D. Jones (2015) . Aronow and Carnegie (2013) באַשרייַבן אַן נאָך שטעלן פון אַסאַמפּשאַנז אַז קענען זיין געניצט צו פאַרלייגן אַטעע ווי CACE. פֿאַר מער וועגן ווי נאַטירלעך יקספּעראַמאַנץ קענען זיין זייער טריקי צו טייַטשן, זען Sekhon and Titiunik (2012) . פֿאַר אַ מער גענעראַל הקדמה צו נאַטירלעך יקספּעראַמאַנץ-איינער וואָס גייט אויסער נאָר די ינסטרומענטאַל וועריאַבאַלז צוגאַנג אויך אַרייַננעמען דיזיינז אַזאַ ווי ראַגרעשאַן דיסקאַנטיניאַטי-זען Dunning (2012) .
