ریاضی نوٹ
اس ضمیمہ میں، میں تھوڑا زیادہ ریاضیاتی شکل میں غیر تجرباتی اعداد و شمار سے causal مداخلت کرنے کے بارے میں کچھ خیالات کا خلاصہ کروں گا. دو اہم نقطہ نظر ہیں: جتنا گرافک فریم ورک، جن میں سے زیادہ تر جوڈوڈ پرل اور ساتھیوں کے ساتھ منسلک ہیں، اور ممکنہ نتائج کے فریم ورک، سب سے زیادہ ڈونالڈ روبن اور ساتھیوں کے ساتھ منسلک. میں ممکنہ نتائج کے فریم ورک کو متعارف کروں گا کیونکہ یہ باب 3 اور 4 کے اختتام پر ریاضیاتی نوٹوں میں زیادہ سے زیادہ قریب سے منسلک ہوتا ہے. میں سبب گرافکس فریم ورک پر مزید کے لئے، میں Pearl, Glymour, and Jewell (2016) کرتا ہوں (تعارف ) اور Pearl (2009) (اعلی درجے کی). ایک کتاب کی لمبائی کے علاج کی وجہ سے اس کی لمبائی کے علاج کے نتیجے میں ممکنہ نتائج کے فریم ورک اور فاسٹ گراف فریم ورک کو یکجا کرتا ہے، میں Morgan and Winship (2014) کی تجویز کرتا ہوں Morgan and Winship (2014) .
اس اپینڈکس کا مقصد آپ کو ممکنہ نتائج کے روایت کے بارے میں نظر انداز اور سٹائل کے ساتھ آرام دہ اور پرسکون حاصل کرنے میں مدد ملتی ہے تاکہ آپ اس موضوع پر لکھے ہوئے کچھ ٹیکنیکل مواد کو منتقل کرسکیں. سب سے پہلے، میں ممکنہ نتائج کے فریم ورک کی وضاحت کروں گا. اس کے بعد، میں اس کے استعمال سے Angrist (1990) تجربات جیسے ایک Angrist (1990) طرف سے Angrist (1990) پر اثر انداز کرنے کے لئے استعمال کروں گا. یہ اپنسلکس Imbens and Rubin (2015) پر بہت زیادہ ڈرا ہے.
ممکنہ نتائج فریم ورک
ممکنہ نتائج کے فریم ورک میں تین اہم عناصر ہیں: یونٹس ، علاج ، اور ممکنہ نتائج . ان عناصر کی وضاحت کرنے کے لئے، Angrist (1990) میں خطاب کردہ سوال کا ایک سٹائل ورژن پر غور کریں: آمدنی پر فوجی خدمات کا اثر کیا ہے؟ اس صورت میں، ہم یونٹس میں 1970 میں مسودہ کے اہل افراد کو اہل بنانا چاہتے ہیں، اور ہم ان لوگوں کو \(i = 1, \ldots, N\) ذریعہ انڈیکس کرسکتے ہیں. اس معاملے میں علاج "فوج میں خدمات انجام دے" یا ہو سکتا ہے "فوج میں خدمات انجام دے رہے ہیں." میں نے ان کے علاج اور کنٹرول کے حالات کو بلاتا ہوں، اور میں لکھیں گے \(W_i = 1\) اگر شخص \(i\) علاج کی حالت میں ہے اور \(W_i = 0\) اگر شخص \(i\) کنٹرول حالت میں ہے. آخر میں، ممکنہ نتائج تھوڑا سا تصوراتی طور پر مشکل ہے کیونکہ وہ "ممکنہ" نتائج شامل ہیں؛ چیزیں جو ہوسکتی تھیں. 1970 مسودہ کے لئے ہر شخص کے لئے اہل، ہم اس رقم کی تصور کر سکتے ہیں جو 1978 میں انہوں نے فوج میں خدمت کی ہیں، جس میں میں نے \(Y_i(1)\) کو کال کریں گے، اور وہ رقم جس میں ان کی آمدنی ہوگی 1978 اگر وہ فوج میں خدمت نہیں کرتے تھے، جس میں میں کال کریں گے \(Y_i(0)\) . ممکنہ نتائج کے فریم ورک میں، \(Y_i(1)\) اور \(Y_i(0)\) مقررہ مقدار پر غور کیا جاتا ہے، جبکہ \(W_i\) ایک بے ترتیب متغیر ہے.
یونٹس، علاج، اور نتائج کا انتخاب بہت اہم ہے کیونکہ یہ اس کی وضاحت کرتا ہے کہ مطالعہ سے کیا سیکھا جا سکتا ہے. یونٹس کا انتخاب- 1970 مسودہ کے لئے اہل افراد- خواتین اور اس میں اضافی مفادات کے بغیر شامل نہیں ہے، یہ مطالعہ ہمیں خواتین پر فوجی خدمات کے اثر کے بارے میں کچھ نہیں بتائے گا. علاج اور نتائج کی وضاحت کرنے کے بارے میں فیصلہ بھی اہم ہے. مثال کے طور پر، کیا مفاد کا علاج فوج میں خدمت کرنے یا لڑائی کا سامنا کرنا پڑا ہے؟ کیا دلچسپی کا نتیجہ ہو یا ملازمت کی اطمینان حاصل ہو؟ بالآخر، یونٹس، علاج، اور نتائج کا انتخاب اس مطالعہ کے سائنسی اور پالیسی مقاصد کے ذریعہ برداشت کرنا چاہئے.
یونٹس، علاج، اور ممکنہ نتائج کے اختیارات کو دیکھتے ہوئے، شخص \(i\) ، \(\tau_i\) \(i\) پر علاج کے نتیجے کا اثر ہے.
\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]
دوسرے الفاظ میں، ہم کتنی شخص موازنہ \(i\) کتنا شخص کو خدمت کرنے کے بعد حاصل کی جاتی \(i\) خدمت کے بغیر کمائی ہو جاتی. میرے پاس، ایق. 2.1 ایک causal اثر کی وضاحت کرنے کا سب سے واضح طریقہ ہے، اور اگرچہ بہت سادہ، یہ فریم ورک بہت سے اہم اور دلچسپ طریقوں (Imbens and Rubin 2015) میں عام طور پر قابل بن جاتا ہے.
جب ممکنہ نتائج کے فریم ورک کا استعمال کرتے ہوئے، میں اکثر اس کو مددگار بناتا ہوں کہ وہ ٹیبل لکھنے کے لۓ تمام یونٹس کے لئے ممکنہ نتائج اور علاج کے اثرات دکھائے. اگر آپ اپنے مطالعہ کے لئے اس طرح کی میز کا تصور نہیں کر رہے ہیں، تو آپ کو آپ کے یونٹس، علاج، اور ممکنہ نتائج کے بارے میں آپ کی تعریف میں زیادہ درست ہونا ضروری ہے.
| شخص | علاج کی حالت میں آمدنی | کنٹرول حالت میں آمدنی | علاج کا اثر |
|---|---|---|---|
| 1 | \(Y_1(1)\) | \(Y_1(0)\) | \(\tau_1\) |
| 2 | \(Y_2(1)\) | \(Y_2(0)\) | \(\tau_2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | \(Y_N(0)\) | \(\tau_N\) |
| مطلب | \(\bar{Y}(1)\) | \(\bar{Y}(0)\) | \(\bar{\tau}\) |
اس طرح کے نتیجے کے اثرات کی وضاحت کرتے ہوئے، تاہم، ہم ایک مسئلہ میں چلتے ہیں. تقریبا تمام معاملات میں، ہم دونوں ممکنہ نتائج کا مشاہدہ نہیں کرتے. یہی ہے، کسی خاص شخص کی خدمت یا خدمت نہیں کی جاتی. لہذا، ہم ممکنہ نتائج میں سے ایک کا مشاہدہ کریں \(Y_i(1)\) یا \(Y_i(0)\) - لیکن دونوں نہیں. دونوں ممکنہ نتائج کا مشاہدہ کرنے میں ناکامی اس طرح کی ایک بڑی دشواری ہے کہ Holland (1986) نے اسے بنیادی وجوہات کی بنیادی مسئلہ قرار دیا .
خوش قسمتی سے، جب ہم تحقیق کررہے ہیں تو ہم صرف ایک شخص نہیں رکھتے ہیں. بلکہ، ہمارے پاس بہت سے لوگ ہیں، اور اس وجہ سے بنیادی وابستہ کی بنیادی مسئلہ کے ارد گرد ایک راستہ فراہم کرتا ہے. انفرادی سطح کے علاج کے اثر کا اندازہ کرنے کی کوشش کرنے کے بجائے، ہم ہر یونٹس کے لئے اوسط علاج کے اثر کا اندازہ لگا سکتے ہیں:
\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]
یہ مساوات اب بھی \(\tau_i\) شرائط میں بیان کی گئی ہے، جو غیر \(\tau_i\) ہیں، لیکن کچھ الجبرا ( Gerber and Green (2012) \(\tau_i\) 2.8 کے ساتھ، ہم حاصل کرتے ہیں
\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]
اس سے پتہ چلتا ہے کہ اگر ہم آبادی کے مطابق اوسط نتائج کا علاج کر سکتے ہیں ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) اور آبادی کے اوسط نتائج کے تحت اوسط نتائج ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) )، پھر ہم اوسط علاج کے اثر کا اندازہ کر سکتے ہیں، یہاں تک کہ یہاں تک کہ کسی خاص شخص کے علاج کے اثرات کا اندازہ کئے بغیر.
اب میں نے اپنے تخمینہ کا اندازہ کیا ہے - جس چیز کا ہم تخمینہ کرنے کی کوشش کر رہے ہیں- میں یہ بتاتا ہوں کہ ہم کس طرح اعداد و شمار کے ساتھ اصل میں اندازہ کر سکتے ہیں. اور یہاں ہم براہ راست اس مسئلے میں چلتے ہیں کہ ہم صرف ہر شخص کے لئے ممکنہ نتائج میں سے ایک کا مشاہدہ کریں گے. ہم یا تو \(Y_i(0)\) یا \(Y_i(1)\) (میز 2.6) دیکھتے ہیں. ہم لوگوں کی آمدنی کا موازنہ کر کے اوسط علاج کے اثر کا اندازہ لگا سکتے ہیں جن لوگوں کی خدمت نہیں کی گئی آمدنی پر کام کرتے ہیں:
\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]
کہاں \(N_t\) اور \(N_c\) علاج اور کنٹرول کے حالات میں لوگوں کی تعداد ہیں. یہ نقطہ نظر اچھی طرح سے کام کرے گا جب علاج کا کام تفویض ممکنہ نتائج سے آزاد ہے، کبھی کبھی اس کی حالت غیر جانبدار ہے . بدقسمتی سے، ایک تجربے کی غیر موجودگی میں، غیر جانبداری اکثر مطمئن نہیں ہے، جس کا مطلب یہ ہے کہ اقدار میں تخمینہ ہے. 2.4 اچھی تخمینہ لگانے کا امکان نہیں ہے. اس بارے میں سوچنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ علاج کے بے ترتیب تفویض کی غیر موجودگی میں، eq. 2.4 اس طرح کی موازنہ نہیں ہے؛ یہ مختلف قسم کے لوگوں کی آمدنی کا موازنہ کر رہا ہے. یا علاج کے بے ترتیب تفویض کے بغیر، تھوڑا سا مختلف اظہار کیا ہے، ممکنہ طور پر علاج کے اختتام ممکنہ نتائج سے متعلق ہے.
باب 4 میں، میں وضاحت کروں گا کہ کس طرح بے ترتیب شدہ کنٹرول تجربات محققین سے متعلق تخمینوں کا اندازہ لگانے میں مدد کرسکتے ہیں، اور یہاں میں وضاحت کرتا ہوں کہ کس طرح محققین کو قدرتی تجربات، جیسے مسودہ لاٹری کی فائدہ حاصل ہو سکتی ہے.
| شخص | علاج کی حالت میں آمدنی | کنٹرول حالت میں آمدنی | علاج کا اثر |
|---|---|---|---|
| 1 | ؟ | \(Y_1(0)\) | ؟ |
| 2 | \(Y_2(1)\) | ؟ | ؟ |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | ؟ | ؟ |
| مطلب | ؟ | ؟ | ؟ |
قدرتی تجربات
تجربے کو چلانے کے بغیر ہونے والے تخمینوں کا اندازہ کرنے کا ایک طریقہ دنیا میں ہونے والی کچھ چیزوں کو دیکھنا ہے جس نے آپ کے لئے بے ترتیب طور پر علاج کیا ہے. یہ نقطہ نظر قدرتی تجربات کہا جاتا ہے. بدقسمتی سے، بدقسمتی سے، فطرت اس طرح کے علاج کو بے ترتیب طور پر فراہم نہیں کرتی ہے جسے آپ کو دلچسپی کی آبادی کرنا ہے. لیکن بعض اوقات، فطرت بے ترتیب طور پر ایک متعلق علاج فراہم کرتا ہے. خاص طور پر، میں اس کیس پر غور کروں گا جہاں کچھ ثانوی علاج ہوتا ہے جو لوگوں کو بنیادی علاج حاصل کرنے کی حوصلہ افزائی کرتی ہے . مثال کے طور پر، مسودہ کو بے ترتیب طور پر تفویض کردہ ثانوی علاج پر غور کیا جاسکتا ہے جس نے کچھ لوگوں کو بنیادی علاج کرنے کی حوصلہ افزائی کی، جس میں فوج میں خدمت کر رہی تھی. یہ ڈیزائن کبھی کبھی ایک حوصلہ افزائی کے ڈیزائن کہا جاتا ہے. اور تجزیہ کے طریقہ کار میں نے اس صورت حال کو ہینڈل کرنے کی وضاحت کریں گے کہ کبھی کبھی اہم کردار متغیر کہا جاتا ہے. اس ترتیب میں، بعض نظریات کے ساتھ، محققین یونٹ کے ایک خاص حصول کے لئے بنیادی علاج کے اثر کے بارے میں جاننے کے لئے حوصلہ افزائی کا استعمال کر سکتے ہیں.
دو مختلف علاجوں کو سنبھالنے کے لئے - حوصلہ افزائی اور بنیادی علاج - ہمیں کچھ نئی نوکری کی ضرورت ہے. فرض کریں کہ بعض لوگوں کو تصادفی طور پر تیار کیا \(Z_i = 1\) ( \(Z_i = 1\) ) یا مسودہ نہیں ( \(Z_i = 0\) )؛ اس صورت حال میں، \(Z_i\) کبھی کبھی ایک آلہ کہا جاتا ہے.
ان لوگوں کے درمیان جو مسودہ کیا گیا تھا، کچھ نے خدمت کی ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) اور کچھ نہیں کیا ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) ). اسی طرح، ان لوگوں میں جو مسودہ نہیں کیا گیا تھا، کچھ نے خدمت کی ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) اور کچھ نہیں کیا ( \(Z_i = 0, W_i = 0\) ). ہر شخص کے لئے ممکنہ نتائج اب ان کی حیثیت کو حوصلہ افزائی اور علاج کے لۓ بڑھا سکتے ہیں. مثال کے طور پر، دو \(Y(1, W_i(1))\) شخص کی آمدنی بننا \(i\) اگر وہ مسودہ کیا گیا تھا، تو \(W_i(1)\) ان کی خدمت کی حیثیت ہے جہاں مسودہ کیا. مزید برآں، ہم آبادی کو چار گروپوں میں تقسیم کر سکتے ہیں: شکایات، کبھی بھی خریداروں، محافظوں، اور ہمیشہ والے افراد (ٹیبل 2.7).
| ٹائپ کریں | اگر تیار ہو تو سروس | اگر سروس تیار نہ ہو |
|---|---|---|
| شکایات | جی ہاں، \(W_i(Z_i=1) = 1\) | نہیں، \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| کبھی نہیں | نہیں، \(W_i(Z_i=1) = 0\) | نہیں، \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| دفاعی | نہیں، \(W_i(Z_i=1) = 0\) | جی ہاں، \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
| ہمیشہ مسافر | جی ہاں، \(W_i(Z_i=1) = 1\) | جی ہاں، \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
اس سے قبل ہم علاج کے اثرات کا اندازہ کرتے ہیں (یعنی، فوجی سروس) کے بارے میں، ہم سب سے پہلے حوصلہ افزائی کے دو اثرات (یعنی، مسودہ کیا جا رہا ہے) کی وضاحت کر سکتے ہیں. سب سے پہلے، ہم بنیادی علاج پر حوصلہ افزائی کے اثر کی وضاحت کر سکتے ہیں. دوسرا، ہم نتائج پر حوصلہ افزائی کا اثر بیان کر سکتے ہیں. یہ پتہ چلتا ہے کہ ان دو اثرات کو مشترکہ کیا جاسکتا ہے تاکہ لوگوں کے مخصوص گروپ پر علاج کے اثرات کا اندازہ لگایا جا سکے.
سب سے پہلے، علاج پر حوصلہ افزائی کا اثر انسان کے لئے \(i\) طور پر بیان کیا جا سکتا ہے
\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]
اس کے علاوہ، اس مقدار کی پوری آبادی پر بیان کیا جا سکتا ہے
\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]
آخر میں، ہم اعداد و شمار کا استعمال کرتے ہوئے \(\text{ITT} _{W}\) کا اندازہ لگا سکتے ہیں:
\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]
جہاں \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) علاج کی مشاورت کی شرح ہے جنہوں نے حوصلہ افزائی کی اور \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) ہے جن لوگوں کو حوصلہ افزائی نہیں کی گئی تھی ان کے علاج کے لئے مشاہدہ کی شرح. \(\text{ITT}_W\) بعض اوقات بھی اپٹیک کی شرح بھی کہا جاتا ہے.
اگلا، نتائج پر حوصلہ افزائی کا اثر فرد \(i\) طور پر بیان کیا جا سکتا ہے:
\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]
اس کے علاوہ، اس مقدار کی پوری آبادی پر بیان کیا جا سکتا ہے
\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]
آخر میں، ہم اعداد و شمار کا استعمال کرتے ہوئے \(\text{ITT}_{Y}\) کا تخمینہ کر سکتے ہیں:
\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]
جہاں \(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) مشاہدہ شدہ نتائج (مثال کے طور پر، آمدنی) ہے جنہوں نے حوصلہ افزائی کی تھی (مثال کے طور پر، مسودہ) اور \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) ان لوگوں کے لئے مشاہدہ شدہ نتیجہ ہے جو حوصلہ افزائی نہیں کر رہے تھے.
آخر میں، ہم اپنی توجہ کو دلچسپی کے اثر میں تبدیل کرتے ہیں: نتائج (مثال کے طور پر، آمدنی) پر بنیادی علاج (مثال کے طور پر، فوجی سروس) کا اثر. بدقسمتی سے، یہ پتہ چلتا ہے کہ عام طور پر، یہ ہر ایک یونٹس پر اثر انداز نہیں کر سکتا. تاہم، کچھ مفہومات کے ساتھ، محققین پر عملدرآمد کے اثرات کا اندازہ لگا سکتا ہے (یعنی، جو لوگ مسودہ کرتے ہیں اور جو لوگ کام نہیں کریں گے، وہ تیار نہیں کریں گے، میز 2.7، 2.7). میں اس تخمینہ کے مطابق اوسط وابستہ اثر (CACE) کو فون کروں گا (جسے کبھی کبھی مقامی اوسطا علاج کے اثرات ، دیر سے بھی کہا جاتا ہے):
\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]
جہاں \(G_i\) شخص کا گروپ عطیہ کرتا ہے \(i\) (جدول 2.7 دیکھیں) اور \(N_{\text{co}}\) اطاعت کی تعداد ہے. دوسرے الفاظ میں، eq. 2.11 مماثلتوں کی آمدنی کا موازنہ کرتا ہے جو مسودہ کیا گیا ہے \(Y_i(1, W_i(1))\) اور مسودہ نہیں کیا گیا ہے \(Y_i(0, W_i(0))\) . ایق میں تخمینہ 2.11 متوقع اعدادوشمار کا اندازہ لگانا مشکل ہے کیونکہ یہ صرف ممکنہ ڈیٹا کا استعمال کرتے ہوئے شکایات کی نشاندہی کرنے کے لئے ممکن نہیں ہے (جاننے کے لئے کہ اگر کوئی شکایت کرے تو آپ اس بات کا مشاہدہ کرنے کی ضرورت ہو گی کہ وہ مسودہ جب کام کرتے ہیں اور کیا کام کرتے ہیں تو کیا اس کی نشاندہی نہیں کی جاتی ہے).
یہ کچھ حیرت انگیز طور پر پتہ چلتا ہے- اگر کوئی شکایت کرنے والا ہے، تو اس کو فراہم کرنے میں تین اضافی مفادات بنائے جاتے ہیں، یہ مشاہدہ شدہ ڈیٹا سے CACE کا تخمینہ لگانا ممکن ہے. سب سے پہلے، ایک کو فرض کرنا ہے کہ علاج کے لئے تفویض بے ترتیب ہے. لاٹری مسودہ کے معاملے میں یہ مناسب ہے. تاہم، کچھ ترتیبات میں جہاں قدرتی تجربات جسمانی تصادفی پر انحصار نہیں کرتے ہیں، اس کا تصور زیادہ مشکلات سے متعلق ہوسکتا ہے. دوسرا، کسی کو یہ فرض کرنا ہوگا کہ ان کا کوئی دفاعی نہیں ہے (یہ تصور کبھی بھی کبھی بھی بدعنوانی کے تصور کو بلایا جاتا ہے). مسودہ کے تناظر میں یہ سمجھنے کے لئے موزوں لگتا ہے کہ بہت کم لوگ موجود ہیں جو مسودے کی بنا پر کام نہیں کریں گے اور نہ ہی اس کی نشاندہی کی جائے گی. تیسرا، اور آخر میں، سب سے زیادہ اہم مفہوم آتا ہے جس کو خارج کرنے کی پابندی کہا جاتا ہے . خارج ہونے والی پابندی کے تحت، کسی کو یہ فرض کرنا ہوگا کہ علاج کا کام کے تمام اثر علاج کے ذریعے ہی منظور ہوجائے. دوسرے الفاظ میں، کسی کو یہ فرض کرنا ہوگا کہ نتائج پر حوصلہ افزا کا براہ راست اثر نہیں ہے. مسودہ لاٹری کے معاملے میں، ایک کو فرض کرنے کی ضرورت ہے کہ ڈرافٹ کی حیثیت سے فوجی خدمات کے بجائے دوسرے آمدنی پر کوئی اثر نہیں پڑے گا (نمبر 2.11). خارج ہونے والی پابندی کی خلاف ورزی کی جا سکتی ہے، مثال کے طور پر، جو مسودہ شدہ افراد نے اسکول میں زیادہ وقت گزارے وہ خدمت سے بچنے کے لۓ یا آجروں کو ان لوگوں کو ملازمت کرنے کا امکان کم تھا جو مسودہ کیا گیا تھا.
اعداد و شمار 2.11: خارج ہونے والی پابندی کی ضرورت ہے کہ حوصلہ افزائی (مسودہ لاٹری) صرف علاج (فوجی سروس) کے ذریعہ نتائج (آمدنی) پر اثر ڈالیں. اگر یہ ایرر برقرار رہے تو ہمارے ہیلپ ڈیسک سے رابطہ کریں. اس ویڈیو پر غلط استعمال کی اطلاع دیتے ہوئے ایرر آ گیا ہے. براہ مہربانی دوبارہ کوشش کریں. اگر یہ ایرر برقرار رہے تو ہمارے ہیلپ ڈیسک سے رابطہ کریں. غلط استعمال کی اطلاع دیتے ہوئے ایرر آ گیا ہے. براہ مہربانی دوبارہ کوشش کریں. اگر یہ ایرر برقرار رہے تو ہمارے ہیلپ ڈیسک سے رابطہ کریں.
اگر یہ تین حالت (علاج کے لئے بے ترتیب تفویض، کوئی دفاعی اور خارج ہونے والی پابندی) نہیں ملے گی تو پھر
\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]
لہذا ہم CACE کا تخمینہ کر سکتے ہیں:
\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]
CACE کے بارے میں سوچنے کا ایک طریقہ یہ ہے کہ ان لوگوں کے درمیان نتائج میں فرق ہے جو حوصلہ افزائی کر رہے تھے اور ان لوگوں کو حوصلہ افزائی نہیں کی جا رہی ہیں جن کی شرح میں اضافہ ہوا ہے.
ذہن میں رکھنے کے لئے دو اہم caveats ہیں. سب سے پہلے، خارج ہونے والی پابندی ایک مضبوط مفکوری ہے، اور اس معاملے کی بنیاد پر جائز ثابت ہونے کی ضرورت ہے، جس میں اکثر مضامین کی مہارت کی ضرورت ہوتی ہے. خارج ہونے والی پابندی کو حوصلہ افزائی کے تصادفی کے ساتھ جائز نہیں کیا جا سکتا. دوسرا، آلہ متغیر تجزیہ کے ساتھ ایک عام عملی چیلنج آتا ہے جب علاج کی اپوزیشن پر حوصلہ افزائی ہوتی ہے (جب \(\text{ITT}_W\) چھوٹا ہوتا ہے تو). یہ ایک کمزور آلہ کہا جاتا ہے، اور یہ مختلف قسم کے مسائل (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) . کمزور آلات کے ساتھ مسئلہ کے بارے میں سوچنے کا ایک طریقہ یہی ہے کہ \(\widehat{\text{CACE}}\) \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) لحاظ سے چھوٹے تعاقب کرنے کے لئے حساس ہوسکتا ہے. خارج ہونے والی پابندی کی خلاف ورزیوں کی وجہ سے - کیونکہ یہ تعصب تھوڑا سا \(\widehat{\text{ITT}_W}\) طرف سے بڑھایا جاتا ہے \(\widehat{\text{ITT}_W}\) ایک 2.13 دیکھیں). اگر یہ ایرر برقرار رہے تو ہمارے ہیلپ ڈیسک سے رابطہ کریں. غلط استعمال کی اطلاع دیتے ہوئے ایرر آ گیا ہے. براہ مہربانی دوبارہ کوشش کریں. اگر یہ ایرر برقرار رہے تو ہمارے ہیلپ ڈیسک سے رابطہ کریں. غلط استعمال کی اطلاع دیتے ہوئے ایرر آ گیا ہے. براہ مہربانی دوبارہ کوشش کریں. اگر یہ ایرر برقرار رہے تو ہمارے ہیلپ ڈیسک سے رابطہ کریں. غلط استعمال کی اطلاع دیتے ہوئے ایرر آ گیا ہے.
اس بحث کے مزید رسمی نسخے کے لئے Imbens and Rubin (2015) کے باب 23 اور 24 دیکھیں. آلات متغیر کے روایتی معیشت کے نقطہ نظر عام طور پر مساوات کا اندازہ کرنے کے لحاظ سے اظہار کیا جاتا ہے، ممکنہ نتائج نہیں. اس دوسرے نقطہ نظر سے تعارف کے لئے، Angrist and Pischke (2009) دیکھیں اور دو نقطہ نظروں کے درمیان مقابلے کے لۓ، Imbens and Rubin (2015) سیکشن 24.6 دیکھیں. آلہ متبادل متغیر نقطہ نظر کے متبادل، تھوڑا سا کم رسمی پیشکش Gerber and Green (2012) باب 6 میں فراہم کی جاتی ہے. خارج ہونے والی پابندی پر مزید کے لئے، ملاحظہ کریں D. Jones (2015) . Aronow and Carnegie (2013) کی ایک اضافی سیٹ بیان کی جا سکتی ہے جو کہ CACE کے بجائے اے ٹی ای کا اندازہ کرنے کے لئے استعمال کیا جا سکتا ہے. مزید جاننے کے لئے کہ کس طرح قدرتی تجربات تشریح کرنے میں بہت مشکل Sekhon and Titiunik (2012) ہیں، Sekhon and Titiunik (2012) . قدرتی تجربات کے لئے عام طور پر متعارف Dunning (2012) دیکھیں جیسے ڈیزائنوں جیسے ریگریشن ڈپٹیونٹی میں بھی شامل ہونے والے متغیر نقطہ نظر سے باہر جاتا ہے.
