Сабтҳои математикӣ
Дар ин замима, ман якчанд идеяҳоеро оид ба қабули нобаробарии маълумоти ғайримуқаррарӣ дар шаклҳои каме математикӣ ҷамъ меорам. Ду тарзи асосӣ вуҷуд доранд: чаҳорчӯби асбобҳои ноқилӣ, ки бо Юдес Пирл ва ҳамшарикон алоқаманданд, ва чаҳорчӯбаи потенсиали натиҷаҳое, ки бо Дональд Рубин ва ҳамкорон алоқаманданд. Ман чорчӯбаи имконпазирро пешниҳод мекунам, зеро он ба ақидаҳо дар матнҳои математикӣ дар охири боби 3 ва 4 алоқаманд аст. Барои маълумоти бештар, дар чаҳорчӯбаи графикии сабабҳо, Pearl, Glymour, and Jewell (2016) тавсия дода мешавад ) ва Pearl (2009) (пешрафта). Барои муолиҷаи китобҳои даврии сабабҳои асосноке, ки дар чаҳорчӯби эҳтимолии натиҷаҳои имконпазир ва чаҳорчӯбаи ноқилӣ ҷамъ меоянд, Ман Morgan and Winship (2014) тавсия медиҳам Morgan and Winship (2014) .
Мақсади ин замима ин ба шумо ёрӣ мерасонад, ки ба одат ва тарзи анъанаи анъанавии натиҷаҳои дилхоҳатон осонтар шавед, то ки шумо метавонед ба баъзе маводҳои техникӣ, ки дар ин мавзӯъ навишта шудаанд, гузаред. Аввалан, ман чаҳорчӯбаи эҳтимолии натиҷаҳоро тасвир мекунам. Сипас, ман онро истифода мебарам, то ки минбаъд аз таҷрибаи табиии Angrist (1990) оид ба таъсири хизмати ҳарбиро ба даст оварад. Ин замима дар Imbens and Rubin (2015) .
Чорчӯбаи эҳтимолии натиҷаҳо
Чаҳорчӯбаи эҳтимолии натиҷаҳо се унсури асосӣ доранд: адад , табобат ва натиҷаҳои имконпазир . Барои нишон додани ин унсурҳо, биёед як варианти структуравӣ оид ба масъалае, ки дар Angrist (1990) баррасӣ мешавад, фикр кунед: Таъсири хизмати ҳарбӣ дар бораи даромад чӣ гуна аст? Дар ин ҳолат, мо метавонем ададҳоро барои одамоне, ки барои лоиҳаи 1970-ум дар Иёлоти Муттаҳида лозиманд, муайян карда тавонем ва ин одамонро ба инобат гирем \(i = 1, \ldots, N\) . Табибон дар ин ҳолат метавонанд «дар хизмат» хизмат кунанд ё «дар хидмати низомӣ набошанд». Ман инро шароити табобат ва назоратро даъват мекунам ва ман нависам \(W_i = 1\) агар шахси \(i\) дар ҳолати муолиҷа ва \(W_i = 0\) агар шахси \(i\) дар ҳолати назорат бошад. Ниҳоят, натиҷаҳои потенсиалӣ ба таври консентратонӣ мушкилтаранд, зеро онҳо «натиҷаҳои» имконпазирро дар бар мегиранд; чизҳое, ки метавонистанд рӯй диҳад. Барои ҳар як шахсоне, ки барои лоиҳаи 1970 мувофиқанд, мо тасаввур карда метавонем, ки онҳо дар соли 1978 ба даст меоранд, агар онҳо дар ҷангҳо хидмат кунанд, ки ман онҳоро даъват мекунам \(Y_i(1)\) , ва маблағи он 1978, агар онҳо дар артиш хизмат накарда бошанд, ман онҳоро даъват мекунам \(Y_i(0)\) . Дар чорчӯбаи эҳтимолии натиҷаҳо, \(Y_i(1)\) ва \(Y_i(0)\) миқдори муайяне ҳисобида мешаванд, дар \(W_i\) тағйирёбандаи тасодуфӣ аст.
Интихоби қисматҳо, табобатҳо ва натиҷаҳо хеле муҳим аст, зеро он муайян мекунад, ки чӣ гуна метавонад ва аз омӯзиш омӯхта шавад. Интихоби агрессияҳо - одамоне, ки барои лоиҳаи 1970-ро доранд, -мегӯянд, занҳо ба инобат намегиранд ва бе фарогирии иловагӣ, ин тадқиқот дар бораи таъсири хизмати ҳарбӣ дар занон нақл намекунад. Қарорҳо дар бораи тарзи муайян кардани табобат ва натиҷаҳо хеле муҳим мебошанд. Масалан, оё муносибат ба манфиати хизмат дар ҷанг ё ҷанги тамаркуз доштан лозим аст? Оё натиҷа аз фоида даромад ё қаноатбахшии кори аст? Дар ниҳоят, интихоби дастгоҳҳо, табобатҳо ва натиҷаҳо бояд ҳадафҳои илмию илмию таҳқиқии тадқиқотро ба даст оранд.
Бо дарназардошти интихоби дастгоҳҳо, табобатҳо ва натиҷаҳои имконпазир, таъсири манфии муолиҷа ба шахси \(i\) , \(\tau_i\) ,
\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]
Ба ибораи дигар, мо муқоиса мекунем, ки чӣ қадар одам \(i\) пас аз он ки чӣ қадар одам \(i\) бе хидмат ба даст оварда мешуд, ба даст оварда мешуд. Барои ман, eq. 2.1 ин роҳи равшантаринест, ки таъсири манфии муайянро муайян мекунад ва ҳарчанд хеле содда аст, ин чаҳорчӯба ба тарзҳои зиёди муҳим ва ҷолиб табдил меёбад (Imbens and Rubin 2015) .
Ҳангоми истифодаи заминаи эҳтимолии натиҷаҳои ман, ман аксар вақт барои таҳия кардани ҷадвал нишон медиҳем, ки натиҷаҳои эҳтимолӣ ва таъсири табобат барои ҳама қисмҳо (ҷадвали 2.5) муфид аст. Агар шумо барои таҳсили шумо як ҷадвалро чунин тасаввур карда натавонед, пас шояд ба шумо тавзеҳ диҳед, ки тавсифоти воҳидҳои шумо, табобатҳо ва натиҷаҳои эҳтимолии шумо бештар бошанд.
| Шахс | Камбудиҳо дар ҳолати табобат | Музди кор дар ҳолати назорати | Таъсири муолиҷа |
|---|---|---|---|
| 1 | \(Y_1(1)\) | \(Y_1(0)\) | \(\tau_1\) |
| 2 | \(Y_2(1)\) | \(Y_2(0)\) | \(\tau_2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | \(Y_N(0)\) | \(\tau_N\) |
| Муфассалтар | \(\bar{Y}(1)\) | \(\bar{Y}(0)\) | \(\bar{\tau}\) |
Ҳангоми муайян кардани таъсири ногузир дар ин ҳолат, мо ба мушкилот дучор мешавем. Дар қариб ҳамаи ҳолатҳо, мо ба натиҷаҳои имконпазир эҳтиёҷ надорем. Ин аст, ки шахси мушаххас хизмат ё хидмат намекунад. Бинобар ин, мо яке аз натиҷаҳои имконпазир - \(Y_i(1)\) ё \(Y_i(0)\) - вале на ҳар ду. Нашъамандии мушаххаси натиҷаҳои имконпазир ин яке аз мушкилоти Holland (1986) , ки Holland (1986) онро проблемаи асосии асосиро пешгирӣ мекунад .
Хушбахтона, вақте ки мо кор карда истодаем, мо танҳо як шахс надорем; Баръакс, мо бисёр одамон дорем, ва ин дар навбати худ дар атрофи масъалаи асосии мавзӯъи ташаккулёбӣ мебошад. Ба ҷои кӯшиши баҳо додан ба таъсири табобати фардӣ, мо метавонем таъсироти миёнавазни табобатро барои ҳамаи қисмҳо арзёбӣ кунем:
\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]
Ин синтез ҳанӯз дар робита бо \(\tau_i\) , ки \(\tau_i\) нест, вале бо баъзе алгебра (eq 2.8) Gerber and Green (2012)
\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]
Ин нишон медињад, ки агар мо метавонем натиљањои миёнаи ањолиро дар њолати табобат муайян намоем ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) ва натиљањои миёнаи ањолї дар зери назорати ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), пас мо метавонем таъсири табобати миёнаи ҳисоб, ҳатто бе пешбинӣ намудани таъсири табобати барои ҳар як шахси махсус.
Акнун, ки ман ҳисоботи худро муайян кардам, чизеро, ки мо мехоҳем муайян кунем, ман мефаҳмам, ки чӣ тавр мо метавонем онро бо маълумотҳо метавон арзёбӣ кунем. Ва дар ин ҷо мо бевосита ба мушкилот роҳ медиҳем, ки мо фақат яке аз натиҷаҳои имконпазир барои ҳар як шахс мебошем; мо мебинем \(Y_i(0)\) ё \(Y_i(1)\) (ҷадвали 2.6). Мо метавонем, ки таъсири муомилаи миёна бо муқоисаи даромадҳои одамоне, ки ба музди меҳнат,
\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]
ки дар он \(N_t\) ва \(N_c\) шумораи одамон дар шароити табобат ва назорат мебошанд. Чунин муносибат хуб кор мекунад, агар таъини нафақа аз натоиҷи имконпазир, баъзан номаълумии номатлуб мустақилона кор кунад. Мутаассифона, дар сурати набудани таҷрибаи номатлуб аксаран қаноатманд нестанд, ки маънои онро дорад, ки дар ҳисобҳои электронии eq. 2.4 эҳтимолияти тавлиди хуб надошта бошад. Яке аз роҳҳое, ки дар бораи он фикр мекунанд, ин аст, ки дар сурати набудани тасодуфии тасодуфии табобат, н. 2.4 ба монанди монанд; он ба даромадҳои гуногуни одамон муқоиса мекунад. Ё ба таври ғайримустақим, бидуни таҳлили тасодуфии муолиҷа, фарогирии табобат метавонад ба натиҷаҳои эҳтимолӣ алоқаманд бошад.
Дар боби 4, ман тасаввур мекунам, ки чӣ гуна таҷрибаҳои назоратии тасодуфӣ метавонанд ба таҳқиқотчиён баҳогузорӣ кунанд ва дар ин ҷо тавзеҳ диҳед, ки чӣ тавр таҳлилгарон метавонанд аз таҷрибаҳои табиии худ, аз ҷумла лоиҳаи лотерея истифода баранд.
| Шахс | Камбудиҳо дар ҳолати табобат | Музди кор дар ҳолати назорати | Таъсири муолиҷа |
|---|---|---|---|
| 1 | Оё | \(Y_1(0)\) | Оё |
| 2 | \(Y_2(1)\) | Оё | Оё |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | Оё | Оё |
| Муфассалтар | Оё | Оё | Оё |
Таҷрибаҳои табиӣ
Яке аз усулҳои пешбурди ҳисобҳои нотамом бе гузаронидани озмоиш ин ҷустуҷӯи чизе, ки дар ҷаҳон рӯй медиҳад, ҷудогона ба шумо табобат кардаед. Ин усул таҷрибаи табиии ном дорад. Дар бисёр ҳолатҳо, мутаассифона, табиат тасодуфӣ нест, ки табобатро, ки шумо ба аҳолии шавқ мехоҳед, раҳо кунед. Аммо баъзан, табиат тасодуфан табобатро дар бар мегирад. Махсусан, ман дида мебароем, ки дар он ҷо ягон табобати иловагӣ вуҷуд дорад, ки одамонро табобат мекунанд . Масалан, лоиҳа метавонад табобати иловагӣеро интихоб кунад, ки баъзе одамонро барои табобати ибтидоӣ, ки дар хизмати ҳарбӣ хизмат мекунанд, ташвиқ мекарданд. Ин лоиҳа баъзан тарроҳии рӯҳбаланд номида мешавад. Ва усули таҳлиле, ки ман барои ҳалли ин вазъ тавзеҳ медиҳем, баъзан тағйирёбандаи тағйирёбанда номида мешавад . Дар ин ҳолат, бо баъзе пиндоштҳо, таҳқиқотчиён метавонанд рӯҳбаландиро истифода баранд, то дар бораи таъсири муолиҷаи ибтидоӣ барои зерсохтори муайяни қисмҳо фаҳманд.
Барои ҳалли ду табобати гуногун - рӯҳбаландӣ ва табобати асосӣ - ба мо баъзе навъҳои нав лозим аст. Бояд гуфт, ки баъзе одамон ба таври тасодуфӣ таҳия шудаанд ( \(Z_i = 1\) ) ё таҳия нашудаанд ( \(Z_i = 0\) ); Дар ин ҳолат, \(Z_i\) баъзан як воситаи асбобӣ номида мешавад.
Дар байни онҳое, ки таҳия шудаанд, баъзеҳо ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) ва баъзеҳо ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) ) буданд. Ҳамин тавр, дар байни онҳое, ки таҳия нашудаанд, баъзеҳо ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) ва баъзеҳо ( \(Z_i = 0, W_i = 0\) ) буданд. Натиҷаҳои потенсиал барои ҳар як кас метавонад барои васеъ кардани мақоми худ ва ҳам табобатро нишон диҳад. Масалан, биёед \(Y(1, W_i(1))\) даромади шахси \(i\) агар ӯ таҳия карда шуда бошад, дар он ҷо \(W_i(1)\) статуси хидматиаш, агар таҳия карда шавад. Ғайр аз ин, мо метавонем аҳолиро ба чор гурӯҳ тақсим кунем: ҳамоҳангсозиҳо, ҳаргиз муқобилаткунанда, дуздон ва ҳамеша ҳамеша (ҷадвали 2.7).
| Намуди | Хизмат, агар таҳия карда шавад | Хизмат, агар таҳия нашуда бошад |
|---|---|---|
| Санҷишҳо | Бале, \(W_i(Z_i=1) = 1\) | Не, \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| Ҳеҷ гоҳ нагузоред | Не, \(W_i(Z_i=1) = 0\) | Не, \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| Defiers | Не, \(W_i(Z_i=1) = 0\) | Бале, \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
| Ҳамеша ғоибона | Бале, \(W_i(Z_i=1) = 1\) | Бале, \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
Пеш аз муҳофизат кардани таъсири муолиҷа (яъне, хизмати ҳарбӣ), мо метавонем пеш аз он ки ду ташаббусро рӯҳбаланд кунем, яъне яъне омода созем. Аввалан, мо метавонем таъсироти рӯҳбаландиро дар табобати ибтидоӣ муайян намоем. Дуюм, мо метавонем таъсироти рӯҳбаландиро дар бораи натиҷаҳо муайян намоем. Ин рӯй медиҳад, ки ин ду таъсири он метавонанд барои тақвият додани арзёбии таъсири муолиҷаи гурӯҳи махсуси одамон ҷамъ шаванд.
Якум, таъсири эњсосот ба табобат метавонад барои шахс муайян карда шавад \(i\)
\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]
Ғайр аз ин, ин миқдор нисбат ба тамоми аҳолӣ муайян карда мешавад
\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]
Ниҳоят, мо метавонем маълумоти зеринро истифода набарем: \(\text{ITT} _{W}\) :
\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]
ки дар он \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) сатҳи мушоҳидаи табобат барои онҳое, ки рӯҳбаланд карда шудаанд ва \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) аст сатҳи мушоҳидаи муолиҷа барои онҳое, ки ба онҳо рӯҳбаланд нестанд. \(\text{ITT}_W\) низ баъзан меъёри бозёфт номида мешавад .
Баъдан, таъсири ҳавасмандкунӣ ба натиҷа метавонад барои шахс муайян карда шавад \(i\) :
\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]
Ғайр аз ин, ин миқдор нисбат ба тамоми аҳолӣ муайян карда мешавад
\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]
Ниҳоят, мо метавонем маълумоти зеринро истифода барем: \(\text{ITT}_{Y}\)
\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]
\(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) барои натиҷаҳои мушаххас (масалан, даромад) барои онҳое, ки ба онҳо рӯҳбаланд шудаанд (масалан, таҳияшуда) ва \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) натиҷаҳои мушаххас барои онҳое, ки ба онҳо рӯҳбаланд нашудаанд, мебошад.
Ниҳоят, мо диққати моро ба таъсири манфиатҳо равона месозем: таъсири муолиҷаи ибтидоӣ (масалан, хизмати ҳарбӣ) дар натиҷаи (масалан, даромад). Мутаассифона, он рӯй медиҳад, ки ягон кас наметавонад, дар маҷмӯъ, ин таъсирро дар ҳамаи қисмҳо баҳо диҳад. Бо вуҷуди ин, бо баъзе пиндоштҳо тадқиқотчиён таъсири муолиҷаро оид ба таҷрибаомӯзӣ (яъне одамоне, ки ҳангоми таҳия ва коргарон хидмат намекунанд, ҳисоб намеёбанд, дар ҷадвали 2.7) хизмат мекунанд. Ман ин арзёбиро ба ҳисоби миёна миёна (CACE) мутобиқ месозам (ки баъзан таъсири муолиҷаи маҳаллӣ , LATE номида мешавад):
\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]
\(G_i\) гурӯҳи шахсиро \(i\) (нигаред ба ҷадвали 2.7) ва \(N_{\text{co}}\) шумораи рамзҳо мебошад. Бо ибораи дигар, eq. 2.11 даромади довталабоне, ки таҳия шудаанд, \(Y_i(1, W_i(1))\) ва таҳия нашудаанд \(Y_i(0, W_i(0))\) . Дар назарияи eq. 2.11 эҳтимол дорад, ки аз маълумотҳои мушаххас ҳисоб карда шавад, зеро он имконият намедиҳад, ки шикоятҳо танҳо бо истифода аз маълумотҳои мушаххас муайян карда шаванд (барои донистани он, ки оё касе ба шумо шубҳа дорад, оё зарур аст, ки ӯ ҳангоми иҷрои кораш ва оё ӯ ҳангоми таҳия нашудани хидмат хидмат кунад) зарур аст.
Он рӯй медиҳад - якчанд тааҷҷубовар аст - агар ягон шикояткунанда вуҷуд дошта бошад, пас як пешниҳод се иловаи иловагӣ медиҳад, он имкон медиҳад, ки CACE аз маълумоти мушаххас ҳисоб карда шавад. Аввалан, як кас бояд фикр кунад, ки супориш ба муолиҷа тасодуфан аст. Дар сурати литсензия литсензияи мазкур оқилона аст. Бо вуҷуди ин, дар баъзе муқаррароте, ки таҷрибаҳои табииро ба таснифоти ҷисмонӣ намерасонанд, ин тахминӣ метавонад мушкилоти бештаре бошад. Дуюм, яке аз онњоро бояд фикр кунад, ки онњо њељ ќатъкунанда нестанд (ин пиндоштани он баъзан ба назарияи монотония ном дорад). Дар чаҳорчӯбаи лоиҳаи мазкур, тасаввур кардан мумкин аст, ки шумораи ками одамон вуҷуд доранд, ки ба коре, ки таҳия карда намешаванд, хизмат намекунад, агар хидмат накунанд. Сеюм, ва ниҳоят, аз як чизи муҳимтаре, ки маҳдудияти истисмор номида мешавад, меояд. Дар доираи маҳдудиятҳои истисноии як шахс бояд фикр кунад, ки ҳамаи таъсири муолигардонии муолиҷа тавассути худи табобат гузаштааст. Ба ибораи дигар, яке аз онњоро бояд ќайд кард, ки дар натиља натиљањои њавасмандкунї таъсири бевосита надоранд. Дар мавриди лоиҳаи лотерея, масалан, зарур аст, ки лоиҳаи статсионарӣ дар бораи даромадҳои ғайр аз хизмати ҳарбӣ ба амал бароварда шавад (ҷадвали 2.11). Масалан, одамоне, ки таҳия шудаанд, вақти бештарро дар мактаб бо мақсади пешгирӣ кардани хидмат ё маҳдуд кардани коргарони кироя, эҳтимоли камтар доранд.
Тасвири 2.11: Маҳдудияти истиснои талаботе, ки ҳавасманд (лотереяи лоиҳавӣ) танҳо ба воситаи табобат (хизмати ҳарбӣ) ба натиҷа (даромад) таъсир мерасонад. Масалан, маҳдуд кардани маҳдудият мумкин аст, агар масалан, одамоне, ки таҳия карда шудаанд, дар муддати кӯтоҳ мактабро барои пешгирӣ кардани хидмат сарф мекарданд ва ин дар вақти зиёдтар дар мактаб боиси афзудани ҳаҷми зиёд гардид.
Агар ин се ҳолати (таъиноти тасодуфӣ ба муолиҷа, ҳеҷ гуна вайронкунандаҳо ва маҳдудкунии истиснои) мутобиқ набошад
\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]
пас мо метавонем CACE баҳо диҳем:
\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]
Яке аз роҳҳое, ки дар бораи CACE фикр мекунанд, ин фарқияти натиҷаҳои байни онҳое, ки рӯҳбаланд карда шудаанд ва онҳое,
Ду фарои асосии муҳим дар хотир доранд. Аввалан, маҳдудкунии истисноӣ як қадами устувор аст ва он бояд дар асоси ҳолат асоснок карда шавад, ки аксар вақт талаботро дар соҳаи экспертиза талаб мекунад. Маҳдудияти истисноӣ бо таснифоти рӯҳбаландкунӣ беэътиноӣ карда намешавад. Дуюм, мушкилоти умумӣ бо таҳлили тағйирёбандаи тағйирёбанда, вақте ки ҳавасмандкунӣ таъсири манфӣ дорад (ҳангоми \(\text{ITT}_W\) хурд аст). Ин як таҷҳизоти заиф номида мешавад ва он ба проблемаҳои гуногуни (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) . Яке аз роҳҳое, ки дар бораи мушкилот бо асбобҳои заиф фикр мекунанд, ин \(\widehat{\text{CACE}}\) хурд дар \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) бошад, вайрон кардани қоидаҳои истиснои ғайриқонунӣ - зеро ин қоидаҳо бо воситаи хурд \(\widehat{\text{ITT}_W}\) (нигаред ба eq. 2.13). Қариб, агар табобате, ки табиатро таъин мекунад, ба муносибати муолиҷаи шумо дар бораи он, ки шумо дар бораи он ғамхорӣ мекунед, таъсири калон намедиҳед.
Нигаред ба фасли 23 ва 24-и Imbens and Rubin (2015) барои расмиёти бештартарини ин муҳокима нигаред. Муносибати анъанавии иќтисодї ба таѓйирёбии таѓирёбанда одатан дар муќоиса кардани њисобњо, на натиљањои потенсиалї ифода карда мешавад. Барои муаррифии ин дурнамои дигар Angrist and Pischke (2009) ва муқоиса байни ду усулҳо, ниг. Ба 24.6-и Imbens and Rubin (2015) . Намунаи алтернативӣ, каме каме намунавии тарзи тағйирёбандаи тағйирёбанда дар боби 6-и Gerber and Green (2012) . Барои бештар дар бораи маҳдуд кардани истисно, ниг. D. Jones (2015) . Aronow and Carnegie (2013) маҷмӯи иловаҳои пинҳонкуниро тавсиф мекунанд, ки мумкин аст, ки ATE-ро ҳисоб кунанд, на CACE. Барои фаҳмидани он, ки чӣ гуна таҷрибаҳои табииро барои тафсир кардан хеле мушкил аст, ба Sekhon and Titiunik (2012) . Барои муаррифии умумӣ ба озмоишҳои табиӣ - яке аз оне, ки танҳо аз тағйирёбандаи тағйирёбанда мегузарад, инчунин тарҳрезаҳо, аз қабили ресмонатсиякунӣ - ба Dunning (2012) нигаред Dunning (2012) .
