Сабтҳои математикӣ

Дар ин замима, ман баъзе аз идеяҳоро аз боби яктарафаи математикӣ тасвир хоҳам кард. Мақсад ин аст, ки ба шумо ёрӣ расонед, ки шумо бо таҳия ва математикаи истифодакунандаи тадқиқоти тадқиқот истифода баред, то ки шумо метавонед ба баъзе маводҳои техникӣ, ки дар ин мавзӯъҳо навишта шудаанд, гузаред. Бо пешниҳоди нусхабардории эҳтимолият оғоз мекунам, сипас ба намунаи эҳтимолият бо намунаи беасос ва ниҳоят, намунаи ғайримуқаррарӣ ҳаракат кунед.

Санҷиши эҳтимолӣ

Ҳамчун намунаи мисол, биёед мақсадҳои баҳодиҳии сатҳи бекорӣ дар Иёлоти Муттаҳида. \(U = \{1, \ldots, k, \ldots, N\}\) ва \(y_k\) \(k\) . Дар ин мисол \(y_k\) он шахсе аст \(k\) бекор аст. Дар охир, биёед \(F = \{1, \ldots, k, \ldots, N\}\) чорчубаи аҳолиро дошта бошад, ки барои содда кардани он аҳамияти аҳамият дорад.

Намунаи намунавии намунавӣ бе ивазкунии намунаи тасодуфии оддӣ мебошад. Дар ин ҳолат, ҳар як шахс ба эҳтимоли зиёд ба намуна дохил карда мешавад \(s = \{1, \ldots, i, \ldots, n\}\) . Вақте ки маълумот бо ин тарҳи намунавӣ ҷамъоварӣ карда мешавад, таҳқиқотчиён метавонанд сатҳи бекорӣро бо намуна арзёбӣ кунанд:

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{\sum_{i \in s} y_i}{n} \qquad(3.1)\]

ки дар он \(\bar{y}\) сатҳи бекорӣ дар аҳолӣ ва \(\hat{\bar{y}}\) аст, ки ин нишондиҳандаи сатҳи бекорӣ ( \(\hat{ }\) аст истифода бурда мешавад.

Дар асл, тадқиқотчиён бе истифодаи ивази оддии оддӣ истифода намебаранд. Барои сабабҳои гуногун (яке аз онҳо дар як лаҳза тавзеҳ медиҳем), тадқиқотчиён аксар вақт намунаҳои нобаробарии дохилшавӣ эҷод мекунанд. Масалан, тадқиқотчиён метавонанд дар Флорида бо эҳтимоли баландтарини дохилшавӣ аз Калифорния интихоб шаванд. Дар ин ҳолат намуна маънои онро дорад, ки тақрибан 3,1 схема хуб аст. Ба ҷои ин, вақте ки имкониятҳои нобаробарии дохилӣ вуҷуд дорад, таҳқиқгарон истифода мебаранд

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{1}{N} \sum_{i \in s} \frac{y_i}{\pi_i} \qquad(3.2)\]

ки \(\hat{\bar{y}}\) тахминии сатҳи бекории ва \(\pi_i\) \(i\) "эҳтимолияти мавҷудияти шахс \(i\) . Пас аз таҷрибаи стандартӣ ман ба ҳисоби миёна ҳисобот медиҳам. 3.2 Ҳисоботи Horvitz-Томпсон. Ҳисоботи Horvitz-Томпсон хеле муфид аст, зеро он ба арзёбии нобаробарӣ барои тарҳрезии намунавии намунавӣ (Horvitz and Thompson 1952) . Азбаски баҳодиҳии Horvitz-Томпсон зуд-зуд ба вуқӯъ мепайвандад, ба назар мерасад, ки он метавонад исбот карда шавад

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{1}{N} \sum_{i \in s} w_i y_i \qquad(3.3)\]

ки дар он \(w_i = 1 / \pi_i\) . Чун eq. 3.3 нишон медиҳад, ки Ҳисоботи Horvitz-Томпсон як намунаи вазнин аст, ки дар он вазнҳо ба қадри имконияти интихоби интихобӣ вобастаанд. Ба ибораи дигар, ба эҳтимоли камтар, шахс бояд ба намуна дохил шавад, вазни зиёдае, ки шахс бояд дар тахфиф ба даст оварда шавад.

Тавре ки пештар тасвир шудааст, тадқиқотчиён аксар вақт ба одамони дорои имконоти нобаробар дохил карда шудаанд. Як намунаи тарҳе, ки метавонад ба имкониятҳои нобаробарии дохилӣ оварда расонад, намунаи фарогир мебошад, ки барои фаҳмидани он муҳим аст, зеро он бо расмиёти арзёбӣ, ки баъди таҳлили номатлуб алоқаманд аст, алоқаманд аст. Дар тадқиқоти соддашуда як тадқиқотчӣ аҳолии мақсаднокро ба гурӯҳҳои \(H\) якҷоя \(H\) гурӯҳҳои ихтиёрӣ ва пурқувват тақсим мекунад. Ин гурӯҳҳо сатира номида мешаванд ва ҳамчун \(U_1, \ldots, U_h, \ldots, U_H\) . Дар ин мисол, тасмаҳо мегӯянд. Андозаи гурӯҳҳо ҳамчун \(N_1, \ldots, N_h, \ldots, N_H\) . Таҳқиқотчӣ метавонад намунаи тақсимшударо истифода барад, то боварӣ ҳосил кунад, ки вай дар ҳар як давлат барои кофтани сатҳи бекорӣ дар сатҳи давлатӣ дорои кофӣ дорад.

Пас аз он, ки аҳолиро ба сатил тақсим карданд, фикр кунед, ки тадқиқот намунаи оддии оддиро бе ивази андозаи \(n_h\) , мустақилона аз ҳар як қатор. Бешубҳа, фикр кунед, ки ҳама интихобшуда дар намуна мусоҳиб мегарданд (Ман дар ҷавоби дигар ҷавоб намедиҳам). Дар ин ҳолат, эҳтимолияти фарогирии он аст

\[ \pi_i = \frac{n_h}{N_h} \mbox{ for all } i \in h \qquad(3.4)\]

Азбаски ин эҳтимолият аз одам вобаста ба шахс фарқ мекунад, ҳангоми таҳияи арзёбӣ аз ин таҳқиқоти интихобӣ тадқиқотчиён бояд ҳар як мусоҳибро бо ақидаи эҳтимолияти эҳтимолияти бақайдгирии истифодабарандаи Horvitz-Томпсон (тақрибан 3.2) эҳсос намоянд.

Ҳарчанд estimator Horvitz-Томпсон беѓаразона аст, муҳаққиқон метавонанд дақиқ бештар (яъне, ихтилоф пасттар), санљишњои аз љониби муттаҳид намуна бо маълумоти ёрирасон истеҳсол карда мешавад. Баъзе одамон онро тасаввур мекунанд, ки ин ҳатто дуруст аст, вақте ки намунаи эҳтимоли эҳтимолияти эҳтимолияти иҷрошаванда вуҷуд дорад. Ин усулҳо бо ёрии иттилооти ёрирасон хеле муҳим аст, зеро, пас аз он, ки ман баъдтар нишон медиҳем, иттилооти ёрирасон барои таҳлилҳои эҳтимолӣ аз намунаҳои эҳтимолӣ бо нусхабардорӣ ва аз намунаҳои ғайримутамарказ хеле муҳим аст.

Яке аз усулҳои умумӣ барои истифодаи иттилооти ёрирасон пас аз таҳрирӣ . Тасаввур кунед, ки як таҳқиқот шумораи мардону занонро дар ҳар як 50 давлат медонад; мо метавонем андозаи ин гурӯҳро нишон диҳем \(N_1, N_2, \ldots, N_{100}\) . Барои омезиши ин маълумоти иловагӣ бо мисол, тадқиқот метавонад ба гурӯҳҳои \(H\) гурӯҳҳо (дар ин ҳолат 100) тақсим карда шавад, барои ҳар як гурӯҳ таҳлил кунед ва сипас миёнаи миёнавазни ин гурӯҳро ташкил кунед:

\[ \hat{\bar{y}}_{post} = \sum_{h \in H} \frac{N_h}{N} \hat{\bar{y}}_h \qquad(3.5)\]

Бояд гуфт, 3.5 эҳтимолан дурусттар аст, зеро он иттилооти маъмулии аҳолиро истифода мебарад - \(N_h\) - ба ҳисоботи дуруст, агар намунаи \(N_h\) интихоб шавад. Яке аз роҳҳое, ки дар бораи он фикр мекунанд, он аст, ки пас аз таҳлили баъди тақрибан маълумотҳо аллакай ҷамъоварӣ шудааст.

Дар охири фасли мазкур якчанд намунаҳои намунавӣ нишон дода шудааст: намунаи оддии тасодуфӣ бе ивазкунӣ, бо эҳтимоли эҳтимолии имконпазир ва намунаи тасодуфӣ. Он ҳамчунин ду идеяи асосиро дар бораи тахминӣ тасвир кард: Ҳисоботи Horvitz-Томпсон ва баъд аз таснифот. Барои таснифи нисбатан расмии намунаҳои намунавии эҳтимолӣ, ниг. Ба саҳ. 2, Särndal, Swensson, and Wretman (2003) . Барои табобати расмӣ ва пурраи санҷиши тасодуфӣ, ниг. 3.7 аз Särndal, Swensson, and Wretman (2003) . Барои тавсифи техникии хусусиятҳои ҳаҷори Horvitz-Томпсон, Horvitz and Thompson (1952) , Overton and Stehman (1995) , ё фасли 2.8, @ sarndal_model_2003. Барои табобати расмии пас аз таҳримот, Holt and Smith (1979) , Smith (1991) , Little (1993) , ё фасли 7.6-и Särndal, Swensson, and Wretman (2003) .

Намунаи эҳтимолӣ бо беқурбшавӣ

Қариб ҳамаи тадқиқотҳои воқеӣ беасос нестанд; яъне, ҳар як нафар дар намунаи намунавӣ ҳар як саволро ҷавоб медиҳад. Ду намуди асосии номақбахш вуҷуд дорад: адад ғайридавлатӣ ва номаълуми яксон . Дар қисмҳои ғайричашмдошт, баъзе посухгӯяндагон ба баъзе чизҳо ҷавоб намедиҳанд (масалан, баъзан посухгӯяндагон ба саволҳо ҷавоб медиҳанд, ки онҳо ҳассосанд). Дар посухдиҳии ғайримутамарказ, баъзе одамоне, ки барои намунаи интихобшуда интихоб шудаанд, ба тадқиқот дар ҳама ҳолат ҷавоб намедиҳанд. Сабаби асосии ду сабабҳои асоснок будани воҳиди ғайриасосӣ ин аст, ки шахсе, ки намунаи мушаххас карда натавонистааст, бо шахси мушаххас алоқа дошта бошад, вале иштирок карданро рад мекунад. Дар ин қисм, ман ба вокуниш ба ягонагӣ диққат медиҳам; хонандагоне, ки ба унсурҳои номатлуб манфиатдоранд, бояд ба Литва ва Рубин нигаранд (2002) .

Тадқиқотчиён аксар вақт дар бораи тадқиқотҳо бо ҷавоби ғайриҳуҷрӣ ҳамчун раванди тадқиқотии дутарафа фикр мекунанд. Дар марҳилаи якум тадқиқот як намунаи \(s\) , ки ҳар як шахс эҳтимолияти дохилшавӣ дорад \(\pi_i\) (дар \(0 < \pi_i \leq 1\) ). Пас, дар марҳилаи дуюм, одамоне, ки ба намунаи интихобшуда интихоб мешаванд, бо эҳтимолияти \(\phi_i\) (дар куҷо \(0 < \phi_i \leq 1\) ). Ин раванди дутарафа ба маҷмӯи ниҳоии посухгӯяндагон \(r\) . Фарқияти муҳими байни ин марҳилаҳо ин аст, ки тадқиқотчиён раванди интихоби намунаро назорат мекунанд, вале онҳо назорат намекунанд, ки онҳо аз онҳое, ки намунаанд, посухгӯянд. Ин ду равандро якҷоя кардан, эҳтимолияти эҳтимолияти он аст, ки касе мусоҳиб аст

\[ pr(i \in r) = \pi_i \phi_i \qquad(3.6)\]

Барои ҷобаҷогузории электронӣ, ман намефаҳмам, ки намунаи намунавии намунавии намунавии оддӣ бе ивазкунӣ нест. Агар як тадқиқот намунаи андозаи \(n_s\) , ки \(n_r\) , ва агар тадқиқот \(n_r\) мусоҳибонро истифода \(n_r\) , пас ин нишондиҳанда ба ҳисоб меравад:

\[ \mbox{bias of sample mean} = \frac{cor(\phi, y) S(y) S(\phi)}{\bar{\phi}} \qquad(3.7)\]

ки \(cor(\phi, y)\) таносуби аҳолии байни майл вокуниш ва натиҷаҳои (масалан, мақоми бекорӣ) аст, \(S(y)\) рад кунии стандартиро аз аҳолии натиҷаи аст (масалан, бекорӣ \(S(\phi)\) - аҳамияти стандартии аҳолии ҷавоби ҷавобҳо ва \(\bar{\phi}\) аст, ки аҳолӣ дар муқоиса бо аксуламали ҷавобӣ (Bethlehem, Cobben, and Schouten 2011, sec. 2.2.4) .

Дунёи иқтисод 3.7 нишон медиҳад, ки нотавониҳо беэътиноӣ накунанд, агар ягон шартҳои зерин риоя шаванд:

• Ҳеҷ тағйире дар ҳолати бекор намебошад \((S(y) = 0)\) .
• Дар муқоиса бо протоколҳои ҷавобӣ \((S(\phi) = 0)\) .
• Дар байни мафҳуми ҷавобӣ ва мақоми бекории \((cor(\phi, y) = 0)\) аломати вуҷуд надорад.

Мутаассифона, ҳеҷ яке аз ин шароит эҳтимол ба назар мерасад. Ба назар мерасад, ки дар вазъияти шуѓл ягон хел таѓйир намеёбад, ё дар таѓйири аксуламалњо ягон хел таѓйир намеёбад. Ҳамин тариқ, калимаи асосӣ дар eq. 3.7 ин ҳамгироӣ аст: \(cor(\phi, y)\) . Масалан, агар одамоне, ки бекоранд, эҳтимолияти ҷавоб додан доранд, пас сатҳи тахминии тахассусӣ болотар хоҳад буд.

Ҳикояе, ки ҳангоми баҳо додан ғайриимкон аст, ба ҳисоб гирифтани кӯмаки иловагӣ истифода мешавад. Масалан, яке аз роҳҳое, ки шумо метавонед маълумоти муфассалро истифода баред, пас аз такрори баъдӣ (ёдоварии 3.5 аз боло). Он рӯй медиҳад, ки бодиққати пасандозҳои баъдидипломӣ ин аст:

\[ bias(\hat{\bar{y}}_{post}) = \frac{1}{N} \sum_{h=1}^H \frac{N_h cor(\phi, y)^{(h)} S(y)^{(h)} S(\phi)^{(h)}}{\bar{\phi}^{(h)}} \qquad(3.8)\]

\(cor(\phi, y)^{(h)}\) , \(S(y)^{(h)}\) , \(S(y)^{(h)}\) \(S(\phi)^{(h)}\) , \(\bar{\phi}^{(h)}\) , ки дар боло номбар шудаанд, вале ба маҳдудиятҳое, ки дар гурӯҳҳо \(h\) (Bethlehem, Cobben, and Schouten 2011, sec. 8.2.1) . Ҳамин тариқ, тамомии умумӣ метавонад каме бошад, ки агар дар ҳар як гуруҳи пасошӯравӣ баъди хурдтараш хурд бошад. Ду роҳе, ки ман мехоҳам фикр кунам, ки дар бораи ҳар як гурӯҳи хурди баъди таҳаввулоти хурд каме фикр кунед. Якум, шумо мехоҳед кӯшиш кунед, ки гурӯҳҳои ҳамҷояро тартиб диҳед, ки дар он тағироти каме дар муносибати ҷавобӣ ( \(S(\phi)^{(h)} \approx 0\) ) ва натиҷа ( \(S(y)^{(h)} \approx 0\) ). Дуюм, шумо мехоҳед гурӯҳҳоро ташкил кунед, ки одамоне, ки шумо мебинед, ба монанди одамоне, ки шумо мебинед ( \(cor(\phi, y)^{(h)} \approx 0\) ). Муқоиса кардани eq. 3.7 ва eq. 3.8 фаҳмонидани он, ки пас аз таснифоти пасипардагӣ метавонад якбора аз сабаби беасос кам шавад.

Дар ниҳоят, ин қисм барои намунаи эҳтимолият бо намунаи ғайримуқаррарӣ намоиш дода шудааст ва нишон медиҳад, ки нотавоӣ метавонад ҳам тағйирёбанда ва ҳам бо тағйироти баъдидипломиро ҷорӣ кунад. Bethlehem (1988) тақвият додани равишҳоро, ки аз тарафи нотавоние, ки барои намунаи умумии намунаи саноатӣ оварда шудааст, пешниҳод мекунад. Барои бештар истифода бурдани пасгиркунии пасипардагӣ барои такрори номатлуб, нигаред Smith (1991) ва Gelman and Carlin (2002) . Särndal and Lundström (2005) калибрия номгузорӣ шудааст, нигаред Zhang (2000) барои табобати дарозмӯҳлат ва Särndal and Lundström (2005) барои табобати дарозмӯҳлат. Барои бештар аз усулҳои дигари вазнченкунӣ барои танзими Kalton and Flores-Cervantes (2003) , ба Kalton and Flores-Cervantes (2003) , Brick (2013) , ва Särndal and Lundström (2005) .

Санҷиши ғайриимкониятӣ

Намунаи ғайримарказӣ тарҳҳои гуногуни тарроҳиро дар бар мегирад (Baker et al. 2013) . Махсусан дар бораи намунаи истифодабарандагони Xbox аз тарафи Wong ва ҳамкорон (W. Wang et al. 2015) , шумо метавонед чунин мисолеро, ки яке аз калидии тарҳи намунавӣ намоиш дода нашудааст, \(\pi_i\) ( ки имконияти тадқиқотчии ба он дохилшавӣ) дохил карда шавад, аммо \(\phi_i\) (протоколҳои ҷавобии мусоҳибон). Табиист, ин ин \(\phi_i\) нест, чунки \(\phi_i\) аст. Аммо, тавре, ки Wang ва ҳамкорон нишон доданд, ин намуди намунаи беҳамто, ҳатто аз як намунаи санҷишӣ бо хатои фарогирии фарогирӣ, бояд тадқиқотчӣ набошад, агар тадқиқотчӣ маълумоти муфид ва модели хуби оморӣ барои ин мушкилот дошта бошад.

Bethlehem (2010) бисёре аз варақаҳои дар боло зикргардидаро дар бар мегиранд, ки ба ҳам номуназзам ва хатогиҳои фарогирӣ дохил мешаванд. Илова бар пажӯҳишҳо, дигар усулҳо барои кор бо намунаҳои ғайримарказӣ ва намунаҳои эҳтимолиро бо хатогиҳои фарогирӣ ва (Ansolabehere and Rivers 2013; ??? ) дар бар мегирад (Ansolabehere and Rivers 2013; ??? ) , вазни (Lee 2006; Schonlau et al. 2009) , ва calibration (Lee and Valliant 2009) . Яке аз мавзӯъҳои умумӣ дар ин усулҳо истифодаи иттилооти ёрирасон мебошад.