கணித குறிப்புகள்

இந்த பின்னிணைப்பில், அத்தியாயத்திலிருந்து சில கருத்துகளை நான் சற்று கூடுதலாக கணித வடிவத்தில் விவரிப்பேன். இங்கே இலக்கை நீங்கள் கணக்கெடுப்பு ஆராய்ச்சியாளர்கள் பயன்படுத்தும் குறிமுறை மற்றும் கணித கட்டமைப்பை வசதியாக உதவுவதன் மூலம், நீங்கள் இந்த தலைப்புகள் மீது எழுதப்பட்ட மேலும் தொழில்நுட்ப பொருள் சில மாற்ற முடியும். நான் நிகழ்தகவு மாதிரியை அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம் தொடங்குகிறேன், பின்னர் சார்பற்ற மாதிரியாக nonresponse, மற்றும் இறுதியாக, நிகழ்தகவு மாதிரியை கொண்டு நகர்த்துவேன்.

நிகழ்தகவு மாதிரி

ஒரு இயங்கும் உதாரணமாக, அமெரிக்காவில் வேலையின்மை விகிதத்தை மதிப்பிடுவதற்கான இலக்கை நாம் பரிசீலிக்க வேண்டும். நாம் \(U = \{1, \ldots, k, \ldots, N\}\) இலக்கு மக்கள்தொகையில் மற்றும் அனுமதிக்க \(y_k\) நபர் விளைவு மாறி மதிப்பு மூலமாக \(k\) . இந்த எடுத்துக்காட்டில் \(y_k\) என்பது நபர் \(k\) வேலைவாய்ப்பற்றதா என்பதுதான். இறுதியாக, \(F = \{1, \ldots, k, \ldots, N\}\)

ஒரு அடிப்படை மாதிரி வடிவமைப்பு மாற்று இல்லாமல் எளிமையான சீரற்ற மாதிரி ஆகும். இந்த வழக்கில், ஒவ்வொரு நபரும் மாதிரி \(s = \{1, \ldots, i, \ldots, n\}\) . இந்த மாதிரி வடிவமைப்பு மூலம் தரவு சேகரிக்கப்படும் போது, ​​ஒரு ஆராய்ச்சியாளர்கள் மாதிரி வேலையின்மை விகிதத்தைக் கணக்கிடலாம்:

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{\sum_{i \in s} y_i}{n} \qquad(3.1)\]

இங்கு \(\bar{y}\) என்பது வேலையின்மை விகிதம் ஆகும். \(\hat{\bar{y}}\) வேலையின்மை விகிதம் ( \(\hat{ }\) ஒரு மதிப்பீட்டாளரைக் குறிக்க பயன்படுத்தப்படுகிறது).

உண்மையில், ஆராய்ச்சியாளர்கள் அரிதாக எளிமையான சீரற்ற மாதிரியைப் பயன்படுத்துவதில்லை. பல காரணங்களுக்காக (ஒரு தருணத்தில் நான் விவரிக்கிறேன்), ஆராய்ச்சியாளர்கள் பெரும்பாலும் சமச்சீரற்றவைகளை இணைப்பதற்கான சமநிலையுடன் உருவாக்கலாம். உதாரணமாக, கலிபோர்னியாவில் உள்ள மக்களை விட ஆய்வாளர்கள், புளோரிடாவில் உள்ள மக்களை அதிக அளவில் சேர்த்துக்கொள்ளலாம். இந்த வழக்கில், மாதிரி அர்த்தம் (eq. 3.1) ஒரு நல்ல மதிப்பீட்டாளராக இருக்கலாம். அதற்கு பதிலாக, சேர்க்கும் சமநிலையற்ற நிகழ்தகவுகள் இருக்கும்போது, ​​ஆராய்ச்சியாளர்கள் பயன்படுத்துகின்றனர்

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{1}{N} \sum_{i \in s} \frac{y_i}{\pi_i} \qquad(3.2)\]

எங்கே \(\hat{\bar{y}}\) வேலையின்மை விகிதத்தின் \(\pi_i\) மற்றும் \(\pi_i\) என்பது நபரின் \(i\) இன் நிகழ்தகவு ஆகும். நிலையான நடைமுறைகளைப் பின்பற்றி, மதிப்பீட்டாளரை eq இல் அழைக்கிறேன். 3.2 ஹார்விட்ஸ்-தாம்சன் மதிப்பீட்டாளர். எந்தவொரு நிகழ்தகவு மாதிரி வடிவமைப்பு (Horvitz and Thompson 1952) ஆகியவற்றிற்கான நடுநிலையான மதிப்பீட்டிற்கு வழிவகுக்கும் என்பதால், ஹார்விட்ஸ்-தாம்சன் மதிப்பீட்டாளர் மிகவும் பயனுள்ளதாக உள்ளது. ஹார்விட்ஸ்-தாம்சன் மதிப்பீட்டாளர் மிகவும் அடிக்கடி வருவதால், அது மீண்டும் எழுதப்படலாம் என்பதை கவனத்தில் கொள்ள உதவுகிறது.

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{1}{N} \sum_{i \in s} w_i y_i \qquad(3.3)\]

எங்கே \(w_i = 1 / \pi_i\) . Eq என. 3.3 வெளிப்படுத்துகிறது, Horwitz-Thompson மதிப்பீட்டாளர் எடைகள் எ.கா. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு நபர் மாதிரியில் சேர்க்கப்பட வேண்டும், அந்த மதிப்பீட்டில் எடுக்கும் அதிக எடை.

முன்னர் விவரித்தார் என, ஆராய்ச்சியாளர்கள் பெரும்பாலும் மக்கள் சமச்சீரற்ற சாத்தியக்கூறுகளை மாதிரியாக்குகின்றனர். இணைந்த சமநிலையற்ற நிகழ்தகவுகளுக்கு இட்டுச்செல்லக்கூடிய ஒரு வடிவமைப்புக்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு என்பது, பரவலாக மாதிரியாக்கம் ஆகும் , இது புரிந்து கொள்ள வேண்டியது முக்கியம், ஏனென்றால் பிந்தைய அடுக்குமாடி என்று அழைக்கப்படும் மதிப்பீட்டு நடைமுறைக்கு இது மிகவும் நெருக்கமாக உள்ளது. ஸ்ட்ராடிஃப்ட் மாதிரியில், ஒரு ஆராய்ச்சியாளர், இலக்கான மக்களை \(H\) பரஸ்பர மற்றும் முழுமையான குழுக்களாக பிரிப்பார். இந்த குழுக்கள் அடுக்கு என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை \(U_1, \ldots, U_h, \ldots, U_H\) . இந்த எடுத்துக்காட்டில், அடுக்குகள் மாநிலங்களாகும். குழுக்களின் அளவுகள் \(N_1, \ldots, N_h, \ldots, N_H\) . ஒரு மாநில ஆய்வாளர், மாநில அளவிலான வேலையின்மை மதிப்பீடு செய்ய ஒவ்வொரு மாநிலத்திலும் போதுமான மக்கள் இருப்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளும் பொருட்டு ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட மாதிரியைப் பயன்படுத்த விரும்பலாம்.

மக்கள் அடுக்குகளாகப் பிரிக்கப்பட்டிருந்தால், ஆராய்ச்சியாளர் ஒவ்வொரு அடுக்குகளிலிருந்தும், \(n_h\) , என்ற அளவை மாற்றாமல் எளிமையான சீரற்ற மாதிரி ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் என்று கருதுகின்றனர். மேலும், மாதிரியில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அனைவருக்கும் பதிலளிப்பவர் (அடுத்த பிரிவில் மறுமொழியை நான் கையாள மாட்டேன்) என்று கருதுகிறேன். இந்த வழக்கில், சேர்ப்பதற்கான வாய்ப்பு உள்ளது

\[ \pi_i = \frac{n_h}{N_h} \mbox{ for all } i \in h \qquad(3.4)\]

இந்த மாதிரியான நபர்கள் நபர் ஒருவருக்கு மாறுபடும் என்பதால், இந்த மாதிரியாக்க வடிவமைப்பில் இருந்து மதிப்பீடு செய்யும் போது, ​​ஆராய்ச்சியாளர்கள் ஹார்விட்ஸ்-தாம்சன் மதிப்பீட்டாளர் (எ.கா.

ஹார்விட்ஸ்-தாம்ப்சன் மதிப்பீட்டாளர் பொருத்தமற்றதாக இருந்தாலும், ஆராய்ச்சியாளர்கள் கூடுதல் தகவல்களுடன் மாதிரியை இணைப்பதன் மூலம் மேலும் துல்லியமான (அதாவது குறைவான மாறுபாடு) மதிப்பீடுகளை உருவாக்க முடியும் . செய்தபின் நிறைவேற்றப்பட்ட நிகழ்தகவு மாதிரியும் இருக்கும்போது இது உண்மையாக இருப்பதாக சிலர் ஆச்சரியப்படுகிறார்கள். துணை தகவலைப் பயன்படுத்தி இந்த நுட்பங்கள் மிகவும் முக்கியம் என்பதால், நான் பின்னர் காண்பிப்பதால், சார்பற்ற மாதிரிகள் மதிப்பீடுகளிலிருந்து மதிப்பீடுகளிலிருந்து அல்லாத பதில்கள் மற்றும் அல்லாத நிகழ்தகவு மாதிரிகள் ஆகியவற்றில் மதிப்பீடு செய்வதற்கு துணை தகவல் முக்கியமானதாகும்.

துணை தகவலைப் பயன்படுத்துவதற்கான ஒரு பொதுவான நுட்பம் பிந்தைய அடுக்குமாற்றமாகும் . உதாரணமாக, ஒரு ஆராய்ச்சியாளர் 50 மாநிலங்களில் ஒவ்வொரு ஆண்களுக்கும் பெண்களுக்கும் தெரியும் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள்; இந்த குழு அளவுகள் \(N_1, N_2, \ldots, N_{100}\) என நாம் குறிக்கலாம். இந்த துணை தகவலை மாதிரியுடன் இணைப்பதற்கு, ஆராய்ச்சியாளர் மாதிரி \(H\) குழுக்களாக (இந்த விஷயத்தில் 100) பிரிப்பார், ஒவ்வொரு குழுவிற்கும் மதிப்பீடு செய்யுங்கள், பின்னர் இந்த குழுவின் சராசரி எடையை உருவாக்கவும்:

\[ \hat{\bar{y}}_{post} = \sum_{h \in H} \frac{N_h}{N} \hat{\bar{y}}_h \qquad(3.5)\]

குறைந்தபட்சம், ஈக்யூ மதிப்பீட்டாளர். 3.5 (அநேகமாக \(N_h\) சரியாக அறியப்பட்டால், அறியப்பட்ட மக்கள்தொகை தகவலை - \(N_h\) - ஒரு சமநிலையற்ற மாதிரி தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால் சரியான மதிப்பீடுகளுக்கு. அதைப் பற்றி சிந்திக்க ஒரு வழி, தரவு ஏற்கனவே சேகரிக்கப்பட்ட பிறகு பிந்தைய ஸ்ட்ரேடிஃபிகேஷன் ஸ்ட்ரேடிஃபிகேஷன் போன்றது.

முடிவில், இந்த பகுதி ஒரு சில மாதிரி வடிவமைப்புகளை விவரிக்கிறது: மாற்றும் இல்லாமல் எளிமையான சீரற்ற மாதிரி, சமமற்ற நிகழ்தகவு கொண்ட மாதிரி, மற்றும் பரவலான மாதிரியாக்கம். மதிப்பீடு பற்றிய இரண்டு முக்கிய கருத்துகளையும் இது விவரிக்கிறது: ஹார்விட்ஸ்-தாம்சன் மதிப்பீட்டாளர் மற்றும் பிந்தைய அடுக்குமாற்றம். நிகழ்தகவு மாதிரி வடிவமைப்புகளின் ஒரு சாதாரண வரையறைக்கு Särndal, Swensson, and Wretman (2003) அத்தியாயம் 2 ஐப் பார்க்கவும். ஒழுங்கமைக்கப்பட்ட மாதிரியின் முறையான மற்றும் முழுமையான சிகிச்சைக்கு, Särndal, Swensson, and Wretman (2003) பிரிவு 3.7 ஐப் பார்க்கவும். ஹார்விட்ஸ்-தாம்சன் மதிப்பீட்டாளரின் பண்புகளை பற்றிய ஒரு தொழில்நுட்ப விளக்கத்திற்கு, Horvitz and Thompson (1952) , Overton and Stehman (1995) , அல்லது @ sarndal_model_2003 இன் பிரிவு 2.8 ஆகியவற்றைக் காண்க. பிந்தைய ஸ்ட்ராடீஃபீஸின் மிகவும் முறையான சிகிச்சைக்காக, Holt and Smith (1979) , Smith (1991) , Little (1993) , அல்லது Särndal, Swensson, and Wretman (2003) பிரிவு 7.6 Särndal, Swensson, and Wretman (2003) .

Nonresponse உடன் நிகழ்தகவு மாதிரி

கிட்டத்தட்ட அனைத்து உண்மையான ஆய்வுகள் nonresponse வேண்டும்; அதாவது, மாதிரி மக்கள் அனைவருக்கும் ஒவ்வொரு கேள்விக்கும் பதில் இல்லை. Nonresponse இன் இரண்டு முக்கிய வகைகள் உள்ளன: உருப்படி அல்லாத மறுபார்வை மற்றும் யூனிட் அல்லாத மறுமொழி . உருப்படியின் மறுநிகழ்வில், சில பதிலளிப்பவர்கள் சில பொருட்களைப் பற்றி விடையளிக்க மாட்டார்கள் (எ.கா., சில நேரங்களில் பதிலளிப்பவர்கள் வினாக்களுக்கு விடைகொடுக்க விரும்பவில்லை). யூனிட் அல்லாத பதிலில், மாதிரி மக்களுக்காக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட சிலர் இந்த கணக்கெடுப்புக்கு பதிலளிக்கவில்லை. யூனிட் அல்லாத மறுபரிசீலனைக்கான இரண்டு பொதுவான காரணங்கள், மாதிரி நபரை தொடர்பு கொள்ள முடியாது மற்றும் மாதிரி நபர் தொடர்பு கொள்ளப்படுகிறது ஆனால் பங்கேற்க மறுக்கிறார். இந்த பிரிவில், நான் யூனிட் அல்லாத பதிலுக்கு கவனம் செலுத்துவேன்; உருப்படி அல்லாத அறிவிப்பு ஆர்வமுள்ள வாசகர்கள் லிட்டில் மற்றும் ரூபின் (2002) பார்க்க வேண்டும்.

ஆய்வாளர்கள் பெரும்பாலும் இரண்டு-படிமுறை மாதிரி செயல்முறையாக யூனிட் அல்லாத மறுமொழியைக் கொண்ட ஆய்வுகள் பற்றி சிந்திக்கிறார்கள். முதல் கட்டத்தில், ஆய்வாளர் ஒரு மாதிரி \(s\) தேர்ந்தெடுத்து ஒவ்வொரு நபருக்கும் சேர்க்கும் சாத்தியக்கூறு உள்ளது \(\pi_i\) (அங்கு \(0 < \pi_i \leq 1\) ). இரண்டாவது கட்டத்தில், மாதிரியில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டவர்கள் நிகழ்தகவுடன் \(\phi_i\) ( \(0 < \phi_i \leq 1\) ) உடன் பதிலளிக்கலாம். இந்த இரண்டு-படிநிலை செயல்முறைகள், இறுதி தொகுப்பாளர்களிடையே \(r\) . இந்த இரண்டு நிலைகளுக்கு இடையில் ஒரு முக்கியமான வேறுபாடு என்னவென்றால், ஆராய்ச்சியாளர்கள் மாதிரியை தேர்ந்தெடுப்பதற்கான செயல்முறையை கட்டுப்படுத்துகின்றனர், ஆனால் அந்த மாதிரியான மக்கள் எந்த பதிலளிப்பவர்களாக இருக்கிறார்கள் என்பதைக் கட்டுப்படுத்த முடியாது. இந்த இரண்டு செயல்முறைகளையும் ஒன்றாகச் சேர்த்து, யாரோ ஒருவர் பதிலளிப்பவராக இருப்பார்

\[ pr(i \in r) = \pi_i \phi_i \qquad(3.6)\]

எளிமை பொருட்டு, நான் அசல் மாதிரி வடிவமைப்பு பதிலாக இல்லாமல் எளிய சீரற்ற மாதிரி எங்கே வழக்கு கருத்தில். ஒரு ஆராய்ச்சியாளர் \(n_s\) \(n_r\) பதிலளிப்பவர்கள் அளிக்கும் ஒரு மாதிரி அளவைத் \(n_s\) , ஆராய்ச்சியாளர் அல்லாத பதிலை புறக்கணித்து, பதிலளித்தவர்களின் சராசரி பயன்படுத்துவார் என்றால், மதிப்பீட்டின் சார்பு இருக்கும்:

\[ \mbox{bias of sample mean} = \frac{cor(\phi, y) S(y) S(\phi)}{\bar{\phi}} \qquad(3.7)\]

அங்கு \(cor(\phi, y)\) பதில் முன்னேற்றப் போக்கு மற்றும் விளைவு (எ.கா., வேலையின்மை நிலை) இடையே மக்கள் தொகையில் தொடர்பாகும் \(S(y)\) உள்ளது முடிவின் நியச்சாய்வை (எ.கா., வேலையின்மை \(S(\phi)\) , \(\bar{\phi}\) என்பது மக்கள் தொகை பிரதிபலிப்பு விருப்பம் (Bethlehem, Cobben, and Schouten 2011, sec. 2.2.4) .

சரியீடு. 3.7 கீழ்க்கண்ட நிபந்தனைகளில் ஏதாவது இருந்தால், சார்பற்ற சார்புகளை அறிமுகப்படுத்தாது என்பதை காட்டுகிறது.

• வேலையின்மை நிலையை \((S(y) = 0)\) மாறுபாடு இல்லை.
• பிரதிபலிப்பு முறைகள் \((S(\phi) = 0)\) மாறுபாடு இல்லை.
• பதிலளித்தல் மற்றும் வேலைவாய்ப்பின்மை நிலை ஆகியவற்றிற்கும் இடையே தொடர்பு இல்லை \((cor(\phi, y) = 0)\) .

துரதிருஷ்டவசமாக, இந்த நிபந்தனைகளில் எதுவும் வாய்ப்பு இல்லை. வேலைவாய்ப்பு நிலைகளில் வேறுபாடு இருக்காது அல்லது மறுமொழிகளிலும் மாறுபாடு இருக்காது என்று அது நம்பமுடியாததாகத் தோன்றுகிறது. எனவே, eq இல் முக்கிய சொல். 3.7 என்பது தொடர்பு: \(cor(\phi, y)\) . உதாரணமாக, வேலையில்லாதவர்களில் யார் வேலை செய்தாலும், வேலைவாய்ப்பு விகிதம் உயர்ந்துள்ளது.

Nonresponse இருக்கும் போது மதிப்பீடுகள் செய்ய தந்திரம் துணை தகவல் பயன்படுத்த உள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் துணை தகவலைப் பயன்படுத்தக்கூடிய ஒரு வழி பிந்தைய அடுக்குமாற்றமாகும் (மேலே இருந்து eq 3.5 ஐ திரும்பப் பெறவும்). பிந்தைய அடுக்குமாடி மதிப்பீட்டாளரின் சார்பு:

\[ bias(\hat{\bar{y}}_{post}) = \frac{1}{N} \sum_{h=1}^H \frac{N_h cor(\phi, y)^{(h)} S(y)^{(h)} S(\phi)^{(h)}}{\bar{\phi}^{(h)}} \qquad(3.8)\]

\(cor(\phi, y)^{(h)}\) \(S(y)^{(h)}\) , \(S(\phi)^{(h)}\) , மற்றும் \(\bar{\phi}^{(h)}\) மேலே குறிப்பிட்டபடி வரையறுக்கப்படுகின்றன ஆனால் குழுவில் \(h\) (Bethlehem, Cobben, and Schouten 2011, sec. 8.2.1) ஆகியவற்றுக்கு மக்களுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது. ஒவ்வொரு பிந்தைய அடுக்குமாற்ற குழுவில் உள்ள சார்பு சிறியதாக இருந்தால், மொத்த சார்பு சிறியதாக இருக்கும். ஒவ்வொரு பிந்தைய அடுக்குமாற்ற குழுவில் சிறியதாக இருப்பதைப் பற்றி நான் யோசிக்க விரும்புகிறேன். முதலில், நீங்கள் தனித்தன்மையான குழுக்களை உருவாக்குவதற்கு முயற்சி செய்ய வேண்டும், அங்கு வினைத்திறன் மாறுபாடு ( \(S(\phi)^{(h)} \approx 0\) இல் சிறிய மாறுபாடு உள்ளது மற்றும் விளைவு ( \(S(y)^{(h)} \approx 0\) ). இரண்டாவதாக, நீங்கள் காணும் மக்கள் நீங்கள் பார்க்காத மக்களைப் போன்ற குழுக்களை உருவாக்க விரும்புகிறீர்கள் ( \(cor(\phi, y)^{(h)} \approx 0\) ). Eq ஒப்பிட்டு. 3.7 மற்றும் eq. 3.8 பிந்தைய ஸ்ட்ரேடிஃபிகேஷன் அல்லாத மறுசெயலாக்கம் காரணமாக சார்பற்ற குறைக்க முடியும் போது தெளிவுபடுத்த உதவுகிறது.

முடிவில், இந்த பிரிவு மறுமொழியுடன் நிகழ்தகவு மாதிரியை ஒரு மாதிரியை வழங்கியுள்ளது மற்றும் nonresponse இருவரும் பிந்தைய ஸ்ட்ரேடிஃபிகேஷன் சரிசெய்தல் இல்லாமல் இருவரும் அறிமுகப்படுத்த முடியும் என்று காட்டுகின்றன. Bethlehem (1988) பொதுவான பொது மாதிரி வடிவமைப்புகளுக்கு சார்பற்ற தன்மை காரணமாக ஏற்படும் ஒரு சார்பின் ஒரு வகைப்பாடு வழங்குகிறது. Nonresponse ஐ சரிசெய்ய பிந்தைய ஸ்ட்ரேடிஃபிகேட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கு, Smith (1991) மற்றும் Gelman and Carlin (2002) . கட்டுப்பாட்டு மதிப்பீட்டாளர்கள் என்று அழைக்கப்படும் நுணுக்கமான பொதுவான குடும்பத்தின் ஒரு பகுதியாக Post-stratification என்பது ஒரு கட்டுரை-நீள சிகிச்சைக்காக சாங்க் (2000) மற்றும் Särndal and Lundström (2005) ஆகியவற்றை புத்தகம்-நீள சிகிச்சைக்காக பார்க்கவும். Kalton and Flores-Cervantes (2003) ஐ சரிசெய்வதற்கு மற்ற வேறுபட்ட முறைகளில், Kalton and Flores-Cervantes (2003) , Brick (2013) , மற்றும் Särndal and Lundström (2005) .

அல்லாத நிகழ்தகவு மாதிரி

அல்லாத நிகழ்தகவு மாதிரி ஒரு பெரிய பல்வேறு வடிவமைப்புகளை கொண்டுள்ளது (Baker et al. 2013) . வாங் மற்றும் சகாக்களும் (W. Wang et al. 2015) மூலம் Xbox பயனர்களின் மாதிரி மீது குறிப்பாக கவனம் செலுத்துவது, மாதிரி மாதிரி வடிவமைப்பின் முக்கிய பகுதியானது \(\pi_i\) ஆராய்ச்சியாளர் உந்துதல் நிகழ்தகவு) ஆனால் \(\phi_i\) (பிரதிபலிப்பு உந்துதல் பிரதிபலிப்பு). இயல்பாகவே, இது \(\phi_i\) அல்ல, ஏனெனில் \(\phi_i\) தெரியவில்லை. ஆனால், வாங் மற்றும் சக ஊழியர்கள் காட்டியுள்ளபடி, இத்தகைய விருப்பத் தேர்வு மாதிரி-ஒரு மாதிரியான பிரத்தியேக கவரேஜ் பிழையிடம் இருந்து கூட-ஆராய்ச்சியாளருக்கு நல்ல துணை தகவல் மற்றும் ஒரு நல்ல புள்ளியியல் மாதிரியை இந்த சிக்கல்களுக்கு கணக்கில் கொண்டால், பேரழிவு ஏற்படாது.

Bethlehem (2010) பின்தொடர்நெறி மற்றும் கவரேஜ் பிழைகள் ஆகிய இரண்டையும் உள்ளடக்கிய பிந்தைய அடுக்குமாற்றுகள் பற்றிய மேலே கூறப்பட்டவற்றில் பலவற்றை நீட்டிக்கிறது. பிந்தைய ஸ்ட்ரேடிஃபிகேஷன், அல்லாத நிகழ்தகவு மாதிரிகள் பணிபுரியும் மற்ற உத்திகள் - மற்றும் பாதுகாப்பு பிழைகள் மற்றும் nonresponse உடன் நிகழ்தகவு மாதிரிகள்-மாதிரி பொருத்தம் (Ansolabehere and Rivers 2013; ??? ) , விருப்பம் ஸ்கோர் எடை (Lee 2006; Schonlau et al. 2009) , மற்றும் அளவீட்டு (Lee and Valliant 2009) . இந்த நுட்பங்களில் ஒரு பொதுவான கருத்து துணை தகவல் பயன்பாடு ஆகும்.