Faʻamatalaga o le matematika

I lenei faʻaopoopoga, o le a ou aoteleina ai nisi o manatu e uiga i le faia o mafuaʻaga e ese mai i le leai o se faʻamalositino faʻamatalaga i se vaega laʻititi o le matematika. E lua ni auala autu: o le taʻiala o kalafa faʻatupulaia, tele faʻatasi ma Iutaia Pearl ma ana paʻaga, ma le faʻatulagaga o taunuʻuga talafeagai, sili ona fesoʻotaʻi ma Donald Rubin ma ana paʻaga. O le a ou faʻalauiloaina le faʻatulagaga o taunuuga o taunuuga aua e sili atu ona vavalalata i manatu i faʻamatalaga o le matematika i le faaiuga o le mataupu 3 ma le 4. Mo nisi faʻaopoopoga o taʻiala o kalafa, ou te fautuaina Pearl, Glymour, and Jewell (2016) (folasaga ) ma Pearl (2009) (matua). Mo se faʻasologa umi o togafitiga o mafuaʻaga e faʻapipiʻi ai le faʻatulagaga o taunuʻuga e ono mafai ona ausia, ma le faʻatulagaina o le kalafi o le mafuaʻaga, ou te fautuaina Morgan and Winship (2014) .

O le sini o lenei faʻaopoopoga o le fesoasoani lea ia te oe ia maua le mafanafana i le faʻamatalaga ma le sitaili o taunuʻuga e mafai ona maua i le aganuʻu ina ia mafai ai ona e faʻafeiloaʻi i nisi o mea faʻapitoa e tusia i lenei autu. Muamua, o le a ou faʻamatalaina le faʻatulagaga o taunuuga o taunuuga. Ma, o le a ou faʻaaogaina e faʻatalanoaina ai faʻamatalaga masani e pei o le tasi na faia e Angrist (1990) i luga o le aafiaga o le tautua faamiliteli i tupe maua. O lenei faʻaopoopoga e faʻamalosia ai Imbens and Rubin (2015) .

Mafuaʻaga e mafai ona ausia

O le faʻatulagaga o taunuʻuga e mafai ona iai ni vaega taua se tolu: vaega , togafitiga , ma taunuʻuga manuia . Ina ia mafai ona faʻaalia nei elemene, seʻi o tatou mafaufau i se ata o le fesili o loʻo taʻua i Angrist (1990) : O le a le aafiaga o le tautua faamiliteli i tupe maua? I lenei tulaga, e mafai ona tatou faʻamatalaina vaega e avea ma tagata e agavaa mo le tusiga 1970 i le Iunaite Setete, ma e mafai ona tatou faʻasinoina nei tagata e \(i = 1, \ldots, N\) . O togafitiga i lenei mataupu e mafai ona "tautua i le militeli" poʻo le "le tautua i le militeli." O le a ou taʻua nei tulaga togafiti ma togafitiga, ma o le a ou tusia \(W_i = 1\) pe afai o le tagata \(i\) o loʻo i le tulaga o togafitiga ma \(W_i = 0\) pe afai o le tagata \(i\) o loʻo iai i le tulaga o le faʻatonu. Ma le mea mulimuli, o taunuʻuga talafeagai e sili atu le faigata faʻale-aganuʻu aua latou te aofia ai taunuʻuga "gafatia"; mea e mafai ona tupu. Mo tagata taitoatasi e agavaa mo le tusiga o le 1970, e mafai ona tatou mafaufau i le aofaiga o le a latou maua i le 1978 pe afai latou te tautua i le militeli, lea o le a ou taʻua \(Y_i(1)\) , ma le aofai latou te maua i le 1978 pe afai latou te leʻi tautua i le militeli, lea o le a ou taʻua \(Y_i(0)\) . I totonu o le fuafuaga e ono mafai ona ausia, \(Y_i(1)\) ma \(Y_i(0)\) e manatu o aofaiga faatulagaina, ao \(W_i\) o se fuainumera suia.

O le filifiliga o iunite, togafitiga, ma taunuuga e taua ona e taʻu mai ai mea e mafai-ma e le mafai-ona aʻoaʻoina mai le suʻesuʻega. O le filifiliga o iunite-tagata e agavaa mo le tusiga o le 1970-e le aofia ai tamaitai, ma e aunoa ma ni manatu faaopoopo, o lenei suesuega o le a le taʻuina mai ia i tatou se mea e uiga i le aafiaga o le tautua faamiliteli i tamaitai. O faaiuga e uiga i le faʻamatalaga o togafitiga ma taunuʻuga e taua foʻi. Mo se faʻataʻitaʻiga, pe tatau ona taulaʻi le togafitiga o le tului i le tautua i le militeli pe maua le taua? Pe tatau ona maua se tupe maua poʻo se faʻamalieina o galuega i le iuga? Ma le mea mulimuli, o le filifiliga o iunite, togafitiga, ma taunuuga e tatau ona faʻatautaia e sini faasaienisi ma sini faʻavae o le suʻesuʻega.

Ona o filifiliga o iunite, togafitiga, ma taunuʻuga aoga, o le mafuaʻaga o le togafitiga i le tagata \(i\) , \(\tau_i\) , o le

\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]

I se isi faaupuga, tatou te faʻatusatusaina le tele o tagata \(i\) a maua pe a maeʻa ona tautua i le tele o tagata \(i\) a mauaina e aunoa ma le tautua. Ia te aʻu, eq. 2.1 o le auala sili ona manino e faʻamalamalamaina ai se faʻaaogaina, ma e ui lava ina matua faigofie, o lenei faʻatulagaga e faʻaalia i le tele o auala taua ma faʻalelei (Imbens and Rubin 2015) .

Pe a faʻaaogaina le faʻatulagaga e ono mafai ona ausia, e masani ona ou iloa e aoga le tusia o se laulau e faʻaalia ai taunuʻuga talafeagai ma togafitiga mo vaega uma (laulau 2.5). Afai e le mafai ona e mafaufau i se laulau e pei o lenei mo lau suʻesuʻega, ona ono manaʻomia lea e sili atu ona saʻo i au faʻamatalaga o au iunite, togafitiga, ma taunuʻuga manuia.

I le faʻamalamalamaina o le faʻapogai o le mafuaʻaga i lenei auala, e ui i lea, tatou te taufetuli i se faafitauli. E toetoe lava o mataupu uma, tatou te le o matauina taunuʻuga uma e lua. O lona uiga, o se tagata patino na tautua pe leʻi tautua foi. O le mea lea, tatou te matauina se tasi o taunuuga \(Y_i(1)\) poo \(Y_i(0)\) -e le o mea uma e lua. O le le mafai ona mataituina taunuuga e lua, o se faafitauli sili lea na taua e Holland (1986) o le faafitauli taua o le Causal Inference .

O le mea e lelei ai, pe a tatou faia suʻesuʻega, e le na o le tasi le tagata; ae, e tele a tatou tagata, ma o lenei mea e ofoina atu ai se auala i totonu o le Faʻafitauli Taua o le Causal Inference. Nai lo le taumafai e faʻatusatusa le tulaga o togafitiga o le tagata lava ia, e mafai ona tatou faʻatusatusaina le fua faatatau o togafitiga mo vaega uma:

\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]

O lenei faiga tutusa o loʻo faʻaalia pea i le uiga o le \(\tau_i\) , e le mafai ona iloa, ae o nisi algebra (eq 2.8 o Gerber and Green (2012) ), matou te maua

\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]

E faaalia ai e lenei mea pe afai e mafai ona tatou fuafuaina le faitau aofai taunuuga averesi i lalo o togafitiga ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) ma le faitau aofai o tagata taunuuga averesi pulea ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), ona mafai lea ona tatou faʻatusatusaina le togafiti togafitiga, e aunoa ma le fuafuaina o le togafitiga mo soo se tagata.

I le taimi nei, ua ou faʻamatalaina le matou fuainumera-o le mea o loʻo matou taumafai e faʻatusatusa-o le a ou liliu atu i le auala e mafai ai ona matou faʻatusatusa moni i faʻamaumauga. Ma o iinei tatou te tamomoʻe sao atu ai i le faafitauli e na o le tasi le taunuʻuga e mafai ona tatou maua mo tagata taitoatasi; matou te iloa pe \(Y_i(0)\) poʻo \(Y_i(1)\) (laulau 2.6). E mafai ona tatou faʻatusatusa le avega o togafitiga faʻapitoa e ala i le faʻatusatusaina o tupe maua a tagata na galulue i tupe maua a tagata e leʻi tautua:

\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]

pe afai \(N_t\) ma \(N_c\) o numera o tagata i togafitiga ma le puleaina. O lenei faiga o le a lelei pe afai o le togafitiga e tutoatasi mai taunuʻuga e ono mafai, o se tulaga e taʻua i nisi taimi o le valea . Ae paga lea, i le toesea o se suʻega, o le valea e le masani ona faamalieina, o lona uiga o le fua faatatau i le eq. 2.4 e le mafai ona maua se faʻatatauga lelei. O se tasi o auala e mafaufau ai, o le leai lea o se togafiti o togafitiga, eq. 2.4 e le faʻatusatusa pei o le fiafia; o le faʻatusatusaina lea o tupe maua mai ituaiga eseese o tagata. Pe faʻaalia foi se eseesega, e aunoa ma le faʻaaogaina o togafitiga, o le togafitiga e ono aʻafia i taunuʻuga talafeagai.

I le mataupu e 4, o le a ou faamatalaina pe faapefea ona mafai ona faʻaaogaina suʻesuʻega faʻapitoa i le au suʻesuʻe, e faʻataunuʻuina ai le mafuaʻaga, ma o le a ou faʻamatalaina le auala e mafai ai e tagata suʻesuʻe ona faʻaaogaina faʻamatalaga masani, pei o le ata o le lotoa.

Faʻamatalaga masani

O se tasi o auala e faia ai faʻataunuʻuga o le mafuaʻaga e aunoa ma le faia o se suʻega o le suʻeina lea o se mea e tupu i le lalolagi, na tuʻuina atu i se isi itu se togafitiga mo oe. O lenei faiga ua taua o suesuega masani . I le tele o tulaga, o le mea e leaga ai, o le natura e le faʻatagaina i se tasi taimi le togafitiga e te manaʻo ai i le faitau aofaʻi o le fiafia. Ae o nisi taimi, natura e tuʻuina atu se togafitiga e fesootaʻi atu. Aemaise lava, o le a ou mafaufau i le mataupu pe a iai ni togafitiga lona lua e faʻamalosia ai tagata ia maua le togafitiga muamua . Mo se faʻataʻitaʻiga, e mafai ona mafaufauina le ata faataitai o se togafitiga lona lua na tuʻufaʻatasia e faʻamalosi ai nisi tagata e ave le togafitiga muamua, lea sa tautua i le militeli. O lenei mamanu e taʻua i nisi taimi o se faʻaiuga faʻamalosia . Ma o le auiliiliga o metotia o le a ou faamatalaina e taulimaina ai lenei tulaga ua taʻua i nisi taimi o ni meafaigaluega eseese . I lenei tulaga, faatasi ai ma ni manatu, e mafai e tagata suʻesuʻe ona faʻaaoga le faʻamalosiaga e aʻoaʻo ai e uiga i le aafiaga o togafitiga muamua mo se vaega faapitoa o iunite.

Ina ia mafai ona togafitia togafitiga eseese e lua-le faʻamalosiaga ma togafitiga muamua-tatou te manaʻomia ni faʻamatalaga fou. Seʻi faapea o nisi tagata ua le faatulagaina faʻapitoa ( \(Z_i = 1\) ) pe leai foi ( \(Z_i = 0\) ); i lenei tulaga, \(Z_i\) e taʻua i nisi taimi o se meafaigaluega .

Faatasi ai ma i latou na filifilia, o nisi sa auauna atu ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) ma o nisi sa le ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) ). E faapena foi, faatasi ai ma i latou e le i tusia, o nisi na auauna atu ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) ae o nisi sa le ( \(Z_i = 0, W_i = 0\) ). O taunuʻuga talafeagai mo tagata taʻitasi e mafai ona faʻalauteleina nei e faʻaalia ai lo latou tulaga mo le faʻamalosiauga ma togafitiga. Mo se faʻataʻitaʻiga, ia avea \(Y(1, W_i(1))\) le tupe maua a le tagata \(i\) pe afai e filifilia o ia, pe afai \(W_i(1)\) lona tulaga o le auaunaga pe a tusia. E le gata i lea, e mafai ona tatou vaevaeina le faitau aofaʻi i ni vaega se fa: tagata faʻatauvaʻa, tagata e le faʻaaogaina, faʻatauvaʻa, ma tagata e masani ai (laulau 2.7).

Ae tatou te leʻi talanoaina le faʻatusatusaina o le aafiaga o le togafitiga (e pei o le tautua faamiliteli), e mafai ona tatou faʻamatalaina muamua ni aʻafiaga e lua o le faʻamalosiaga (faʻapitoa, na tusia). Muamua, e mafai ona tatou faʻamatalaina le aafiaga o le faʻamalosiaga ile togafitiga muamua. Lona lua, e mafai ona faʻamatalaina le aafiaga o le faʻamalosiaga i luga o le iuga. O le a faʻaalia e mafai ona tuʻuina atu nei aʻafiaga e lua e tuʻuina atu ai se faʻatusatusaga o le aafiaga o togafitiga i se vaega faapitoa o tagata.

Muamua, o le aafiaga o le faʻamalosiaga i togafitiga e mafai ona faʻamatalaina mo le tagata \(i\) pei

\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]

E le gata i lea, o lenei aofaiga e mafai ona faʻamatalaina i luga o le faitau aofaʻi o le aofaʻi

\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]

Ma le mea mulimuli, e mafai ona tatou faʻatusatusa \(\text{ITT} _{W}\) faʻaaoga faʻamatalaga:

\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]

o fea \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) o le fua faatatau lea o togafitiga mo tagata na faʻamalosia ma \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) le fuainumera o le togafitiga o togafitiga mo i latou e leʻi faʻamalosia. \(\text{ITT}_W\) e taʻua i nisi taimi o le fua o le totogi .

O le isi, o le aafiaga o le faʻamalosiaga i luga o le iuga e mafai ona faʻamatalaina mo le tagata \(i\) pei:

\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]

E le gata i lea, o lenei aofaiga e mafai ona faʻamatalaina i luga o le faitau aofaʻi o le aofaʻi

\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]

Ma le mea mulimuli, e mafai ona tatou faʻatusatusa \(\text{ITT}_{Y}\) faʻaaoga faʻamatalaga:

\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]

o fea \(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) o le mea na maitauina (eg, tupe maua) mo i latou na faʻamalosia (eg, drafted) ma \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) o le mea na matauina mo i latou e leʻi faʻamalosia.

Ma le mea mulimuli, tatou te gauai atu i le aafiaga o le tului: o le aafiaga o togafitiga muamua (faataitaiga, auaunaga faamiliteli) i luga o le iuga (faataitaiga, tupe maua). O le mea e leaga ai, e foliga mai e le mafai e le tasi ona fuafua lenei aafiaga i luga o iunite uma. Ae ui i lea, faatasi ai ma ni manatu, e mafai e tagata suʻesuʻe ona fuafua le aafiaga o togafitiga i luga o le aufaigaluega (ie, tagata o le a galulue pe a tusia ma tagata o le a le tautua pe a le tusia, laulau 2.7). O le a ou taʻua lenei fuainumera ma le aofaʻi o le fua o le faʻamaʻi o le afaina (CACE) (lea e taʻua i nisi taimi o le togafiti o togafitiga i le lotoifale , LATE):

\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]

o fea \(G_i\) foai ai le vaega o le tagata \(i\) (tagaʻii le laulau 2.7) ma \(N_{\text{co}}\) o le numera o compliers. I se isi faaupuga, eq. 2.11 faʻatusatusa le tupe maua a le aufaʻatasi o loʻo faʻatulagaina \(Y_i(1, W_i(1))\) ma e leʻi tusia \(Y_i(0, W_i(0))\) . Le fua faatatau i le uila. 2.11 e foliga mai e faigata ona faʻatusatusa mai faʻamatalaga ua maitauina aua e le mafai ona iloa faʻamaumauga e faʻaaoga ai na o faʻamaumauga ua matauina (ia iloa pe o loʻo i ai se tasi e faʻamalosi e manaʻomia ona e matau pe na ia galue pe a tusia ma pe na ia tautua pe a le faʻataʻitaʻiina).

E fesuisuiai-e foliga mai o se mea e ofo ai-afai e iai ni mea faʻapitoa, ona tuʻuina lea e se tasi se manatu faaopoopo e tolu, e mafai ona fuafua le CACE mai faʻamatalaga ua matauina. Muamua, e tatau i se tasi ona manatu o le tofiga i togafitiga e leai se mea. I le tulaga o le ata o le lotoa e talafeagai. Ae ui i lea, i nisi o tulaga e le faalagolago i ai faʻalauiloa faʻapitoa i le faʻaogaina o le tino, o lenei masalosaloga atonu e sili atu ona faʻafitauli. Lona lua, e tatau i se tasi ona manatu e leai ni o latou faʻalavelave (o lenei manatu e taʻua i nisi taimi o le manatu maualuga). I le aotelega o le ata tusi, e foliga mai e talafeagai le manatu e toalaiti lava tagata o le a le tautua pe afai e tusia ma o le a tautua pe a le tusia. Tolu, ma le mea mulimuli, o le manatu sili ona taua lea e taua o le tapulaa faasaina . I lalo o le tapulaa faasaina, e tatau i se tasi ona manatu o aafiaga uma o le togafitiga togafitiga e pasia e le togafitiga lava ia. I se isi faaupuga, e tatau i se tasi ona manatu e leai se aafiaga tuusaʻo o le faʻamalosia i luga o taunuuga. I le tulaga o le ata o le lotoa, mo se faʻataʻitaʻiga, e tatau i se tasi ona manatu e leai se aoga o le faʻatinoga o le tulaga i tupe maua nai lo le faʻaaogaina o le militeli (ata 2.11). E mafai ona solia le tapulaa faasao pe afai, mo se faataitaiga, o tagata na filifilia na faʻaaluina le tele o taimi i le aʻoga ina ia aloese mai le tautua pe afai o tagata e ana galuega latou te le mafai ona faʻafaigaluegaina tagata na filifilia.

Ata 2.11: O le tapulaʻa faʻatagaina e manaʻomia ai le faʻamalosia (faʻasologa o le lotoa) ei ai sona aafiaga i le iuga (tupe maua) na o le togafitiga (auaunaga faamiliteli). E mafai ona soli le tapulaa le faʻatagaina pe afai, mo se faʻataʻitaʻiga, o tagata na filifilia na faʻaaluina le tele o taimi i le aʻoga ina ia aloese mai le tautua ma o lenei taimi maualuga i le aʻoga na taʻitaʻia ai tupe maua maualuga.

Afai o nei tulaga e tolu (faʻaaogaina se tasi i togafitiga, leai se faʻamalosi, ma le faʻatagaina le faʻatagaina) e faʻafetaui, ona

\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]

o lea e mafai ai ona tatou faʻatusatusaina CACE:

\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]

O se tasi o auala e mafaufau ai i le CACE, o le eseesega lea i taunuuga i le va o i latou na faʻamalosia ma i latou e le faʻamalosiauina, ua faʻafefeteina i le fua o le totogi.

E lua mea taua e mafai ona teu i lou mafaufau. Muamua, o le tapulaa le faʻatagaina o se manatu malosi, ma e manaʻomia le faʻamaonia i luga o se mataupu i lea mataupu ma lea mataupu, lea e masani ona manaʻomia ai le tomai faʻapitoa. E le mafai ona faʻamaonia le faʻatagaina o le faʻamalosiaga o le faʻamalosiauga. Lona lua, o se luʻitau masani masani ma le faʻaaogaina o auiliiliga e mafai ona faʻaaogaina e oʻo mai i le taimi e itiiti ai se aafiaga o le faʻamalosiaga i le faʻaaogaina o togafitiga (pe a laʻititi le \(\text{ITT}_W\) ). O lenei mea ua taua o se meafaigaluega vaivai , ma e tau atu ai i le tele o faafitauli (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) . O se tasi o auala e mafaufau ai e uiga i le faafitauli i meafaigaluega vaivai o le \(\widehat{\text{CACE}}\) mafai ona nofouta i mea laiti i le \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) -e mafua ona o soliga o le faʻatagaina le faʻatagaina-ona o nei faʻafitauli e faʻateleina e se laʻititi \(\widehat{\text{ITT}_W}\) (see iq 2.13). E faigofie lava, pe afai o le togafitiga e tuʻuina atu e le natura e le tele se aafiaga i togafitiga e te popole i ai, ona e feagai lea ma se taimi faigata e aʻoaʻo ai e uiga i togafitiga e te popole i ai.

Vaai i le mataupu 23 ma le 24 o Imbens and Rubin (2015) mo se faʻamatalaga aloaia o lenei talanoaga. O le faʻaleleia faʻale-aganuʻu faʻapitoa i vailaʻau faʻaonaponei e masani lava ona faʻaalia e tusa ai ma le faʻatusatusa o faʻatusatusaga, ae le o taunuʻuga manuia. Mo se folasaga mai lenei isi vaaiga, tagai Angrist and Pischke (2009) , ma mo se faatusatusaga i le va o auala e lua, tagai i le vaega 24.6 o Imbens and Rubin (2015) . O se isi mea, e itiiti lava le faʻaalia aloaia o auala eseese o loʻo maua i le mataupu 6 o Gerber and Green (2012) . Mo nisi faʻamatalaga e uiga i le faʻatagaina o le faʻatagaga, vaai D. Jones (2015) . Aronow and Carnegie (2013) faʻamatala se isi seti o manatu e mafai ona faʻaaoga e fuafua ai ATE nai lo le CACE. Mo nisi faʻamatalaga e uiga i auala e mafai ai e tala faʻatatau o le natura ona taufaasese e faʻamatala, tagaʻii Sekhon and Titiunik (2012) . Mo se faʻamatalaga lautele faʻapitoa i suʻesuʻega masani-o se mea e sili atu nai lo le naʻo auala faʻapitoa e mafai ai ona aofia ai faʻataʻitaʻiga e pei o le faʻaitiitia o le amio pulea-vaai Dunning (2012) .