Faʻamatalaga o le matematika

I lenei faʻaopoopoga, o le a ou faʻamatalaina nisi o manatu mai le mataupu i se pepa laʻititi laʻitiiti. O le sini iinei o le fesoasoani ia te oe ia maua le mafanafana i le faʻalauiloaina ma le numera o le matematika na faʻaaogaina e tagata sailiili suʻesuʻe ina ia mafai ai ona e faʻafeiloaʻi i nisi o mea faʻapitoa e tusia i luga o nei autu. O le a ou amata e ala i le faʻalauiloaina o le sampling, ona faʻagasolo ai lea o le samo i le leai o se tali, ma le mea mulimuli, o le samoa e le o se avanoa.

Faatagaloga samo

I le avea ai o se faʻataʻitaʻiga faʻatino, seʻi o tatou mafaufau i le sini o le faʻatusatusaina o le leai o ni galuega i le Iunaite Setete. Tuu \(U = \{1, \ldots, k, \ldots, N\}\) avea ma tagata autu ma tuu \(y_k\) e le tau o le fesuiaiga o le faaiuga mo le tagata \(k\) . I lenei faataitaiga \(y_k\) o le tagata \(k\) e le faigaluega. Mulimuli ane, ia avea \(F = \{1, \ldots, k, \ldots, N\}\) ona avea ma faafanua, lea mo le manatu o le faigofie e tutusa ma le toatele o tagata.

O se faʻataʻitaʻiga o sampling faʻapitoa e faigofie faʻapitoa e aunoa ma se sui. I lenei tulaga, o tagata taitoatasi e tutusa lava le aofia ai i le faataitaiga \(s = \{1, \ldots, i, \ldots, n\}\) . Afai e aoina faʻamaumauga i lenei mamanu mamanu, e mafai e tagata suʻesuʻe ona faʻatusatusa le fuainumera o tagata e leai ni galuega ma le faʻataʻitaʻiga o lona uiga:

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{\sum_{i \in s} y_i}{n} \qquad(3.1)\]

o fea \(\bar{y}\) o le leai o galuega i le faitau aofaʻi ma \(\hat{\bar{y}}\) o le fua faʻatatau o le leai o se totogi (o le \(\hat{ }\) e masani lava faʻaaoga e faʻaalia ai se faʻataʻitaʻiga).

O le mea moni, e seasea ona faʻaaogaina e le au suʻesuʻe ni faʻataʻitaʻiga faigofie e aunoa ma se sui. Mo ni mafuaaga eseese (o se tasi o mea ou te faamatalaina i se taimi), e masani lava ona faia e tagata suʻesuʻe ni faʻataʻitaʻiga e ono le mafai ona aofia ai. Mo se faʻataʻitaʻiga, e mafai e tagata suʻesuʻe ona filifili ni tagata i Florida e maualuga le avanoa e aofia ai nai lo tagata i Kalefonia. I lenei tulaga, o le faʻataʻitaʻiga o lona uiga (eq 3.1) atonu o le a le avea ma se tagata faʻatatau lelei. Nai lo lena, pe a iai ni tulaga le talafeagai o le aofia ai, e faʻaaoga e tagata suʻesuʻe

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{1}{N} \sum_{i \in s} \frac{y_i}{\pi_i} \qquad(3.2)\]

o fea \(\hat{\bar{y}}\) o le fua faatatau lea o le fua le faigaluega ma \(\pi_i\) o le tagata \(i\) o le avanoa e aofia ai. I le mulimulitai i faiga masani, o le a ou valaʻau le tagata faʻatau i le eq. 3.2 le fua faatatau o le Horvitz-Thompson. O le estimate a le Horvitz-Thompson e sili ona aoga aua e taʻitaʻia ai le le faʻaituau o fua faʻatatau mo soʻo se sampling sampling design (Horvitz and Thompson 1952) . Talu ai ona o le tele o le fuainumera o le Horvitz-Thompson e masani ona tupu, e aoga tele le matauina e mafai ona toe tusia

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{1}{N} \sum_{i \in s} w_i y_i \qquad(3.3)\]

fea \(w_i = 1 / \pi_i\) . E pei o le eq. 3.3 o loʻo faʻaalia, o le fua faatatau o le Horvitz-Thompson o se fuafaatatau o loʻo faʻamanuiaina pe o fea e ese ai le mamafa o le mamafa ma le avanoa e filifili ai. I se isi faaupuga, o le itiiti ifo o se tagata e tatau ona aofia ai i totonu o le faataitaiga, o le mamafa o le mamafa e tatau ona maua e lena tagata i le fuafuaina.

E pei ona faʻamatalaina i le taimi muamua, e masani lava ona suʻesuʻeina e tagata suʻesuʻe tagata e ono le mafai ona aofia ai. O se tasi o faʻataʻitaʻiga o se mamanu lea e mafai ona taʻitaʻia ai ni mea le talafeagai o le aofia ai o se faʻataʻitaʻiga faʻamaonia , lea e taua le malamalama ona e vavalalata vavalalata ma le faʻatulagaga fuafuaina e taʻua o le faʻasologa . I faʻataʻitaʻiga tuʻufaʻatasia, o se tagata suʻesuʻe e vaevaeina le faitau aofaʻi o tagata i \(H\) e le faʻavae ma le vaivai. O nei vaega e taʻua o le maʻa ma ua taʻua o \(U_1, \ldots, U_h, \ldots, U_H\) . I totonu o lenei faʻataʻitaʻiga, o le vae o ni setete. O lapoa o vaega o loʻo faʻaalia o \(N_1, \ldots, N_h, \ldots, N_H\) . E mafai e se tagata suʻesuʻe ona faʻaaoga samples samisi ina ia mautinoa ai ua ia lava tagata i setete taitasi e faia ai se tulaga o le leai o se galuega.

O le taimi lava ua vaeluaina ai le faitau aofai o tagata i strata, manatu e filifilia le tagata suesue se faataitaiga o soo faigofie e aunoa ma le toe suia o le tele \(n_h\) , tutoatasi mai strata taitasi. E le gata i lea, ia manatu o tagata uma ua filifilia i le faʻataʻitaʻiga o le a avea ma se tagata tetee (O le a ou taulimaina le leai o tali i le isi vaega). I lenei tulaga, o le avanoa e aofia ai le

\[ \pi_i = \frac{n_h}{N_h} \mbox{ for all } i \in h \qquad(3.4)\]

Talu ai ona o nei mea e mafai ona eseese mai le tagata i le tagata, pe a faia se faʻatusatusaga mai lenei faʻataʻitaʻiga, e manaʻomia e tagata suʻesuʻe ona mamafa i latou taʻitoʻatasi e ala i le fesuisuiaʻi o lo latou avanoa e aofia ai le faʻatau fuafuaina o le Horvitz-Thompson (eq 3.2).

E ui lava e le o vaʻaia le estimate a le Horvitz-Thompson, e mafai e tagata suʻesuʻe ona faʻatupulaia ni faʻataʻitaʻiga sili atu (e pei o le laʻititi) i le tuufaatasia o le faʻataʻitaʻiga ma faʻamatalaga fesoasoani . O nisi tagata latou te iloa o se mea e ofo ai e moni lenei mea, e tusa lava pe faʻamaonia atoatoa le faʻatinoina o le faʻatusa. O nei auala e faʻaaoga ai faʻamatalaga faʻamalosia e sili ona taua aua, pei o le a ou faʻaalia i se taimi mulimuli ane, o faʻamatalaga fesoasoani e taua tele mo le faia o fua faʻatatau mai faʻataʻitaʻiga o faʻataʻitaʻiga e aunoa ma le tali ma mai faʻataʻitaʻiga e leai ni tulaga.

O le tasi auala masani mo le faʻaaogaina o faʻamatalaga fesoasoani o le faʻasolosolo . Manatu, mo se faʻataʻitaʻiga, o se tagata suesue e iloa le numera o alii ma tamaitai i totonu o setete e 50; e mafai ona tatou faʻaalia nei vaega e pei o \(N_1, N_2, \ldots, N_{100}\) . Ina ia faʻapipiʻi nei faʻamatalaga faʻasalalau faʻatasi ma le faʻataʻitaʻiga, e mafai e le tagata suʻesuʻe ona vaevaeina le faʻataʻitaʻiga i vaega o ( \(H\) i totonu o lenei mataupu 100, fai se faʻatusatusaga mo vaega taʻitasi, ona fatuina lea o se aveʻaga mamafa o nei vaega o lona uiga:

\[ \hat{\bar{y}}_{post} = \sum_{h \in H} \frac{N_h}{N} \hat{\bar{y}}_h \qquad(3.5)\]

E le gata i lea, o le fua faʻatatau i le uila. 3.5 atonu o le a sili atu ona sao ona e faʻaaogaina le silafia o le faitau aofaʻi o tagata - le \(N_h\) -o faʻataunuʻu saʻo pe afai e tupu se faʻataʻitaʻiga le lelei. O se tasi o auala e mafaufau ai, o le faʻasolosolo e pei o le faʻamalosia o le faʻamalosi pe a uma ona aoina faʻamaumauga.

I le faʻasalaga, o lenei vaega ua faʻamatalaina ni nai faʻataʻitaʻiga samples: faigofie faʻapipiʻi faigofie e aunoa ma ni mea e sui ai, samoa ma se tulaga le talafeagai, ma samo faataitai. Ua faʻamatalaina foi manatu autu e lua e uiga i le faʻatusatusaga: o le estimation a le Horvitz-Thompson ma le faʻasalaga mulimuli ane. Mo se faʻamatalaga sili atu o faʻataʻitaʻiga o sampling samples, tagaʻii le mataupu 2 o Särndal, Swensson, and Wretman (2003) . Mo se faʻamaoniga sili atu ma atoatoa o faʻataʻitaʻiga faʻataʻitaʻiga, tagaʻii le vaega 3.7 o Särndal, Swensson, and Wretman (2003) . Mo se faʻamatalaga faʻapitoa o meatotino a le estimator a Horvitz-Thompson, vaai Horvitz and Thompson (1952) , Overton and Stehman (1995) , poo le vaega 2.8 o le @ sarndal_model_2003. Mo se isi togafitiga sili ona lelei pe a maeʻa, vaai Holt and Smith (1979) , Smith (1991) , Little (1993) , poo le vaega 7.6 o Särndal, Swensson, and Wretman (2003) .

Faʻataʻitaʻiga faʻataʻitaʻiga e aunoa ma le tali

Toeitiiti lava o suʻesuʻega moni e leai se tali; o lona uiga, e le o tagata uma i le faʻataʻitaʻiga e taliina fesili uma. E lua ituaiga o tali e le tali: mea e le tali tali ma le unponse response . I le aitema ole tali, o nisi o tali e le taliina ni aitema (faataitaiga, o isi taimi e le tali tali fesili latou te mafaufauina). I le iunite e le tali, o nisi tagata ua filifilia mo le faʻataʻitaʻiga o le faitau aofai e le tali atu i le suʻesuʻega. O mafuaaga e lua e sili ona taatele mo le le taliina o le iunite e le mafai ona faʻafesoʻotaʻia le tagata samo ma faʻafesoʻotaʻi le tagata faʻataʻitaʻi ae e musu e auai. I lenei vaega, o le a ou taulai atu i le iunite e le tali; le au faitau e fiafia i mea e le tali atu e tatau ona vaai Little ma Rubin (2002) .

E tele taimi e mafaufau ai tagata suʻesuʻe e uiga i suʻesuʻega ma le le tali atu i se vaega o faʻataʻitaʻiga e lua vaega. I le taimi muamua, e filifilia e le tagata suʻesuʻe se faʻataʻitaʻiga \(s\) e mafai ai e tagata taʻitasi ona aofia ai \(\pi_i\) (o fea \(0 < \pi_i \leq 1\) ). Ma, i le laasaga lona lua, o tagata ua filifilia i totonu o le faʻataʻitaʻiga tali atu ma le avanoa \(\phi_i\) (o fea \(0 < \phi_i \leq 1\) ). O nei auala e lua e oʻo atu ai i le seti mulimuli o ē tali atu \(r\) . O se eseesega taua i le va o nei vaega e lua, o le au suʻesuʻe e pulea le faagasologa o le filifilia o le faʻataʻitaʻiga, ae latou te le pulea po o le fea o nei tagata matamuli e avea ma tali. O le tuʻufaʻatasia o nei faiga e lua, o le tulaga o le a avea ai se tasi o se tagata tetee

\[ pr(i \in r) = \pi_i \phi_i \qquad(3.6)\]

Mo le lelei o le faigofie, o le a ou mafaufau i le mataupu pe a fai o le uluai faataitaiga faataitai o se mea faigofie faʻapipiʻi fua e aunoa ma le suia. Afai e filifilia e se tagata suʻesuʻe se faʻataʻitaʻiga o le tele \(n_s\) lea e maua mai ai le tali \(n_r\) , ma afai e le amanaʻia e le tagata suʻesuʻe le leai o se tali ma faʻaaogaina le uiga o le au tali,

\[ \mbox{bias of sample mean} = \frac{cor(\phi, y) S(y) S(\phi)}{\bar{\phi}} \qquad(3.7)\]

o fea \(cor(\phi, y)\) o le tuufaatasiga o le faitau aofaʻi i le va o le tali tali ma le taunuʻuga (faʻataʻitaʻiga, tulaga le faigaluega), \(S(y)\) o le eseesega o le faitau aofaʻi o tagata (e pei o le leai o se galuega tulaga), \(S(\phi)\) o le faitau aofai o le faatafa ese le tulaga o le le tali faamoemoega, ma \(\bar{\phi}\) o le faitau aofai o le uiga tali propensity (Bethlehem, Cobben, and Schouten 2011, sec. 2.2.4) .

Eq. 3.7 o loʻo faaalia ai e le tali mai le Tali a le Faʻamasinoga pe afai ua ausia nisi o aiaiga nei:

• E leai se fesuiaiga i le leai o se tulaga \((S(y) = 0)\) .
• E leai se fesuiaiga i tali tali \((S(\phi) = 0)\) .
• E leai se fesoʻotaʻiga i le va o le tali atu ma le leai o se galuega \((cor(\phi, y) = 0)\) .

Ae paga lea, e leai se tasi o nei tulaga e foliga mai. E foliga mai e le mafai ona iai se fesuiaiga i le tulaga o galuega pe leai foi se fesuiaiga i le tali atu. O le mea lea, o le upu autu i le eq. 3.7 o le tuufaatasiga: \(cor(\phi, y)\) . Mo se faʻataʻitaʻiga, afai o tagata e le faigaluega e ono tali mai, o lona uiga o le fua faatatau o le galuega o le a faʻaseseina i luga.

O le togafiti e fai ai faʻatusatusaga pe a leai se tali o le faʻaaogaina lea o faʻamatalaga fesoasoani. Mo se faʻataʻitaʻiga, o se tasi o auala e mafai ona e faʻaaogaina ai faʻamatalaga fesoasoani o le faʻasolosolo (toe manatua le iq 3.5 mai luga). E aliali mai o le faʻaituau o le tagata e faʻataunuʻuina le faʻasologa o le:

\[ bias(\hat{\bar{y}}_{post}) = \frac{1}{N} \sum_{h=1}^H \frac{N_h cor(\phi, y)^{(h)} S(y)^{(h)} S(\phi)^{(h)}}{\bar{\phi}^{(h)}} \qquad(3.8)\]

o fea \(cor(\phi, y)^{(h)}\) , \(S(y)^{(h)}\) , \(S(\phi)^{(h)}\) , ma \(\bar{\phi}^{(h)}\) loʻo faʻamatalaina i luga ae faʻatapulaaina i tagata i le vaega \(h\) (Bethlehem, Cobben, and Schouten 2011, sec. 8.2.1) . O le mea lea, o le aotelega lautele o le a le itiiti pe afai o le faasee i totonu o vaega taitasi e faʻatapulaʻaina. E lua auala ou te fiafia ai e mafaufau e uiga i le faia o le faʻaituau laʻititi i vaega taʻitasi taʻitasi. Muamua, e te manaʻo e taumafai e fausia ni vaega tutusa pe a fai e itiiti le fesuiaiga i le tali ( \(S(\phi)^{(h)} \approx 0\) ) ma le iuga ( \(S(y)^{(h)} \approx 0\) ). Lona lua, e te manaʻo e fai ni kulupu i tagata o loʻo e vaʻaia e pei o tagata e te le o vaʻai i ai ( \(cor(\phi, y)^{(h)} \approx 0\) ). Faatusatusa i le. 3.7 ma le eq. 3.8 fesoasoani e faamanino pe a mafai e le faʻasalalau ona faʻaitiitia le faʻaituau e mafua mai le le tali.

I le faaiuga, o lenei vaega ua tuʻuina mai ai se faʻataʻitaʻiga mo le faʻatusaina o se avanoa e aunoa ma le tali atu ma faʻaalia ai le faʻaituau e le mafai ona folasia mai e le tali tali atu e aunoa ma le faʻataunuʻuina o faʻasalalauga. Bethlehem (1988) ofoina atu se tala o le faʻafitauli na mafua ona o le le tali atu mo le tele o faʻataʻitaʻiga o samisi. Mo nisi faʻamatalaga e uiga i le faʻaaogaina o le faʻasalaga e faʻafetaui ai mo le le tali, vaai Smith (1991) ma Gelman and Carlin (2002) . O le faʻasalalau o se vaega o se faʻalapotopotoga lautele o tomai e taʻua o fua faʻatatau, vaʻai Zhang (2000) mo se togafitiga umi-o-tausaga ma Särndal and Lundström (2005) mo se togafitiga umi. Mo nisi faʻamatalaga i luga o isi metotia mamafa mo le fetuunaiga mo le le tali, tagaʻi Kalton and Flores-Cervantes (2003) , Brick (2013) , ma Särndal and Lundström (2005) .

Faataʻitaʻiga e leai se tulaga

O le samoa e leai se tulaga e aofia ai le tele o mamanu eseese (Baker et al. 2013) . O le taulaʻi faapitoa i le faʻataʻitaʻiga a le Xbox tagata na faʻaaogaina e Wang ma ana paʻaga (W. Wang et al. 2015) , e mafai ona e mafaufau i lena ituaiga o faataitaiga e pei o se tasi o vaega autu o le sampling design e le o le \(\pi_i\) ( o le tagata suʻesuʻe e ono mafai ona aofia ai) ae o le \(\phi_i\) (o le tali a le ua molia). E masani lava, e le o se mea lelei aua e le o iloa le \(\phi_i\) . Peitai, e pei ona faaalia e Wang ma ana uo, o lenei ituaiga o filifiliga-i faataitaiga-mai i se ata faataitai ma le tele o mea sese-inisiua-e le tatau ona avea ma faalavelave pe afai o le tagata suʻesuʻe e iai ni faʻamatalaga lelei o le auiliiliga ma se faʻataʻitaʻiga lelei fuainumera mo tala mo nei faafitauli.

Bethlehem (2010) faʻateleina le tele o faʻasalaga o loʻo i luga e uiga i le faʻasolosolo ina ia aofia uma ai le le tali atu ma le inisiua. E le gata i le faʻasolosolo, o isi auala mo le galulue ai ma faʻataʻitaʻiga e le o ni mea e tutupu-ma faʻataʻitaʻiga o faʻataʻitaʻiga ma faʻamaoniga o le initaneti ma le leai o tali-aofia ai faʻataʻitaʻiga (Ansolabehere and Rivers 2013; ??? ) , o le mamafa o le mamafa o le mamafa (Lee 2006; Schonlau et al. 2009) , ma le faʻavasegaina (Lee and Valliant 2009) . E tasi le autu masani i nei auala o le faʻaaogaina lea o faʻamatalaga fesoasoani.