ගණිතමය සටහන්

මෙම උපග්රන්ථයේ, ටිකක් වඩාත් ගණිතමය ආකාරයෙන් පරිච්ඡේදයෙන් අදහස් කිහිපයක් මම විස්තර කරමි. මෙහි අරමුණ වනුයේ සමීක්ෂණ පර්යේෂකයන් විසින් භාවිතා කරන අංකනය සහ ගණිතමය රාමුව සමඟ සැසදීමට ඔබට උපකාර කිරීමයි. මෙම මාතෘකා පිළිබඳව ලියා ඇති තවත් තාක්ෂණික ලිපි කිහිපයක් වෙත මාරුවිය හැකිය. සම්භාවිතා නියැදීම් හඳුන්වාදීම මගින් ආරම්භ කරනු ලබන අතර, නොරොඤ්ඤා සමඟ සම්භාවිතා නියැදීම් වෙත මාරු වන අතර, අවසාන වශයෙන්, සම්භාව්ය නියැදි නියැදීම්.

සම්භාවිතා නියැදි

උදාහරණයක් ලෙස එක්සත් ජනපදයේ විරැකියා අනුපාතය ඇස්තමේන්තු කිරීමේ ඉලක්කය සලකා බලමු. \(U = \{1, \ldots, k, \ldots, N\}\) ඉලක්ක කළ ජනගහනය වනුයේ \(k\) ප්රතිඵලය විචල්යයේ අගය අනුව \(y_k\) \(k\) . මෙම උදාහරණයෙහි \(y_k\) පුද්ගලයා \(k\) රැකියා විරහිතව සිටීද? අවසාන වශයෙන්, සරල බව නිසා ඉලක්කගත ජනගහනය ලෙස උපකල්පනය කරනු ලබන රාමු ජනගහනය වනුයේ \(F = \{1, \ldots, k, \ldots, N\}\) .

මූලික නියැදි නිර්මාණයක් වෙනුවට ආදේශකයක් නොමැති සරල අහඹු නියැදීම්. මෙම අවස්ථාවෙහිදී, සෑම පුද්ගලයෙකුටම නියැදියේ අඩංගු වී ඇති \(s = \{1, \ldots, i, \ldots, n\}\) වේ. මෙම නියැදීම් සැලසුම සමඟ දත්ත එකතු කරගත් විට, පර්යේෂකයන්ට නියැදි මධ්යන්යයේ විරැකියා අනුපාතය ගණනය කළ හැකිය:

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{\sum_{i \in s} y_i}{n} \qquad(3.1)\]

\(\bar{y}\) ජනගහනයේ විරැකියා අනුපාතය සහ \(\hat{\bar{y}}\) යනු විරැකියා අනුපාතය පිලිබඳ තක්සේරුව ( \(\hat{ }\) සාමාන්යයෙන් ගණනය කිරීම සඳහා භාවිතා කරනු ලැබේ).

යථාර්ථයේ දී, පර්යේෂකයන් වෙනුවට ආදේශකයකින් තොරව සරල අහඹු නියැදීම් භාවිතා නොකරයි. විවිධ හේතූන් මත (එක් මොහොතක් මා විස්තර කරමි), පර්යේෂකයන් බොහෝ විට ඇතුළත් වී ඇති අසමානතාවයන් සහිත නියැදි සාදනු ලබයි. නිදසුනක් වශයෙන්, පර්යේෂකයන්ට කැලිෆෝනියාවේ ජනයාට වඩා වැඩි වීමේ හැකියාව ඇති ෆ්ලොරිඩාවේ ජනයා තෝරා ගත හැකිය. මෙම අවස්ථාවේ දී, නියැදි මධ්යන්යය (උච්චාරණ 3.1) හොඳ ඇස්තෙම්න්තුගත නොවන්නක් විය හැකිය. ඒ වෙනුවට, පර්යේෂකයන් භාවිතා නොකළ හැකි සම්භාවිතාවයන් පවතින විට

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{1}{N} \sum_{i \in s} \frac{y_i}{\pi_i} \qquad(3.2)\]

\(\hat{\bar{y}}\) යනු විරැකියා අනුපාතයේ ඇස්තමේන්තුවක් වන අතර \(\pi_i\) පුද්ගලයා \(i\) ගේ සම්භාවිතාව පිළිබඳ සම්භාවිතාවය. සම්මත ප්රමිති අනුගමනය කරමින්, මම ඇස්තමේන්තු කර ඇත්තේ eq. 3.2 හොර්විට්ස්-තොම්සන් ඇස්තෙම්න්තුකරු. Horvitz-Thompson ඇස්තමේන්තුවක් ඉතාම ප්රයෝජනවත් වේ. එය ඕනෑම සම්භාවිතා නියැදීම් සැලසුමක් සඳහා අපක්ෂපාත ඇස්තමේන්තු සඳහා යොමු කරයි. (Horvitz and Thompson 1952) . හොර්විට්ස්-තොම්සන් ඇස්තමේන්තු එතරම්ම නිරන්තරයෙන් දක්නට නොලැබෙන හෙයින් එය නැවත ලියනු ලැබිය හැකි බව දැන ගැනීමට එය ප්රයෝජනවත් වේ.

\[ \hat{\bar{y}} = \frac{1}{N} \sum_{i \in s} w_i y_i \qquad(3.3)\]

කොහෙද \(w_i = 1 / \pi_i\) . Eq. 3.3 හර්විට්ස්-තොම්සන් ඇස්තමේන්තු බරින් සාදන ලද නියැදියක් යනු බර මනිනු ලබන්නේ තේරීමේ සම්භාවිතාව සම්බන්ධව ය. වෙනත් වචනවලින් කිවහොත්, නියැදියක පුද්ගලයෙකුට නියැදියක අඩංගු විය හැකි ප්රමාණය අඩු වන අතර එම පුද්ගලයාගේ බර වැඩි විය යුතුය.

කලින් සඳහන් කළ පරිදි, පර්යේෂකයන් බොහෝවිට අයාලේ යන්නෙහි අසාමාන්ය සම්භාවිතාවයන් නිරූපනය කරයි. ඇතුලත් අසමාන බඹලොව ඇති විය හැකි බව සැලසුම් එක් උදාහරණයක් තේරුම් ගැනීමට වැදගත් වේ එය පශ්චාත් පහත් භේද නමින් නිමානය පටිපාටිය හා සමීපව සම්බන්ද නිසා ස්ථරීභූත නියැදීම් වේ. ස්ථරීභූත නියැදීන්හිදී, පර්යේෂකයා ඉලක්කගත ජනගහනය \(H\) අන්යෝන්ය වශයෙන් පරිපූර්ණ සහ පරිපූර්ණ කණ්ඩායම් ලෙස බෙදී යයි. මෙම කණ්ඩායම් ස්ථර ලෙස හැඳින්වේ. \(U_1, \ldots, U_h, \ldots, U_H\) . මෙම උදාහරණයේ දී, ස්ථරය ප්රාන්ත වේ. කණ්ඩායම් වල ප්රමාණය \(N_1, \ldots, N_h, \ldots, N_H\) . පර්යේෂකයෙකුට විරැකියාවෙන් පෙළෙන රාජ්ය මට්ටමේ ඇස්තමේන්තු සැකසීම සඳහා සෑම රටකම සිටින පුද්ගලයින්ට ප්රමාණවත් තරම් පිරිස් සිටින බවට වගබලා ගැනීම සඳහා ස්ථරීභූත නියැදීම් භාවිතා කිරීමට අවශ්ය විය හැකිය.

ජනගහනය ස්ථරයට බෙදුණු පසු, පර්යේෂකයා විසින් එක් එක් ස්ථරයෙන් ස්වායත්තව වෙනස් කිරීමකින් තොරව සරල අහඹු නියැදියක් \(n_h\) වෙනුවට \(n_h\) බව උපකල්පනය කරන්න. තවද නියැදි තෝරාගත් සෑම කෙනෙකුම වගඋත්තරකරුවෙකු බවට පත් වන බවට අනුමාන කළ හැකිය (මම ඊළඟ කොටසෙහි ප්රතිචාර නොකෙරෙනු ඇත). මෙම අවස්ථාවේ දී, ඇතුළත් වීමේ සම්භාවිතාවය

\[ \pi_i = \frac{n_h}{N_h} \mbox{ for all } i \in h \qquad(3.4)\]

මෙම සම්භාවිතාව පුද්ගලයෙකුගෙන් පුද්ගලයාට වෙනස් විය හැකි බැවින්, මෙම නියැදීම් සැලසුමෙන් ඇස්තෙම්න්තු කරන විට, පර්යේෂකයන් විසින් Horvitz-Thompson ඇස්තමේන්තුවෙන් (3.2) යොදා ගනිමින් ඔවුන්ගේ විශ්වසනීයත්වය ප්රතිවිරෝධී කර ගැනීම අවශ්ය වේ.

හොර්විට්ස්-තොම්සන් ඇස්තමේන්තු නිරවද්ය වුවද, පර්යේෂකයන්ට අමතර නියමාකාරයෙන් නියැදිය සමඟ ඒකාබද්ධ කිරීමෙන් වඩා නිවැරදිව (එනම්, අඩු විචලතාව) ඇස්තමේන්තු ඉදිරිපත් කළ හැකිය. පරිපූර්ණ ලෙස සිදු කරන ලද සම්භාවිතා නියැදිවලදී පවා මෙය සත්යයක් බව ඇතැම් අය සිතනවා. උපකාරක තොරතුරු භාවිතා කරන මෙම ශිල්ප ක්රම විශේෂයෙන් වැදගත් වන බැවිනි. පසුව මම පෙන්වනු ඇති පරිදි, නොපෙනෙන සහ සම්භාවිතා නියැදිවලින් සම්භාවිත සාම්පල වලින් ඇස්තමේන්තු සැකසීම සඳහා අතිරේක තොරතුරු අත්යවශ්යය.

සහායක තොරතුරු භාවිතා කිරීම සඳහා පොදු ක්රමයක් වන්නේ පශ්චාත්-ස්ථාවරයයි . නිදසුනක් වශයෙන්, එක් එක් ප්රාන්ත 50 තුළ පිරිමි හා කාන්තා සංඛ්යාව පිළිබඳ පර්යේෂකයා දන්නා බව සිතන්න. අපට මෙම කණ්ඩායම් ප්රමාණයන් \(N_1, N_2, \ldots, N_{100}\) ලෙස දැක්විය හැකිය. නියැදිය සමඟ මෙම අතිරේක තොරතුරු ඒකාබද්ධ කිරීමට පර්යේෂකයාට \(H\) කාණ්ඩ තුළ (මෙම අවස්ථාවෙහි 100) ලෙස වෙන් කළ හැක, එක් එක් කණ්ඩායම සඳහා ඇස්තෙම්න්තුගත කළ යුතු අතර, එම සමූහයේ භාගික සාමාන්යයක් සෑදිය හැකිය:

\[ \hat{\bar{y}}_{post} = \sum_{h \in H} \frac{N_h}{N} \hat{\bar{y}}_h \qquad(3.5)\]

ඊටත් වඩා, Eq. 3.5 අසමතුලිත නියැදියක තෝරාගැනීම සිදු කරනු ලබන්නේ ජනප්රිය ජනගහන තොරතුරු - \(N_h\) -නිවැරදි ඇස්තෙම්න්තු භාවිතා කිරීම නිසාය. ඒ ගැන සිතිය හැකි එක් ක්රමයක් නම් පශ්චාත්-ස්ථාවර්තනය දත්ත දැනටමත් එක්රැස් කර ඇති පසුකාලීනව ස්ථරිකරණය කිරීමයි.

අවසාන වශයෙන් මෙම කොටසෙහි නියැදීම් කිහිපයක් සැලසුම් කර තිබේ: වෙනස් කිරීමකින් තොරව සරල අහඹු නියැදීම්, අසමාන සම්භාවිතාව සමග නියැදීමෙන්, සහ ස්ථරීකරණය කරන ලද නියැදීම්. එය ඇස්තමේන්තු පිළිබඳ ප්රධාන අදහස් දෙකක් ගැන ද විස්තර කර ඇත: හොර්විට්ස්-තොම්සන් තක්සේරුකරණය සහ පශ්චාත්-ස්ථරයිනකරණය. සම්භාවිතා නියැදීම් සැලසුම් පිළිබඳ වඩා විධිමත් අර්ථ දැක්වීමක් සඳහා Särndal, Swensson, and Wretman (2003) . වඩා ස්ථර ගත නියැදීමෙන් වඩා විධිමත් සහ සම්පූර්ණ සම්පූර්ණ කිරීම සඳහා, Särndal, Swensson, and Wretman (2003) . Horvitz-Thompson ඇස්තමේන්තුවට අයත් තාක්ෂණික විස්තරයක් සඳහා, Horvitz and Thompson (1952) , Overton and Stehman (1995) හෝ 2.8 sarndal_model_2003 හි 2.8 කොටස බලන්න. පශ්චාත්-භේදභින්න කිරීම සඳහා වඩා විධිමත් Särndal, Swensson, and Wretman (2003) Holt and Smith (1979) , Smith (1991) , Little (1993) , හෝ 7.6 වැනි Särndal, Swensson, and Wretman (2003) .

නොපෙනෙන සමග විශ්වාසනීය නියැදීමක්

සියලුම සත්ය සමීක්ෂණ කිසිවිටෙක නොපැවතීම; එනම් සෑම නියැදියේ සිටින සෑම දෙනාටම සෑම ප්රශ්නයක්ම පිළිතුරු දෙයි. අයිතමය nonresponse හා ඒකක nonresponse: nonresponse ප්රධාන ආකාර දෙකක් තිබේ. අයිතමය නොසලකා හැරීමෙහිදී සමහර ප්රතිචාර දැක්වූවන් සමහර අයිතම වලට පිළිතුරු නොදේ (උදාහරණයක් වශයෙන්, සමහර විට ප්රතිචාර දැක්වූවන් සංවේදී යැයි සිතන ප්රශ්න වලට උත්තර දීමට අවශ්ය නැත). ඒකක නොවන ප්රතිචාරයේදී, නියැදි ජනගහනය සඳහා තෝරා ගන්නා ලද සමහර පුද්ගලයින් සමීක්ෂණයට ප්රතිචාර නොදක්වයි. ඒකක නොවන ප්රතිචාර සඳහා වඩාත් පොදු හේතු දෙකක් වන්නේ නියැදි පුද්ගලයා සම්බන්ධ කරගත නොහැකි වන අතර නියැදි පුද්ගලයා සම්බන්ධ කර ගන්නා නමුත් සහභාගී වීමට ප්රතික්ෂේප කරයි. මෙම කොටසෙහි ඒකක ඒකපාර්ශවික වශයෙන් අවධානය යොමු කරනු ඇත; අයිතම නොසලකා හැරීමට උනන්දුවක් දක්වන පාඨකයන්ට ලිට්ල් හා රුබින් (2002) .

පර්යේෂකයන් බොහෝ විට ඒකක-නොවන ප්රතිචාර සමීක්ෂණ සහිතව සමීක්ෂණ දෙකක් ක්රියාවලියක් ලෙස සලකා බලයි. පළමු අදියර තුළ, පර්යේෂකයා එක් නියැදියක් \(s\) තෝරා ගනී. එක් එක් පුද්ගලයා \(\pi_i\) ඇතුලත් කිරීමේ සම්භාවිතාව සතුව \(\pi_i\) (එහිදී \(0 < \pi_i \leq 1\) ). දෙවන අදියරේදී නියැදියක තෝරාගත් අය සම්භාවිතාව \(\phi_i\) ( \(0 < \phi_i \leq 1\) සමග ප්රතිචාර දක්වයි. මෙම අදියර දෙකේ ක්රියාවලිය ප්රතිශෝධකයන්ගේ අවසාන කොටස වන්නේ \(r\) . මෙම අවධි දෙක අතර වැදගත් වෙනසක් වන්නේ පර්යේෂකයන් නියැදියක් තෝරාගැනීමේ ක්රියාවලිය පාලනය කරන බවය. එහෙත් එම නියැදි ජනතාවගෙන් ප්රතිචාර දැක්වූයේ කවුරුන්ද යන්න පාලනය නොකරයි. මෙම ක්රියාවලි දෙක එකට එකතු කිරීම, යමෙකු ප්රතිචාර දැක්විය යුතු බවට ඇති සම්භාවිතාවය

\[ pr(i \in r) = \pi_i \phi_i \qquad(3.6)\]

සරල බව නිසා, මුල් නියැදි නිර්මාණය වෙනුවට ආදේශකයකින් තොරව සරල අහඹු නියැදීම් සහිත නඩුව මම සලකා බලමි. පර්යේෂකයා විසින් \(n_r\) ප්රතිචාර්යයන් ලබා දෙන ප්රමාණයක නියැදියක් \(n_s\) නියැදියක් තෝරා ගන්නේ නම්, පර්යේෂකයා ප්රතිචාර නොසලකා හරිනු ලබන අතර ප්රතිචාර දැක්වූවන්ගෙන් මධ්යන්යය භාවිතා කරයි නම්,

\[ \mbox{bias of sample mean} = \frac{cor(\phi, y) S(y) S(\phi)}{\bar{\phi}} \qquad(3.7)\]

ප්රතික්රියාවේ ප්රවණතාව හා ප්රතිපලය (උදා: විරැකියා තත්වය) අතර \(cor(\phi, y)\) යනු \(S(y)\) ප්රතිඵලය ජනගහන සම්මත ප්රතිවිපාක වේ තත්වය), \(S(\phi)\) යනු ප්රතිචාරයේ ප්රවණතාවේ ජනගහන සම්මත අපගමනය වන අතර, \(\bar{\phi}\) යනු ජනගහන මධ්යන්ය ප්රතිචාරය (Bethlehem, Cobben, and Schouten 2011, sec. 2.2.4) .

Eq. 3.7 පෙන්නුම් කරන්නේ පහත දැක්වෙන කොන්දේසි කිසිවක් සපුරා නොමැතිව ප්රතිචාර නොලැබීම ඍජුවම හඳුන්වා නොදෙනු ඇත:

• විරැකියා තත්වයේ වෙනසක් නැත \((S(y) = 0)\) .
• ප්රතිචාර ප්රතිචාර වල විචලතාව නැත \((S(\phi) = 0)\) .
• ප්රතිචාර ප්රවණතාවය සහ විරැකියා තත්වය අතර සම්බන්ධතාවයක් නැත \((cor(\phi, y) = 0)\) .

අවාසනාවකට මෙන්, මෙම කොන්දේසි කිසිවක් පෙනෙන්නට නැත. රැකියා තත්ත්වයෙහි වෙනසක් නැතහොත් ප්රතිසංශෝධන වල වෙනස්කම් ඇති නොවන බව පෙනේ. මේ අනුව, Eq. 3.7 යනු සම්බන්ධතාවය: \(cor(\phi, y)\) . නිදසුනක් වශයෙන්, රැකියා විරහිතයින් සිටින පුද්ගලයින් වැඩි වශයෙන් ප්රතිචාර දැක්විය හැකි නම්, ඇස්තෙම්න්තුගත රැකියා අනුපාතය පක්ෂග්රාහීව ඉහළ අගයක් ගනු ඇත.

ප්රතිචාර නොමැති විට ඇස්තමේන්තු සැකසීම සඳහා උපකාරී තොරතුරු භාවිතා කිරීමයි. උදාහරණයක් ලෙස, උපකාරක තොරතුරු භාවිතා කළ හැකි එක් ආකාරයක් වන්නේ පශ්චාත්-ස්ථරනය (ඉහළ සිට උච්චාරණය කිරීම 3.5) ය. පශ්චාත්-භේදභින්න තක්සේරුකාරකයේ පක්ෂග්රාහීත්වය යනු:

\[ bias(\hat{\bar{y}}_{post}) = \frac{1}{N} \sum_{h=1}^H \frac{N_h cor(\phi, y)^{(h)} S(y)^{(h)} S(\phi)^{(h)}}{\bar{\phi}^{(h)}} \qquad(3.8)\]

\(cor(\phi, y)^{(h)}\) , \(S(y)^{(h)}\) , \(S(\phi)^{(h)}\) සහ \(\bar{\phi}^{(h)}\) ඉහත පරිදි අර්ථ දැක්වුවද, සමූහයේ \(h\) (Bethlehem, Cobben, and Schouten 2011, sec. 8.2.1) . මේ අනුව, එක් එක් පශ්චාත්-භේදකාරක කන්ඩායමේ පක්ෂපාතීත්වය කුඩා නම්, සමස්ත පක්ෂග්රාහී විය හැක. එක් එක් පශ්චාත්-ස්ථාවීකරණ කණ්ඩායම තුළ පක්ෂග්රාහීව කුඩා කිරීම ගැන සිතීමට මා කැමතිය. පළමුව, ඔබට ප්රතිචාර දැක්වීමේ ප්රවණතාවයේ කුඩා විචල්යතාවයක් ඇති සමජාතීය කණ්ඩායම් ( \(S(\phi)^{(h)} \approx 0\) ) සහ ප්රතිඵලය ( \(S(y)^{(h)} \approx 0\) ). දෙවනුව, ඔබ දකින ජනයා ඔබ නොසිටින පුද්ගලයන් සමාන වන කණ්ඩායම් සාදනු ඇත ( \(cor(\phi, y)^{(h)} \approx 0\) ). ඊසී. 3.7 සහ ඊච් 3.8 පශ්චාත්-භේදභින්න වීමෙන් ප්රතිචාරය නොලැබීමෙන් ඇතිවන පක්ෂපාතීත්වය අඩු කළ හැකි වන විට එය පැහැදිලි කර දෙයි.

අවසාන වශයෙන්, මෙම කොටස මගින් ප්රතිචාර නොලැබීමෙන් සම්භාවිතා නියැදි සඳහා ආදර්ශයක් ලබා දී ඇති අතර පශ්චාත්-ස්ථර ගැලපීම් නොමැතිව සහ නොරොඤ්ඤාණික යන දෙයාකාරයටම ප්රතිචාර දැක්විය හැකිය. Bethlehem (1988) වඩාත් පොදු සාම්පල කිරීමේ සැලසුම් සඳහා නොසැලකිල්ල නිසා ඇතිවන පක්ෂග්රාහී ව්යුත්පන්නයන් ඉදිරිපත් කරයි. ප්රතිචාර නොදැක්වීම සඳහා පසු විපත්තිය භාවිතා කිරීම සඳහා වැඩි විස්තර සඳහා Smith (1991) සහ Gelman and Carlin (2002) . ක්රමාංකන ඇස්තෙම්න්තු කරන ලද ශිල්පීය ශිල්පීය ශිල්පීය Särndal and Lundström (2005) යනු, චෑන්ග් (2000) දිගුකාලීන ප්රතිකාර සඳහා සහ Särndal and Lundström (2005) ප්රතිකාර සඳහා Särndal and Lundström (2005) . Kalton and Flores-Cervantes (2003) සඳහා වෙනත් බර කිරීමේ ක්රම පිළිබඳව වැඩි විස්තර සඳහා, Kalton and Flores-Cervantes (2003) , Brick (2013) , සහ Särndal and Lundström (2005) .

සම්භාවිතා නියැදි ලබා ගැනීම

සම්භාව්ය නියැදි නියැදීම් විශාල වශයෙන් විවිධාකාර සැලසුම් ඇතුළත් වේ. (Baker et al. 2013) . Wang සහ සගයින් විසින් Xbox භාවිතා කරන්නන්ගේ නියැදිය මත විශේෂයෙන් අවධානය යොමු කිරීම (W. Wang et al. 2015) , නියැදිකරණ \(\pi_i\) ප්රධාන කොටස වන්නේ \(\pi_i\) (උදා: පර්යේෂකයෙකු විසින් එකතු කරන ලද සම්භාවිතාව පිළිබඳ සම්භාවිතාව) නමුත් \(\phi_i\) (ප්රතිචාර දක්වන ලද ප්රතිචාර ප්රතිචාර ප්රවේණි). ස්වභාවයෙන්ම, මෙය \(\phi_i\) නොදන්නා නිසා මෙය කදිම නොවේ. එහෙත්, Wang සහ සගයන් පෙන්වා දුන් පරිදි, මෙම ආකාරයේ ඔත්තුව ලබා ගත් නියැදියක - විශාල ආවරණ දෝෂයක් සහිතව නියැදි රාමුවකින් වුවද, පර්යේෂකයාට හොඳ සහායක තොරතුරු සහ හොඳ සංඛ්යාත්මක මොඩලයක් මෙම ගැටළු සඳහා වගකිව යුතු ය.

Bethlehem (2010) පශ්චාත්-භේදභින්නය පිළිබඳව ඉහත සඳහන් ව්යුත්පන්න බොහෝමයක් නොපෑහෙන සහ ආවරණ දෝෂ ඇතුලත් විය. පශ්චාත්- (Ansolabehere and Rivers 2013; ??? ) සාම්පල සමග වැඩ කිරීම සඳහා වෙනත් තාක්ෂණික ක්රම සහ ආවරණ දෝෂ සහ නොගැලපීම් සහිතව සම්භාවිතා නියැදි වලට අමතරව, නියැදි ගැලපීම (Ansolabehere and Rivers 2013; ??? ) , (Ansolabehere and Rivers 2013; ??? ) ලකුණු බර (Lee 2006; Schonlau et al. 2009) , සහ ක්රමාංකනය (Lee and Valliant 2009) . මෙම තාක්ෂණික ක්රම අතර එක් පොදු තේමාවක් වන්නේ සහායක තොරතුරු භාවිතා කිරීමයි.