ریاضياتي یادښتونه
په دې ضمیمه کې، زه به یو څه نظریات لنډیز وکړم چې د لږ تجربې ډیټا څخه د لږ لږ ریاضياتي بڼه کې د غیر تجربه معلوماتو ډاډه کول. دوه اصلي کړنلارې شتون لري: د ګراف ګراف چوکاټ، چې د ډیویډ پرل او همکارانو سره یې تړاو لري، او د بالقوه پایلو کاري چوکاټ، ډون ډونډډ روبین او همکارانو سره ډیر تړل شوي. زه به د احتمالي پايلې چوکاټ معرفي کړم ځکه چې دا د دريم فصل او 4 برخې په رياضياتي نوټونو کې له نږدې نظرياتو سره ارتباط لري، زه د Pearl, Glymour, and Jewell (2016) سپارښتنه کوم. ) او Pearl (2009) (پرمختللی). د کتاب د اوږدې مودې لپاره د تلفاتو درملنه چې د احتمالي پایلو کاري چوکاټ او د سبب ګراف کاري چوکاټ سره یوځای کوي، زه سپارښتنه کوم چې Morgan and Winship (2014) .
د دې ضمیمه موخه دا ده چې تاسو سره د احتمالي پایلو رواجونو په اړه د آرامۍ او طرزالعمل سره مرسته وکړئ ترڅو تاسو پدې موضوع باندې لیکل شوي نور تخنیکي مواد ته لیږدولو سره. لومړی، زه به د احتمالي پایلو کاري چوکاټ تشریح کړم. بیا، زه به د دې لپاره کار واخلم چې د عوایدو په اړه د پوځي خدماتو په اثر کې د طبیعي تجربو لکه د Angrist (1990) دا ضمیمه په Imbens and Rubin (2015) ډیره لوړه شوې Imbens and Rubin (2015) .
احتمالي پايلې چوکاټ
د احتمالي پايلو چوکاټ درې اساسي عناصر لري: واحدونه ، درملنه ، او احتمالي پايلې . د دې عناصرو د څرګندولو لپاره، راځئ په Angrist (1990) کې د پوښتنې پوښتنې ته یو ځانګړی نسخه Angrist (1990) : د عوایدو په اړه د نظامي خدماتو اغیز څه شی دی؟ په دې حالت کې، موږ کولی شو هغه واحدونه وټاکو چې د امریکا په مسوده کې د متحده ایاالتو مسوده مستحقه وي، او موږ کولی شو دا خلک د \(i = 1, \ldots, N\) . په دې صورت کې د علاج کولی شي "په پوځ کې خدمت" یا "په پوځ کې خدمت نه کوي." زه به د درملنې او کنټرول د دغو شرايطو غږ، او زه به وليکي \(W_i = 1\) که کس \(i\) د درملنې حالت کې دی او \(W_i = 0\) که چیرې شخص \(i\) د کنترول حالت کې وي. بالاخره، بالقوه پایلې په خورا مفهوم ډول مشکل دي ځکه چې دوی په "احتمالي" پایلو کې شامل دي؛ هغه شیان چې کیدای شي پیښ شوي وي. د 1970 د مسودې لپاره د هر شخص لپاره، موږ کولی شو هغه اندازه تصور کړو چې دوی به په 1978 کې پیسې ترلاسه کړي که دوی په اردو کې خدمت کوي، کوم چې زه به د \(Y_i(1)\) بلنه ورکړم، او هغه پیسې چې دوی یې ترلاسه کړي 1978 که چیرې دوی په اردو کې خدمت ونه کړي، کوم چې زه به تلیفون وکړم \(Y_i(0)\) . د احتمالي پایلو په چوکاټ کې، \(Y_i(1)\) او \(Y_i(0)\) ثابت مقدارونه ګڼل کیږي، پداسې حال کې چې \(W_i\) یو بې ترتیبه متغیر دی.
د واحدونو، درملونو او پایلو غوره کول خورا اړین دي ځکه دا دا په ګوته کوي چې هغه څه چې کولی شي د مطالعې څخه زده کړي نه شي. د یوناما انتخاب - د 1970 مسودې لپاره مستحق خلک - ښځې شاملې نه دي، او له اضافي انګیرنې پرته، دا څیړنه به موږ ته د ښځو په اړه د پوځي خدماتو د اغیز په اړه څه ونه ویل. د درملنې او پایلو تعریف کولو څرنګوالي په اړه پریکړه هم مهمه ده. د بیلګې په توګه، ایا د ګټو علاج باید په اردو کې د خدمت کولو یا د جګړې تجربه کولو باندې متمرکز وي؟ ایا د ګټو لاسته راوړنې یا د کار رضايت به وي؟ په پای کې، د واحدونو، درملونو او پایلو انتخاب باید د مطالعې علمي او پالیسۍ اهدافو لخوا ترسره شي.
د یونټونو، درملنو او احتمالي پایلو غوره کول، په شخص کې د درملنې علت اغیزه \(i\) ، \(\tau_i\)
\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]
په بل عبارت، موږ پرتله کوو چې څومره شخص \(i\) خدمت کولو وروسته پیسې ترلاسه کړې وای چې څومره سړی \(i\) پرته له کوم خدمت څخه پیسې ترلاسه کړي. زما لپاره، دقیقا 2.1 د یوې موثره اغېزې تعریف کولو لپاره غوره لار ده، او که څه هم خورا ساده، دا چوکاټ ډیری مهمو او په زړه پورې لارو چارو کې عمومي کولو ته (Imbens and Rubin 2015) کوي (Imbens and Rubin 2015) .
کله چې د احتمالي پایلو کاري چوکاټ کارول، زه اکثره دا ګټور وموم چې یو میز ولیکم چې د ټولو واحدونو لپاره احتمالي پايلې او د درملنې اغیزې ښودلې) جدول 2.5 (. که تاسو د خپل مطالعې لپاره د دې جدول جدول تصور ونشو کړئ، نو ممکن تاسو ته اړتیا لرئ چې د خپلو واحدونو، درملنو او احتمالي پایلو په تعریفونو کې ډیر واضح وي.
| شخص | عایدات د درملنې حالت کې | د کنترول حالت کې عواید | د درملنې اغیز |
|---|---|---|---|
| 1 | \(Y_1(1)\) | \(Y_1(0)\) | \(\tau_1\) |
| 2 | \(Y_2(1)\) | \(Y_2(0)\) | \(\tau_2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | \(Y_N(0)\) | \(\tau_N\) |
| معنی | \(\bar{Y}(1)\) | \(\bar{Y}(0)\) | \(\bar{\tau}\) |
کله چې په دې طریقه د پیښې اغیزه تعریفوي، مګر، موږ د یوې ستونزې په لور روان یو. په نږدې ټولو قضیو کې، موږ د دواړو احتمالي پایلو څارنه نه کوو. دا هغه یو ځانګړی شخص دی چې یا خدمت کوي یا خدمت نه کوي. له همدې امله، موږ د احتمالي پایلو څخه یو یو وګورئ - \(Y_i(1)\) یا \(Y_i(0)\) - مګر دواړه دواړه. د دواړو احتمالي پایلو د لیدلو وړتیا یوه لویه ستونزه ده چې Holland (1986) یې د علت د توقیف بنسټیزې ستونزې ګڼي .
خوشبختانه، کله چې موږ څېړنه کوو، موږ یوازې یو تن نه لرو؛ بلکې، موږ ډیری خلک لرو، او دا د علت د لاسوهنې بنسټیزې ستونزې شاوخوا وړاندیز کوي. د انفرادي سطحې درملنې اغیز اټکل کولو هڅې پرځای، موږ کولی شو د ټولو واحدونو لپاره د درملنې منځنۍ اغیز اټکل کړو:
\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]
دا مساو لا تر اوسه د \(\tau_i\) په اړه څرګند شوي، کوم چې غیر منفي دي، مګر د ځینې الجزیرې سره (د Gerber and Green (2012) عاید 2.8)، موږ ترلاسه کوو
\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]
دا دا ښيي چې که موږ د درملنې لاندې د خلکو منځنۍ پایلې ترلاسه کړو ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) او د نفوس منځنۍ پایلې د کنترول لاندې ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) )، نو موږ کولی شو د منځنۍ درملنې اغیز اټکل وکړو، حتي حتی د کوم ځانګړي کس لپاره د درملنې اغیز اټکل پرته.
اوس چې ما خپل اټکل تعریف کړ - هغه څه چې موږ یې اټکل کوو هڅه کوو - موږ به په حقیقت کې موږ د معلوماتو سره څنګه څنګه کولی شو اټکل وکړو. او دلته موږ مستقیم هغه ستونزه ته ځي چې موږ یوازې د هر شخص لپاره د بالقوه پایلو څخه یوه کتنه کوو؛ موږ یا یې وګورئ \(Y_i(0)\) یا \(Y_i(1)\) (جدول 2.6). موږ کولی شو د خلکو د عایداتو پرتله کولو له لارې د منځنی درملنې اغیز اټکل وکړو چې د هغو خلکو عایداتو ته چې خدمت یې نه دی ترسره کړی:
\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]
چیرې چې \(N_t\) او \(N_c\) د درملنې او کنترول شرایطو کې د خلکو شمیر دی. دا چلند به ښه کار وکړي که چیرې د درملنې دنده ترسره شي د بالقوه پایلو څخه خپلواک وي، کله ناکله یو حالت د ناپوهۍ په توګه . له بده مرغه، د تجربې په نشتوالي کې، ناپوهۍ اکثرا مطمئن نه وي، دا پدې مانا ده چې دقیقو اټکل کوونکي. 2.4 د احتمالي اټکل تولید امکان نلري. د دې په اړه فکر کولو یوه لاره دا ده چې د درملنې ناڅاپي تفاهم په نشتوالي کې، eq. 2.4 د ورته ډول پرتله کول ندي؛ دا د مختلفو خلکو د عوایدو پرتله کول دي. یا د درملنې بې ترتیبه تفاهم پرته، لږ توپیر څرګند کړی، د درملنې تخصیص شاید ممکن احتمالي پایلو پورې اړه ولري.
په څلورم فصل کې، زه به تشریح کړم چې څنګه د ناڅاپي کنټرول تجربه کولی شي څیړونکو سره د تلفاتو اټکل وکړي، او زه به تشریح کړم چې څیړونکي څنګه کولای شي د طبیعي تجربو څخه ګټه پورته کړي، لکه د مسوده مسوده.
| شخص | عایدات د درملنې حالت کې | د کنترول حالت کې عواید | د درملنې اغیز |
|---|---|---|---|
| 1 | ؟ | \(Y_1(0)\) | ؟ |
| 2 | \(Y_2(1)\) | ؟ | ؟ |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | ؟ | ؟ |
| معنی | ؟ | ؟ | ؟ |
طبیعي تجربې
د تجربې چلولو پرته د تلفاتو اټکل کولو لپاره یوه لاره دا ده چې په نړۍ کې داسې شیان لیدل کیږي چې په ناڅاپه توګه ستاسو لپاره درمل ټاکل شوي. دا طریقه د طبیعي تجربو په نوم یادیږي. په ډیری حالاتو کې، له بده مرغه، فطرت په ناڅاپي ډول درملنه نه کوي چې تاسو غواړئ د ګټو نفوس ته وغواړئ. مګر کله ناکله، طبیعت په ناڅاپه توګه یو اړونده درمل وړاندې کوي. په ځانګړې توګه، زه به هغه قضیه په پام کې ونیسم چیرې چې هلته ثانوي درمل شتون لري چې خلک هڅوي تر څو لومړنۍ درملنه ترلاسه کړي. د بیلګې په توګه، مسوده کېدای شي په ناڅاپه توګه ثانوي درملنه وټاکل شي چې ځینې خلک هڅول چې لومړني درملنه وکړي، کوم چې په اردو کې خدمت کوي. دا ډیزاین کله ناکله د هڅونې ډیزاین په نامه یادېږي. او د شننې میتود چې زه به یې دا وضعیت سمبال کړم کله ناکله د انډول متغیر په نامه یادېږي. په دې ترتیب کې، د ځینو انګیرنو سره، څیړونکي کولی شي د واحدونو د یوې ځانګړې برخې لپاره د لومړني درملنې اغیزې په اړه زده کولو لپاره هڅونې وکاروي.
د دوه مختلف درملونو د ترسره کولو لپاره - هڅونې او لومړنۍ درملنه - موږ ځینې نوي نوښت ته اړتیا لرو. فرض کړئ چې ځینې خلک په ناڅاپه توګه مسوده شوي ( \(Z_i = 1\) ) یا مسوده نه وي ( \(Z_i = 0\) )؛ په دې حالت کې، \(Z_i\) کله ناکله د وسایلو په نوم یادېږي.
د هغو کسانو ترمنځ چې مسوده شوي، ځینې یې خدمتونه ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) او ځینې یې ندي ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) ). په ورته ډول، د هغو کسانو ترمنځ چې مسوده نده شوې، ځینې یې خدمتونه ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) او ځینې یې ندي ( \(Z_i = 0, W_i = 0\) ). د هر شخص لپاره احتمالي پایلې اوس کیدی شي پراختیا ومومي ترڅو د دوی هڅونه او درمل لپاره خپل موقف وښيي. د مثال په توګه، اجازه راکړئ چې \(Y(1, W_i(1))\) د شخص عايد \(i\) که چیرته هغه مسوده شوې وي، چیرته چې \(W_i(1)\) د هغه خدمت حالت دی. سربېره پردې، موږ کولی شو خلک د څلورو ډلو لپاره وویشئ: مراجعین، هیڅکله نه، اخیستونکي، او تل له مینځلوونکي (2.7 جدول).
| ډول | خدمت که مسوده شوی وي | خدمت که چیرته مسوده نه وي |
|---|---|---|
| شکایتونه | هو، \(W_i(Z_i=1) = 1\) | نه، \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| هیڅوک نه | نه، \(W_i(Z_i=1) = 0\) | نه، \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| Defiers | نه، \(W_i(Z_i=1) = 0\) | هو، \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
| تل خلک | هو، \(W_i(Z_i=1) = 1\) | هو، \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
مخکې له دې چې موږ د درملنې اغیزه اټکل کړئ (د مثال په توګه، پوځي خدمت)، موږ کولی شو چې لومړی د هڅونې دوه اغیزې تعریف کړو (د مثال په توګه، مسوده شوې). لومړی، موږ کولی شو د لومړني درملنې د هڅونې اغیز تعریف کړو. دوهم، موږ د پایلو په اړه د هڅونې اغیز تعریفولی شو. دا به نتیجه راولي چې دا دوه اغیزو سره یوځای شي ترڅو د خلکو په ځانګړو ګروپ کې د درملنې اغیز اټکل وړاندې کړي.
لومړی، د درملنې د هڅونې اغیزه د انسان لپاره \(i\) تعریف کیدی شي
\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]
سربېره پر دې، دا مقدار د ټول نفوس په څیر تعریف کیدی شي
\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]
په پاى کې، موږ د \(\text{ITT} _{W}\) ډاټا کارولو اټکل کولاي شو:
\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]
چیرې چې \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) د درملنې لپاره د درملنې کچه ده د هغو کسانو لپاره چې هڅول شوي و \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) د هغو کسانو لپاره چې درملنه یې نه وه شوې درملنې لیدل شوي شرح. \(\text{ITT}_W\) ځینې وختونه د \(\text{ITT}_W\) نرخ هم ویل کیږي.
بله، د پایلو په اړه د هڅونې اغیزه د شخص لپاره \(i\) تعریف کیدی شي:
\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]
سربېره پر دې، دا مقدار د ټول نفوس په څیر تعریف کیدی شي
\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]
په پاى کې، موږ د \(\text{ITT}_{Y}\) ډاټا کارولو اټکل کولاي شو:
\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]
چیرې چې \(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) د لیدلو پایله ده (د مثال په توګه، عایدات) د هغو کسانو لپاره چې هڅول شوي وه (مثلا، مسوده شوي) او \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) د هغو کسانو لپاره چې لیدل شوي نه وي لیدل شوي پایلې دي.
په پاى کې، موږ خپل پام د ګټو اغيز ته واړوو: د پايلو په اړه د لومړني درملنې اغيز) د مثال په ډول، پوځي خدمت (. (د مثال په توګه، عوايد). له بده مرغه، دا معلومه شوه چې یو یې نشي کولی، په عمومي توګه، په ټولو واحدونو باندې دا اغیز اټکل کړي. په هرصورت، د ځینو انګیرنو سره، څیړونکي کولی شي د سرغړونو په اړه د درملنې اغیز اټکل کړي) یعنې هغه کسان چې د مسودې چمتو کولو لپاره کار کوي او هغه خلک چې خدمتونه یې نه وي چمتو شوي، جدول 2.7. زه به دا اټکل وکړم چې د منځنۍ بالقوه اغیز (CACE) (چې ځینې وختونه د محلي اوسط درملنې اغیز ، لیټ) هم ویل کیږي:
\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]
چیرې چې \(G_i\) د ډلې ډلې مرسته کوي \(i\) (جدول 2.7 وګورئ) او \(N_{\text{co}}\) د منلو شمیره ده. په بل عبارت، eq. 2.11 د هغو هغو عوایدو پرتله کوي کوم چې چمتو شوي دي \(Y_i(1, W_i(1))\) او نه یې مسوده شوي \(Y_i(0, W_i(0))\) . په انداز کې اټکل 2.11 داسې ښکاري چې د لید شوي ډاټا څخه اټکل وکړي ځکه چې دا ممکنه نه ده چې یوازې د لیدل شوي ډاټا څخه کار اخیستل شوي پیژندونکي وپېژني) پوه شي چې آیا یو څوک شکایت کوي تاسو باید وګوري چې آیا هغه مهال چې مسوده یې کړې او که نه.
دا یو څه حیرانتیا لري - که چېرې کوم شکایتونه شتون ولري، نو بیا یې چمتو کوي یو درې نور مفکورې رامینځته کوي، دا ممکن د CACE اټکل شوي ډاټا څخه اټکل وکړي. لومړی، باید فرض شي چې د درملنې دندې ناڅاپي وي. د مسودې د مسودې په صورت کې دا مناسب دی. په هرصورت، په ځینو ترتیباتو کې چې طبیعي تجربې په فزیکي تصادفیاتو متکي ندي، دا انګیرنه ممکن نور ستونزمن وي. دویم، باید دا احساس وکړي چې دوی هیڅ توپیر نلري (دا انګیرنه کله کله د بدیعت احساس په نامه یادېږي). د مسودې په شرایطو کې داسې انګیرل کیږي چې ډیر لږ خلک شتون لري چې د چمتو کولو مسوده یې نه کوي او که نه. دریم، او بالاخره، ترټولو مهمې انګیرنې راځي چې د جالوالی محدودیت ویل کیږي. د جالوالی محدودیتونو په اساس، باید فرض شی چې د درملنې ټول مسوولیت د درملنې له الرې تیر شي. په بل عبارت، باید داسې انګیرل شي چې په پايلو کې د هڅونې مستقیم اغیز شتون نلري. د لایحې مسوده کې، د بیلګې په توګه، باید دا احساس وکړي چې د مسودې وضعیت د نظامي خدماتو څخه پرته د عوایدو په اړه کوم اغیزه نلري (شمیره 2.11). د استثنا محدودیت کیدای شي سرغړونه وشی، د بیلګې په توګه، هغه خلک چې مسوده شوي وي د خدمت څخه مخنیوي لپاره یا په ښوونځي کې ډیر وخت مصرف کړی او یا هم کارمندان د هغو خلکو ګمارلو لپاره احتمال درلود چې چمتو شوي وي.
انځور 2.11: د جالوالی محدودیت ته اړتیا ده چې هڅونې) لایحه مسوده (په پایلو باندې یوازې تاثیر لري) عواید (یوازې د درملنې له الرې) نظامي خدمت (. د جالوالی محدودیت کیدای شي سرغړونه وشی، د بیلګې په توګه، هغه خلک چې مسوده یې جوړه شوې وه د خدمت څخه مخنیوی لپاره ډیر وخت تېر کړی او په ښوونځي کې د دې وخت زیاتیدلو لوړ عاید سبب ګرځیدلی.
که دا درې حالت (د درملنې لپاره بې ځایه شوي دندې، هیڅ توپیر نلري، او د استثنا محدوده) سره لیدل کیږي
\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]
نو موږ کولی شو د CACE اټکل وکړو:
\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]
د CACE په اړه فکر کولو یوه لاره دا ده چې دا د هغو کسانو تر مینځ توپیر دی چې څوک هڅول شوي او هغه کسان چې هڅول شوي ندي، د زیاتوالي شرحه یې راټیټه کړې.
په ذهن کې ساتلو لپاره دوه مهم غارونه شتون لري. لومړی، د جالوالی محدودیت یوه قوي انګیرنه ده، او دا د قضيې په اساس قضیه کې مستحق کیږي، کوم چې ډیر ځله د موضوع ساحې متخصص ته اړتیا لري. د جالوالی محدودیت د هڅونې د تصادفی کولو سره مشروع نه کیدی. دوهم، د متغیر تحلیل تحلیل سره یو عام عملي ننګونه هغه وخت راځي چې کله د هڅونې هڅونې د درملنې په اړه لږه اغیزه ولري (کله چې \(\text{ITT}_W\) کوچنی وي). دا د کمزوري وسیله په نوم یاديږي، او دا د مختلفو ستونزو سبب کیږي (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) . د کمزوري وسایلو سره د ستونزې په اړه فکر کولو یوه لاره دا ده چې \(\widehat{\text{CACE}}\) په \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) وړو اړخیزونو سره حساس وي. د جالوالی محدودیتونو څخه سرغړونه - ځکه چې دا اړخونه د کوچنیو \(\widehat{\text{ITT}_W}\) . (eq 2.13 وګورئ). په بشپړ ډول، که درملنه برابره شي نو طبیعت په هغه درمل باندې ستره اغیزه نلري چې تاسو یې پام کوئ، نو تاسو به د هغه درمل په اړه چې تاسو یې پاملرنه کوئ ډیر سخت وخت لرئ.
د دې بحث د نورو رسمي نسخو لپاره د Imbens and Rubin (2015) فصلونو 23 او 24 وګورئ. د انټرنیټ متغیراتو لپاره روایتی اقتصادي ټیکنالوژي په عمومي توګه د مساوي اټکلونو اټکل، د بالقوه پایلو نه اټکل کیږي. د دې نظریې څخه د پیژندلو لپاره، Angrist and Pischke (2009) وګورئ، او د دوو تګلارو ترمنځ د پرتله کولو لپاره، د Imbens and Rubin (2015) . د موجودي متغیر روش یو بدیل، لږ لږ رسمي پیشنهاد د Gerber and Green (2012) فصل په شپږم فصل Gerber and Green (2012) . د استثنایي محدودیتونو په اړه د نورو لپاره، وګورئ D. Jones (2015) . Aronow and Carnegie (2013) د اضافي انګیرنې بیانوي چې کولی شي د CACE په پرتله د ATE اټکل کولو لپاره وکارول شي. د دې لپاره چې د طبی تجربو څرنګوالی ډیر مشکل وي د تشریح کولو لپاره، Sekhon and Titiunik (2012) وګورئ Sekhon and Titiunik (2012) . د طبیعي تجربو لپاره د عمومي تعقیب لپاره - یو څوک چې د ډیزاینونو لکه ډیزاین توقیف ځایونو کې شامل دي د ډیری وسیله تغیراتو څخه بهر ځي - Dunning (2012) وګورئ Dunning (2012) .
