गणित नोटहरू

यस परिशिष्टमा, मैले थोडा अधिक गणितीय रूपमा गैर-प्रयोगात्मक डाटाबाट causal भेदभाव बनाउने बारेमा केही विचारहरू संक्षेप गर्नेछु। त्यहाँ दुइवटा मुख्य उपायहरू छन्: कारण ग्राफिक फ्रेमवर्क, जो जुडा पर्ल र सहकर्मीहरूसँग सम्बन्धित छन्, र सम्भावित परिणाम ढाँचा, डोनाल्ड रुबिन र सहकर्मीहरूसँग सम्बन्धित सबै भन्दा बढी। म संभावित परिणाम ढाँचाहरू पेश गर्नेछु किनभने यो अध्याय 3 र 4 को अन्तमा गणितीयत्मक नोटहरूमा विचारहरूसँग जोडिएको छ। Pearl, Glymour, and Jewell (2016) ग्राफिक्स ढाँचामा थपका लागि, म Pearl, Glymour, and Jewell (2016) परिचय Pearl, Glymour, and Jewell (2016) (परिचय Pearl, Glymour, and Jewell (2016) ) र Pearl (2009) (उन्नत)। Causal inference को किताब लम्बाई उपचार को लागि संभावित परिणाम फ्रेमवर्क र कारणों को ग्राफ ग्राफिक्स को संयोजन गर्दछ, म Morgan and Winship (2014) अनुशंसा गर्छु।

यस परिशिष्टको लक्ष्य भनेको तपाइँलाई सम्भावित परिणामको परम्पराको व्याख्या र शैली संग सहज प्राप्त गर्न मद्दत गर्नु हो ताकि तपाइँ यस विषयमा लिखित थप टेक्नोलोजी सामग्रीहरूमा परिवर्तन गर्न सक्नुहुनेछ। पहिलो, म संभावित परिणाम ढाँचाको वर्णन गर्नेछु। त्यसोभए, म यसको प्रयोग गर्नु अगाडी प्राकृतिक प्रयोगहरु जस्तै Angrist (1990) द्वारा कमाईमा सैन्य सेवाको प्रभावमा चर्चा गर्न प्रयोग गर्नेछु। यो परिशिष्ट Imbens and Rubin (2015) भारी मात्रामा फैलिएको छ Imbens and Rubin (2015) ।

सम्भावित परिणाम ढाँचा

सम्भावित परिणाम ढाँचामा तीन मुख्य तत्वहरू छन्: एकाइहरू , उपचारहरू , र सम्भावित परिणामहरू । यिनी तत्वहरुको वर्णन गर्न को लागी, Angrist (1990) संबोधित प्रश्न को एक शैली को संस्करण मा विचार गरौं: आय मा सैन्य सेवा को प्रभाव के हो? यस मामला मा, हामी संयुक्त राज्य अमेरिका मा 1970 मस्यौदा लागि योग्य मान्छे हुन एकाइहरु परिभाषित गर्न सक्नुहुन्छ, र हामी गर्न सक्छन् सूचकांक गरेर यी मानिसहरूलाई \(i = 1, \ldots, N\) । यस मामला मा उपचार "सेना मा सेवा गरिन सक्छ" या "सेना मा सेवा नहीं गरिरहेको छ।" म यो यिनी उपचार र नियंत्रण को स्थितिहरु लाई बोलाउनेछु, र म \(W_i = 1\) यदि व्यक्ति \(i\) उपचार अवस्थामा छ र \(W_i = 0\) यदि व्यक्ति \(i\) नियन्त्रण अवस्थामा छ। अन्तमा, सम्भावना परिणामहरू केहि अवधारणात्मक रूपमा कठिन छन् किनभने तिनीहरू "सम्भावना" परिणामहरू समावेश हुन्छन्; चीजहरू हुन सक्थे। 1 9 70 मस्यौदाको लागि योग्य प्रत्येक व्यक्तिको लागि, हामी सन् 1 9 78 मा उनीहरूले कमाएको पैसाको कल्पना गर्न सक्दछ यदि उनी सेनामा सेवा गर्थे, जुन म फोन गर्नेछु \(Y_i(1)\) , र त्यो रकममा कमाईएको रकम 1 9 78 मा उनीहरूले सेनामा सेवा गरेन भने, जुन म फोन गर्नेछु \(Y_i(0)\) । सम्भाव्य परिणाम ढाँचामा, \(Y_i(1)\) र \(Y_i(0)\) निश्चित मात्राहरू मानिन्छ, जबकि \(W_i\) एक यादृच्छिक चर हो।

एकाइहरू, उपचारहरू, र नतिजाहरूको छनौट महत्त्वपूर्ण छ किनकि यसले अध्ययनबाट सिक्ने र के गर्न सकिन्छ भनेर परिभाषित गर्दछ। एकाइहरूको छनौट - 1 9 70 मस्यौदाको लागि योग्य व्यक्ति - महिलाहरू समावेश गर्दछ, र यसैले अतिरिक्त धारणाहरू बिना, यो अध्ययनले हामीलाई महिलामाथि सैन्य सेवाको प्रभावको बारेमा केही बताउँदैन। उपचार र परिणाम कसरी परिभाषित गर्ने बारेमा निर्णयहरू महत्त्वपूर्ण छन्। उदाहरणका लागि, चासोको उपचार सैन्यमा सेवा गर्न वा युद्धको अनुभव गर्न केन्द्रित हुनुपर्छ? के ब्याजको परिणाम आय वा कामको सन्तुष्टि हुनुपर्छ? अन्ततः, एकाइ, उपचार, र परिणामहरूको छनौट अध्ययनको वैज्ञानिक र नीतिगत उद्देश्यद्वारा चलाइनेछ।

एकाइ, उपचार र सम्भावित परिणामहरूको विकल्पलाई दिइयो, व्यक्तिमा उपचारको आशय प्रभाव \(i\) , \(\tau_i\)

\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]

अन्य शब्दहरूमा, हामी तुलना गर्दछौं कि कति व्यक्ति \(i\) सेवा गर्ने पछि कमाएको हुन्छ कति व्यक्ति \(i\) बिना सेवा बिना कमाएको हुन्छ। मेरो लागि, ईq। 2.1 कारण causal प्रभाव को स्पष्ट तरीका हो, र यद्यपि धेरै सरल, यो ढाँचा धेरै महत्त्वपूर्ण र रोचक तरिका (Imbens and Rubin 2015) सामान्यरूपमा बाहिर जान्छ।

सम्भावित परिणाम ढाँचा प्रयोग गर्दा, म प्रायः यो इजाजतपत्र पत्ता लगाउन तालिका पत्ता लगाउनको लागि सम्भावित परिणामहरू र सबै एकाइहरू (तालिका 2.5) को लागि उपचार प्रभावहरू देखाउँछु। यदि तपाईं आफ्नो अध्ययनको लागि यस तालिकामा कल्पना गर्न सक्षम हुनुहुन्न भने, तपाइँ आफ्नो एकाइ, उपचार, र संभावित परिणामहरूको परिभाषामा अधिक सटीक हुन आवश्यक हुन सक्छ।

यस तरिकामा सिद्ध प्रभाव को परिभाषित गर्दा, तथापि, हामी एक समस्या मा चलिरहेको छ। लगभग सबै अवस्थामा, हामी दुवै सम्भाव्य परिणामहरू पालन गर्न पाउँदैनौं। त्यो हो, एक विशिष्ट व्यक्तिले सेवा गरे वा सेवा नगर्ने। यसैले, हामी संभावित परिणामहरु मध्ये एक को \(Y_i(1)\) वा \(Y_i(0)\) - तर दुवै होइन। दुवै सम्भावित परिणामहरू पालन गर्न असक्षमता यस्तो प्रमुख समस्या हो जुन Holland (1986) ले यसलाई आधारभूत समस्याको मौलिक समस्या भनिन्छ।

सौभाग्यवश, हामी अनुसन्धान गरिरहँदा, हामीसँग मात्र एक व्यक्ति छैन; बरु, हामीसँग थुप्रै व्यक्ति छन्, र यो कारणले गर्दा आधारभूत समस्याको मौलिक समस्याको वरिपरि एक तरिका प्रदान गर्दछ। व्यक्तिगत-स्तर उपचारको प्रभाव अनुमान गर्न प्रयास गर्नुको सट्टा, हामी सबै एकाइहरूको औसत उपचार प्रभाव अनुमान गर्न सक्छौं:

\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]

यो समीकरण अझै पनि \(\tau_i\) सन्दर्भमा व्यक्त गरिएको छ, जुन अप्रत्याशित छ, तर केहि बीजगणना ( Gerber and Green (2012) EB 2.8।

\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]

यो थाहा छ कि यदि हामी उपचारको आधारमा जनसंख्या औसत परिणाम ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) अनुमान गर्दछ र जनसंख्या औसत नियन्त्रणको अन्तर्गत ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), त्यसपछि हामी कुनै पनि विशेष व्यक्तिको लागि उपचार प्रभावको अनुमान नगरी औसत उपचार प्रभाव अनुमान गर्न सक्दछौं।

अब मैले आफ्नो अनुमान लगाएको छु - हामीले अनुमान गर्न प्रयास गरिरहेको कुरा - म कसरी वास्तवमा डेटा संग यसको अनुमान अनुमान गर्न सक्दछु। र यहाँ हामी सीधा समस्यामा हिंड्छौं कि हामी केवल प्रत्येक व्यक्तिको लागि संभावित परिणामहरू हेर्छौं; हामी या तो \(Y_i(0)\) वा \(Y_i(1)\) (तालिका 2.6) \(Y_i(1)\) । हामीले सेवा नगर्ने मानिसहरूको आयमा सेवा गर्ने आयको तुलना गरेर औसत उपचार प्रभाव अनुमान गर्न सकेनौं:

\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]

कहाँ \(N_t\) र \(N_c\) उपचार र नियन्त्रण सर्तहरूमा व्यक्तिहरूको संख्या हो। यो दृष्टिकोणले राम्रो काम गर्नेछ यदि उपचार असाइनमेन्ट सम्भावित परिणामहरूको स्वतन्त्र छ, कहिलेकाहीं कहिलेकाहीं अज्ञानता भनिन्छ। दुर्भाग्यवश, एक प्रयोग को अनुपस्थिति मा, अज्ञानता अक्सर अक्सर सन्तुष्ट छैन, जसको मतलब ईq मा अनुमानक। 2.4 राम्रो अनुमान अनुमान गर्न सम्भव छैन। यसको बारेमा सोच्ने एक तरिका हो कि उपचार को यादृच्छिक असाइनमेंट को अभाव मा, eq। 2.4 जस्तै जस्तो तुलना छैन; यो विभिन्न प्रकारका आयको तुलना तुलना गर्दैछ। वा थोरै भिन्नता व्यक्त गरियो, उपचारको बेवास्ता असाइनमेन्ट बिना, उपचार आवंटन सम्भवतः सम्भावित परिणामहरूसँग सम्बन्धित छ।

अध्याय 4 मा, म वर्णन गर्दछु कि कसरी बेतरतीब नियंत्रित प्रयोग प्रयोगहरूले अनुमान अनुमानहरू अनुमान गर्न मद्दत गर्दछ, र यहाँ म वर्णन गर्नेछु कि शोधकर्ताहरू प्राकृतिक प्रयोगहरूको फाइदा उठाउन सक्नेछन्, जस्तै ड्राफ्ट लटरी।

प्राकृतिक प्रयोगहरू

प्रयोग बिना दौडने अनुमान अनुमान गर्ने एक दृष्टिकोणले संसारमा हुन सक्ने केहि चीजहरू हेर्ने छ जसले अनियमित रूपमा तपाईंको लागि उपचार प्रदान गरेको छ। यो दृष्टिकोणलाई प्राकृतिक प्रयोग भनिन्छ। धेरै अवस्थामा, दुर्भाग्यवश, प्रकृतिले अनियमित ढंगले उपचारलाई तपाइँले चासोको जनसंख्या गर्न चाहानुहुन्छ। तर कहिलेकाँही, प्रकृतिले अनियमित रूपमा सम्बन्धित उपचार उद्धार गर्दछ। विशेष गरी, म यस मामलालाई विचार गर्नेछु जुन त्यहाँ केहि माध्यमिक उपचार छ जसले मानिसहरूलाई प्राथमिक उपचार प्राप्त गर्न प्रोत्साहन दिन्छ। उदाहरणका लागि, मस्यौदा अनियमित रूपमा नियुक्त माध्यमिक उपचारलाई विचार गर्न सकिन्छ जसले केही व्यक्तिलाई प्राथमिक उपचार लिन प्रोत्साहित गर्यो, जुन सेनामा सेवा गरिरहेको थियो। यो डिजाइन कहिलेकाहीं एक प्रोत्साहन डिजाइन भनिन्छ । र विश्लेषण विधि जुन म यस परिस्थितिलाई सम्भाल्न वर्णन गर्दछु कहिलेकाहीं वाद्यकर्तक चर भनिन्छ। यस सेटिङमा, केही धारणाहरूको साथ, शोधकर्ताहरू एकाइहरूको एक विशेष उपसेटका लागि प्राथमिक उपचारको प्रभावबारे सिक्ने प्रोत्साहन प्रयोग गर्न सक्छन्।

दुई फरक उपचारहरू संकलन गर्नको लागि - प्रोत्साहन र प्राथमिक उपचार - हामीलाई केही नयाँ टिप्पणी चाहिन्छ। मान्नुहोस् कि केही व्यक्तिहरू अनियमित रूपमा ड्राफ्ट गरिएको छ ( \(Z_i = 1\) ) वा ड्राफ्ट गरिएको छैन ( \(Z_i = 0\) ); यस अवस्थामा, \(Z_i\) कहिलेकाहीँ एउटा उपकरण भनिन्छ।

तिनीहरू ड्राफ्ट गरिएका थिए, केहीले सेवा गरे ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) र केहि गरेन ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) )। त्यसै गरी, जो ड्राफ्ट गरिएको थिएन, केहीले सेवा गरे ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) र केही गरेन ( \(Z_i = 0, W_i = 0\) )। प्रत्येक व्यक्तिको सम्भावना परिणाम अब प्रोत्साहन र उपचार दुवैको लागि आफ्नो स्थिति देखाउन विस्तार गर्न सकिन्छ। उदाहरणको लागि, अनुमति दिनुहोस् \(Y(1, W_i(1))\) व्यक्तिको कमाई \(i\) यदि ड्राफ्ट गरिएको थियो, जहाँ \(W_i(1)\) लाई ड्राफ्ट गरीएको सेवाको स्थिति हो। यसबाहेक, हामी जनसंख्यालाई चार समूहमा विभाजित गर्न सक्छौं: अनुयायीहरू, कहिलेकाहीँ, विनाशकारीहरू, र सँधै ट्रयाकहरू (तालिका 2.7)।

हामीले उपचारको प्रभाव अनुमान गर्नुभन्दा अघि (यानी, सैन्य सेवा), हामी पहिलो पटक प्रोत्साहनको दुई प्रभावहरू परिभाषित गर्न सक्छौं (जस्तै, मस्यौदा लिइन्छ)। पहिलो, हामी प्राथमिक उपचारमा प्रोत्साहन को प्रभाव परिभाषित गर्न सक्छौं। दोस्रो, हामी परिणाममा प्रोत्साहन को प्रभाव परिभाषित गर्न सक्छौं। यसले बन्द गर्नेछ कि यी दुई प्रभावहरू मानिसहरूको विशिष्ट समूहमा उपचारको प्रभावको अनुमान प्रदान गर्न सकिन्छ।

पहिलो, उपचारमा प्रोत्साहनको प्रभाव व्यक्ति \(i\) रूपमा परिभाषित गर्न सकिन्छ

\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]

यसबाहेक, यो मात्रा सम्पूर्ण जनसंख्याको रूपमा परिभाषित गर्न सकिन्छ

\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]

अन्तमा, हामी अनुमान गर्न सक्छौं \(\text{ITT} _{W}\) डेटा प्रयोग गरेर:

\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]

जहाँ \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) को उपचार को मनाईएको दर हो जुन प्रोत्साहित गरियो र \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) हो उपचारका लागि हेरिएको उपचारको लागि जो प्रोत्साहित गरिएको थिएन। \(\text{ITT}_W\) लाई कहिलेकाहीँ माथि \(\text{ITT}_W\) दर भनिन्छ ।

अर्को, परिणाममा प्रोत्साहनको प्रभाव व्यक्तिको लागि परिभाषित गर्न सकिन्छ \(i\) रूपमा:

\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]

यसबाहेक, यो मात्रा सम्पूर्ण जनसंख्याको रूपमा परिभाषित गर्न सकिन्छ

\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]

अन्तमा, हामी अनुमान गर्न सक्छौं \(\text{ITT}_{Y}\) डेटा प्रयोग गर्दै:

\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]

जसलाई प्रोत्साहन दिइएको थियो (उदाहरणका लागि, मस्यौदाकृत) र \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) लागि अवलोकन गरिएको परिणाम (जस्तै, कमाई) जहाँ \(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) हो। \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) को लागि प्रोत्साहन दिइएको थिएन जसको लागि अवलोकन गरिएको परिणाम हो।

अन्तमा, हामी हाम्रो ध्यान चासोको प्रभावमा बदल्दछौं: परिणाम (उदाहरणका लागि, आय) प्राथमिक उपचार (जस्तै, सैन्य सेवा) को प्रभाव। दुर्भाग्यवश, यो थाहा पाउँछ कि एक, सामान्यमा, सबै एकाइहरूमा यो असर अनुमान गर्न सक्दैन। तथापि, केहि धारणाहरु संग, शोधकर्ताहरु लाई अनुपालनहरु लाई उपचार को प्रभाव को अनुमान गर्न सक्छन् (यानी, जो ड्राफ्ट गरियो र जो लोग सेवा नहीं गर्नेछन् यदि मस्यौदा छैन, तालिका 2.7)। म यो एस्टिम्याण्डलाई कर्ता औसत कारण प्रभाव (CACE) लाई बोलाउनेछु (जसलाई कहिलेकाहीं स्थानीय औसत उपचार प्रभाव , लेट भनिन्छ):

\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]

जहाँ \(G_i\) व्यक्तिको समूहलाई दान गर्दछ \(i\) (तालिका 2.7 हेर्नुहोस्) र \(N_{\text{co}}\) अनुयायीहरूको संख्या हो। अर्को शब्दमा, ईq। 2.11 मन्त्रालयका आयोजकहरूको तुलना गर्दछ जुन ड्राफ्ट गरिएको हो \(Y_i(1, W_i(1))\) र \(Y_i(1, W_i(1))\) र ड्राफ्ट गरिएको होइन \(Y_i(0, W_i(0))\) । इकिममा अनुमान। 2.11 अवलोकन गरिएको डेटाबाट अनुमान गर्न गाह्रो लाग्छ किनभने यो केवल अवलोकन गरिएको डाटा प्रयोग गर्ने अनुपालनहरू पहिचान गर्न सम्भव छैन (यदि कसैले प्रमाणीकरण गर्नुपर्दछ कि उसले मस्यौदा गर्दा सेवा गरिरहेको छ वा उनी मस्यौदा गरेमा सेवा गरेन भने)।

यो बाहिर जान्छ - केहि आश्चर्यजनक कुरा - यदि कुनै पनि अनुपालन हो भने, त्यसमा एकले तीनवटा अतिरिक्त धारणाहरू प्रदान गर्दछ, यसले अनुमानित डेटाबाट CACE अनुमान गर्न सम्भव छ। पहिलो, कसैले मान्नु पर्छ कि उपचारको असाइनमेन्ट अनियमित छ। ड्राफ्ट लटरीको अवस्थामा यो उचित छ। तथापि, केहि सेटिङहरूमा जहाँ प्राकृतिक प्रयोगहरूले भौतिक अनियमिततामा भरोसा गर्दैन, यो धारणा अधिक समस्याग्रस्त हुन सक्छ। दोस्रो, कसैले मान्नु पर्छ कि उनीहरूको कुनै शत्रुहरू छैनन् (यो धारणाले कहिलेकाहीँ मोनोटोनिकिटी धारणा भनिन्छ)। ड्राफ्टको सन्दर्भमा यो उचित मानिन्छ कि धेरै कम व्यक्तिहरू छन् जो मस्यौदा गरी सेवा पुर्याउँदैन र ड्राफ्ट गरिएको छैन भने सेवा गर्नेछ। तेस्रो, र अन्तमा, सबैभन्दा महत्त्वपूर्ण धारणा आउँछ जुन बहिष्कार प्रतिबन्ध भनिन्छ । बहिष्करण प्रतिबन्ध अन्तर्गत, कसैले मानिन्छ कि उपचार असाइनमेन्टको सबै प्रभाव उपचारमार्फत पारित हुन्छ। अन्य शब्दहरुमा, एक को मानिन्छ कि परिणाम मा प्रोत्साहन को सीधी प्रभाव छैन। ड्राफ्ट लटरीको अवस्थामा, उदाहरणको लागि, एउटा मान्न आवश्यक छ कि मस्यौदा स्थितिमा सैन्य सेवाको माध्यमबाट अन्य आयमा कुनै असर पर्दैन (तथ्याङ्क 2.11)। बहिष्करण प्रतिबन्ध उल्लङ्घन गर्न सक्छ यदि, उदाहरणका लागि, ड्राफ्ट गरिएको व्यक्तिहरूले सेवामा नपढ्नको लागि स्कूलमा बढी समय खर्च गरे वा यदि नियोक्ताहरूलाई कम गर्ने व्यक्तिहरूलाई भाडामा लिने सम्भावना थियो।

चित्रा 2.11: बहिष्कार प्रतिबन्धको आवश्यकता छ कि प्रोत्साहन (ड्राफ्ट लटरी) को परिणाम (आय) मा केवल उपचार (सैन्य सेवा) को परिणाम मा प्रभाव छ। बहिष्कार प्रतिबन्ध उल्लङ्घन गर्न सक्छ यदि, उदाहरणका लागि, ड्राफ्ट गरिएको व्यक्तिले सेवामा नछोड्न र स्कूलमा यो वृद्धि समय उच्च आयको लागी स्कूलमा बढी समय बित्यो।

यदि यी तीन अवस्था (उपचारको लागि ब्याट्री असाइनमेंट, कुनै डिभाइर र बहिष्करण प्रतिबन्ध) भेटिए पछि

\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]

त्यसैले हामी CACE अनुमान गर्न सक्छौं:

\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]

CACE को बारेमा सोच्ने एक तरिका हो कि यो उत्प्रेरित भएकाहरूलाई को बीचको परिणाम हो र जो प्रोत्साहित छैन, uptake दर द्वारा मुद्रास्फीति।

दिमागमा राख्नको लागि दुई महत्त्वपूर्ण caveats छन्। पहिलो, बहिष्कार प्रतिबन्ध एक बलियो धारणा हो, र यो मामला-दर-आधार आधारमा उचित हुनु आवश्यक छ, जसले अक्सर विषय-क्षेत्र विशेषज्ञताको आवश्यकता पर्दछ। बहिष्कार प्रतिबन्ध प्रोत्साहनको अनियमितता संग उचित हुन सक्दैन। दोस्रो, साधन चर विश्लेषण संग एक सामान्य व्यावहारिक चुनौती हुन्छ जब प्रोत्साहन उपचार को uptake मा थोडा प्रभाव छ जब \(\text{ITT}_W\) सानो छ जब)। यसलाई एक कमजोर साधन भनिन्छ , र यसले विभिन्न प्रकारका समस्याहरूको सामना गर्छ (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) । कमजोर यन्त्रहरूसँग समस्याको बारेमा सोच्ने एक तरिका हो कि \(\widehat{\text{CACE}}\) \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) सम्भवतः कारणले सानो पूर्वाधारमा संवेदनशील हुन सक्छ। बहिष्करण प्रतिबन्धको उल्लङ्घन - किनभने यी पूर्वाधारहरू सानो \(\widehat{\text{ITT}_W}\) (एq 2.13 हेर्नुहोस्)। प्रायः, यदि उपचारले प्रकृतिलाई असाइन गरेमा तपाईलाई हेरचाह गर्ने उपायमा ठूलो असर पर्दैन, त्यसपछि तपाईले कडा व्यवहारको बारेमा सिक्न कठिन समयको लागि जाँदै हुनुहुन्छ।

यस छलफलको अधिक औपचारिक संस्करणको लागि Imbens and Rubin (2015) को अध्याय 23 र 24 हेर्नुहोस्। औजार चर को लागी पारंपरिक अर्थव्यवस्थात्मक दृष्टिकोण सामान्यतया समीकरण को अनुमान लगाईएको छ, संभावित परिणाम नहीं। यस अन्य परिप्रेक्ष्य देखि एक परिचय को लागि, Angrist and Pischke (2009) हेर्नुहोस, र दुई दृष्टिकोणहरु को बीच तुलना को लागि, Imbens and Rubin (2015) धारा 24.6 हेर्नुहोस। यंत्रको चर चर दृष्टिकोणको एक वैकल्पिक, थोरै कम औपचारिक प्रस्तुतीकरण Gerber and Green (2012) अध्याय 6 मा प्रदान गरिएको छ। बहिष्कार प्रतिबन्धमा अधिकका लागि, हेर्नुहोस् D. Jones (2015) । Aronow and Carnegie (2013) ले थप सेट धारणाहरूको वर्णन गर्दछ जुन एसीईको तुलनामा CACE भन्दा अनुमान गर्न प्रयोग गर्न सकिन्छ। प्राकृतिक प्रयोगहरू कसरी व्याख्या गर्न Sekhon and Titiunik (2012) हुन सक्छ भन्ने बारे अधिक Sekhon and Titiunik (2012) , Sekhon and Titiunik (2012) हेर्नुहोस्। प्राकृतिक प्रयोगका लागि सामान्य परिचयको लागी एक - जसले मात्र विद्यमान विचलन भन्दा माथिको दिशामा पनि समावेश गर्दछ जुन डिजाइनमा समेत रिग्रेसन डिन्टन्ट्युनिटीजमा समावेश गर्दछ - Dunning (2012) हेर्नुहोस्।