Noti fil-matematika

F'dan l-appendiċi, ser neżamina fil-qosor xi ideat dwar kif nista 'nagħmel inferenza kawżali minn data mhux sperimentali f'forma kemmxejn aktar matematika. Hemm żewġ approċċi ewlenin: il-qafas grafiku kawżali, l-aktar assoċjat ma 'Judea Pearl u l-kollegi, u l-qafas tar-riżultati potenzjali, l-aktar assoċjati ma' Donald Rubin u l-kollegi. Se nintroduċi l-qafas tar-riżultati potenzjali minħabba li huwa marbut aktar mill-qrib ma 'l-ideat fin-noti matematiċi fl-aħħar tal-kapitoli 3 u 4. Għal aktar dwar il-qafas Pearl, Glymour, and Jewell (2016) każwali, nirrakkomanda Pearl, Glymour, and Jewell (2016) (introduttorja ) u Pearl (2009) (avvanzata). Għal trattament tul il-ktieb ta 'inferenza kawżali li jgħaqqad il-qafas tar-riżultati potenzjali u l-qafas tal-graff kawżali, nirrakkomanda Morgan and Winship (2014) .

L-għan ta 'dan l-appendiċi huwa li jgħinek issir komda bin-notazzjoni u l-istil tat-tradizzjoni tar-riżultati potenzjali sabiex tkun tista' tgħaddi għal xi wħud mill-materjali aktar tekniċi miktuba fuq dan is-suġġett. L-ewwel, ser niddeskrivi l-qafas tar-riżultati potenzjali. Imbagħad, ser Angrist (1990) biex tiddiskuti aktar esperimenti naturali bħal dik ta ' Angrist (1990) dwar l-effett tas-servizz militari fuq il-qligħ. Dan l-appendiċi jiġbed ħafna fuq Imbens and Rubin (2015) .

Qafas ta 'riżultati potenzjali

Il-qafas ta 'riżultati potenzjali għandu tliet elementi ewlenin: unitajiet , trattamenti u riżultati potenzjali . Sabiex nispjegaw dawn l-elementi, ejja nikkunsidraw verżjoni stilizzata tal-mistoqsija indirizzata Angrist (1990) : X'inhu l-effett tas-servizz militari fuq il-qligħ? F'dan il-każ, nistgħu niddefinixxu l- unitajiet bħala persuni eliġibbli għall-abbozz tal-1970 fl-Istati Uniti, u nistgħu nindikaw lil dawn in-nies b ' $i = 1, \ldots, N$ . It-trattamenti f'dan il-każ jistgħu jkunu "li jservu fil-militar" jew "li ma jservux fil-militar." I ser sejħa dawn il-kundizzjonijiet tat-trattament u ta 'kontroll, u jien ser jiktbu $W_i = 1$ jekk persuna $i$ hija fil-kundizzjoni tat-trattament u $W_i = 0$ jekk il-persuna $i$ tinsab fil-kundizzjoni tal-kontroll. Fl-aħħarnett, ir -riżultati potenzjali huma ftit iktar kunċettwali diffiċli għaliex jinvolvu riżultati "potenzjali"; affarijiet li seta 'ġara. Għal kull persuna eliġibbli għall-abbozz ta 'l-1970, nistgħu nimmaġinaw l-ammont li kieku kisbu fl-1978 jekk servew fil-militar, li se nsejjaħ $Y_i(1)$ , u l-ammont li kienu jaqilgħu 1978 jekk ma servewx fil-militar, li se nsejjaħ $Y_i(0)$ . Fil-qafas tar-riżultati potenzjali, $Y_i(1)$ u $Y_i(0)$ huma kkunsidrati bħala kwantitajiet fissi, filwaqt li $W_i$ hija varjabbli każwali.

L-għażla ta 'l-unitajiet, it-trattamenti u r-riżultati hija kritika għaliex tiddefinixxi x'jista' u ma jistax jitgħallem mill-istudju. L-għażla tal-unitajiet-persuni eliġibbli għall-abbozz tal-1970 - ma tinkludix in-nisa, u għalhekk mingħajr suppożizzjonijiet addizzjonali, dan l-istudju ma jgħidilna xejn dwar l-effett tas-servizz militari fuq in-nisa. Id-deċiżjonijiet dwar kif jiġu definiti t-trattamenti u r-riżultati huma importanti wkoll. Per eżempju, jekk it-trattament tal-imgħax ikun iffukat fuq is-servizz fil-ġlied militari jew li qed jesperjenza? Ir-riżultat tal-imgħax għandu jkun il-qligħ jew is-sodisfazzjon tal-impjieg? Fl-aħħarnett, l-għażla ta 'unitajiet, trattamenti u riżultati għandhom ikunu mmexxija mill-għanijiet xjentifiċi u ta' politika tal-istudju.

Minħabba l-għażliet ta 'unitajiet, trattamenti u riżultati potenzjali, l-effett kawżali tat-trattament fuq il-persuna $i$ , $\tau_i$ , huwa

$$\tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)$$

Fi kliem ieħor, inqabbru kemm persuna $i$ kienet taqla 'wara li sservi kemm persuna $i$ kienet taqla' mingħajr ma sservi. Lili, eq. 2.1 huwa l-aktar mod ċar biex jiddefinixxi effett kawżali, u għalkemm estremament sempliċi, dan il-qafas jirriżulta li jista 'jiġi ġeneralizzat f'ħafna modi importanti u interessanti (Imbens and Rubin 2015) .

Meta jintuża l-qafas tar-riżultati potenzjali, spiss insibha utli li tikteb tabella li turi r-riżultati potenzjali u l-effetti tat-trattament għall-unitajiet kollha (tabella 2.5). Jekk m'intix kapaċi timmaġina tabella bħal din għall-istudju tiegħek, allura jista 'jkollok bżonn tkun aktar preċiż fid-definizzjonijiet tiegħek tal-unitajiet, it-trattamenti u r-riżultati potenzjali tiegħek.

Meta tiddefinixxi l-effett kawżali b'dan il-mod, madankollu, għandna problema. Fi kważi l-każijiet kollha, ma nibdewx nosservaw iż-żewġ riżultati potenzjali. Jiġifieri, persuna speċifika jew serviet jew ma servietx. Għalhekk, aħna nosservaw wieħed mir-riżultati potenzjali- $Y_i(1)$ jew $Y_i(0)$ -but mhux it-tnejn. L-inkapaċità li jiġu osservati ż-żewġ riżultati potenzjali hija problema tant kbira li Holland (1986) sejħitilha l- Problema Fundamentali tad-Dwal tal-Kawżi .

Fortunatament, meta nagħmlu r-riċerka, aħna mhux biss għandna persuna waħda; Minflok, għandna ħafna nies, u dan joffri mod ta 'madwar il-Problema Fundamentali tad-Dwal tal-Kawżi. Minflok ma tipprova tistma l-effett tat-trattament fuq livell individwali, nistgħu nistmaw l -effett medju tat-trattament għall-unitajiet kollha:

$$\text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)$$

Din l-ekwazzjoni għadha espressa f'termini ta ' $\tau_i$ , li mhumiex osservabbli, iżda b'xi algebra (eq 2.8 ta' Gerber and Green (2012) ),

$$\text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)$$

Dan juri li jekk nistgħu nistmaw l-eżitu medju tal-popolazzjoni taħt trattament ( $N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)$ ) u l-eżitu medju tal-popolazzjoni taħt kontroll ( $N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)$ $N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)$ $N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)$ ), allura nistgħu nistmaw l-effett medju tat-trattament, anki mingħajr ma jiġi stmat l-effett tat-trattament għal xi persuna partikolari.

Issa li stajt iddefinixxa l-istima tagħna - il-ħaġa li qed nippruvaw nistennew - nirreferi għal kif inkunu nistgħu nagħmilha stima bid-data. U hawn immorru direttament fil-problema li aħna biss josservaw wieħed mir-riżultati potenzjali għal kull persuna; naraw jew $Y_i(0)$ jew $Y_i(1)$ (tabella 2.6). Nistgħu nistmaw l-effett medju tat-trattament billi tqabbel il-qligħ ta 'nies li servew għall-qligħ ta' nies li ma servewx:

$$\widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)$$

fejn $N_t$ u $N_c$ huma n-numri ta 'nies fil-kundizzjonijiet ta' trattament u kontroll. Dan l-approċċ se jaħdem tajjeb jekk l-assenjazzjoni tat-trattament hija indipendenti minn riżultati potenzjali, kundizzjoni li kultant tissejjaħ injoranza . Sfortunatament, fin-nuqqas ta 'esperiment, l-injoranza mhix spiss sodisfatta, u dan ifisser li l-istimatur f'eq. 2.4 x'aktarx ma tipproduċix stima tajba. Mod wieħed biex wieħed jaħseb dwarha huwa li fin-nuqqas ta 'assenjazzjoni każwali ta' trattament, eq. 2.4 mhix qed tqabbel simili ma 'simili; qed tqabbel il-qligħ ta 'tipi differenti ta' nies. Jew espressa kemmxejn differenti, mingħajr assenjazzjoni każwali ta 'trattament, l-allokazzjoni tat-trattament probabbilment hija relatata ma' riżultati potenzjali.

Fil-kapitolu 4, se niddeskrivi kif l-esperimenti kontrollati b'mod każwali jistgħu jgħinu lir-riċerkaturi jagħmlu stimi kawżali, u hawn se niddeskrivi kif ir-riċerkaturi jistgħu jieħdu vantaġġ minn esperimenti naturali, bħall-abbozz tal-lotterija.

Esperimenti naturali

Approċċ wieħed biex isiru stimi kawżali mingħajr ma wieħed imexxi esperiment huwa li tfittex xi ħaġa li qed jiġri fid-dinja li saltwarjament tat trattament għalik. Dan l-approċċ jissejjaħ esperimenti naturali . F'ħafna sitwazzjonijiet, sfortunatament, in-natura ma tagħtix b'mod każwali l-kura li trid lill-popolazzjoni ta 'interess. Imma kultant, in-natura saltwarjament tagħti trattament relatat. B'mod partikolari, ser nikkunsidra l-każ fejn hemm xi trattament sekondarju li jħeġġeġ lin-nies biex jirċievu t -trattament primarju . Per eżempju, l-abbozz jista 'jitqies bħala trattament sekondarju magħżul b'mod każwali li ħeġġeġ lil xi wħud biex jieħdu t-trattament primarju, li kien qed iservi fil-militar. Dan id-disinn kultant jissejjaħ disinn ta 'inkoraġġiment . U l-metodu ta 'analiżi li se niddeskrivi biex nittratta din is-sitwazzjoni kultant jissejjaħ varjabbli strumentali . F'dan l-istabbiliment, b'xi suppożizzjonijiet, ir-riċerkaturi jistgħu jużaw l-inkoraġġiment biex jitgħallmu dwar l-effett tat-trattament primarju għal subsett partikolari ta 'unitajiet.

Sabiex jiġu mmaniġġjati ż-żewġ trattamenti differenti - l-inkoraġġiment u t-trattament primarju-neħtieġu xi notazzjoni ġdida. Ejja ngħidu li xi nies huma abbozzati bl-addoċċ ( $Z_i = 1$ ) jew mhux abbozzati ( $Z_i = 0$ ); f'din is-sitwazzjoni, $Z_i$ kultant tissejjaħ strument .

Fost dawk li ġew abbozzati, xi servew ( $Z_i = 1, W_i = 1$ ) u xi wħud ma kinux ( $Z_i = 1, W_i = 0$ ). Bl-istess mod, fost dawk li ma kinux abbozzati, xi wħud servew ( $Z_i = 0, W_i = 1$ ) u xi wħud ma kinux ( $Z_i = 0, W_i = 0$ ). Ir-riżultati potenzjali għal kull persuna issa jistgħu jiġu estiżi biex juru l-istatus tagħhom kemm għall-inkoraġġiment kif ukoll għat-trattament. Pereżempju, let $Y(1, W_i(1))$ ikun il-qligħ ta 'persuna $i$ jekk kien abbozzat, fejn $W_i(1)$ huwa l-istat tas-servizz tiegħu jekk abbozzat. Barra minn hekk, nistgħu niddividu l-popolazzjoni f'erba 'gruppi: dawk li jikkompletawhom, dawk li qatt ma ħadu l-idejn, dawk li jiddefenduhom u dejjem dawk li jieħdu (tabella 2.7).

Qabel ma niddiskutu l-istima tal-effett tat-trattament (jiġifieri s-servizz militari), nistgħu l-ewwel jiddefinixxu żewġ effetti tal-inkoraġġiment (jiġifieri, qed jiġu abbozzati). L-ewwel, nistgħu niddefinixxu l-effett tal-inkoraġġiment fuq it-trattament primarju. It-tieni nett, nistgħu niddefinixxu l-effett tal-inkoraġġiment fuq ir-riżultat. Jirriżulta li dawn iż-żewġ effetti jistgħu jingħaqdu biex jipprovdu stima tal-effett tat-trattament fuq grupp speċifiku ta 'nies.

L-ewwelnett, l-effett tal-inkoraġġiment fuq it-trattament jista 'jiġi definit għal persuna $i$ bħala

$$\text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)$$

Barra minn hekk, din il-kwantità tista 'tiġi definita fuq il-popolazzjoni kollha kemm hi

$$\text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)$$

Fl-aħħarnett, nistgħu nistmaw $\text{ITT} _{W}$ jużaw data:

$$\widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)$$

fejn $\bar{W}^{\text{obs}}_1$ hija r-rata ta 'trattament osservata għal dawk li kienu mħeġġa u $\bar{W}^{\text{obs}}_0$ hija ir-rata ta 'trattament osservata għal dawk li ma kinux imħeġġa. $\text{ITT}_W$ huwa wkoll xi kultant imsejjaħ ir -rata tad - dħul .

Sussegwentement, l-effett tal-inkoraġġiment fuq ir-riżultat jista 'jiġi definit għal persuna $i$ bħala:

$$\text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)$$

Barra minn hekk, din il-kwantità tista 'tiġi definita fuq il-popolazzjoni kollha kemm hi

$$\text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)$$

Fl-aħħarnett, nistgħu nqisu $\text{ITT}_{Y}$ bl-użu ta 'data:

$$\widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)$$

fejn $\bar{Y}^{\text{obs}}_1$ huwa r-riżultat osservat (eż. qligħ) għal dawk li kienu mħeġġa (eż., abbozzati) u $\bar{W}^{\text{obs}}_0$ huwa r-riżultat osservat għal dawk li ma kinux imħeġġa.

Fl-aħħarnett, aħna ngħaddu l-attenzjoni tagħna għall-effett tal-interess: l-effett tat-trattament primarju (eż., Servizz militari) fuq ir-riżultat (eż. Sfortunatament, jirriżulta li wieħed ma jistax, b'mod ġenerali, jistma dan l-effett fuq l-unitajiet kollha. Madankollu, b'xi suppożizzjonijiet, ir-riċerkaturi jistgħu jistmaw l-effett tat-trattament fuq dawk li jikkompletawhom (jiġifieri, persuni li se jservu jekk ikunu abbozzati u persuni li ma jservux jekk mhux abbozzati, tabella 2.7). Se nsejjaħ għal din l-istima l -effett kawżali medju li jikkorrispondi (CACE) (li wkoll xi drabi jissejjaħ l -effett tat-trattament medju lokali , LATE):

$$\text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)$$

fejn $G_i$ tagħti lill-grupp tal-persuna $i$ (ara t-tabella 2.7) u $N_{\text{co}}$ kopja $N_{\text{co}}$ huwa n-numru ta 'dawk li jikkonformaw. Fi kliem ieħor, eq. 2.11 tqabbel il-qligħ ta 'dawk li jikkonformaw li huma abbozzati $Y_i(1, W_i(1))$ u mhux abbozzati $Y_i(0, W_i(0))$ . L-istima f'eq. 2.11 jidher diffiċli biex jiġi stmat minn data osservata minħabba li mhux possibbli li jiġu identifikati dawk li jikkonformaw bl-użu ta 'data osservata biss (biex tkun taf jekk xi ħadd huwiex komplet għandek bżonn tosserva jekk servietx meta tfasslet u jekk servietx meta ma tkunx ġiet abbozzata).

Jirriżulta-kemmxejn sorprendenti - li jekk hemm xi osservaturi, imbagħad sakemm wieħed jagħmel tliet suppożizzjonijiet addizzjonali, huwa possibbli li jiġi stmat CACE minn dejta osservata. L-ewwel, wieħed irid jassumi li l-assenjazzjoni għat-trattament hija każwali. Fil-każ ta 'l-abbozz tal-lotterija dan huwa raġonevoli. Madankollu, f'xi settings fejn l-esperimenti naturali ma jiddependux fuq randomizzazzjoni fiżika, din l-assunzjoni tista 'tkun aktar problematika. It-tieni nett, wieħed irid jassumi li l-membri tagħhom mhumiex defiers (din is-suppożizzjoni xi kultant tissejjaħ ukoll is-suppożizzjoni ta 'monotoniċità). Fil-kuntest tal-abbozz jidher raġonevoli li wieħed jassumi li hemm ftit nies li mhux se jservu jekk jiġu abbozzati u se jservu jekk mhux abbozzati. It-tielet, u fl-aħħarnett, hija l-assunzjoni l-iktar importanti li tissejjaħ ir- restrizzjoni tal-esklużjoni . Taħt ir-restrizzjoni tal-esklużjoni, wieħed irid jassumi li l-effett tal-assenjazzjoni tat-trattament jgħaddi mit-trattament innifsu. Fi kliem ieħor, wieħed irid jassumi li m'hemm l-ebda effett dirett ta 'inkoraġġiment fuq ir-riżultati. Fil-każ ta 'l-abbozz tal-lotterija, pereżempju, wieħed irid jassumi li l-abbozz ta' status m'għandux effett fuq il-qligħ minbarra permezz ta 'servizz militari (figura 2.11). Ir-restrizzjoni ta 'esklużjoni tista' tiġi miksura jekk, per eżempju, in-nies li ġew abbozzati qattgħu iktar ħin fl-iskola sabiex jevitaw is-servizz jew jekk min iħaddem kien anqas probabbli li jimpjega lin-nies li kienu abbozzati.

Figura 2.11: Ir-restrizzjoni tal-esklużjoni teħtieġ li l-inkoraġġiment (abbozz tal-lotterija) ikollu effett fuq ir-riżultat (qligħ) biss permezz tat-trattament (servizz militari). Ir-restrizzjoni tal-esklużjoni tista 'tiġi miksura jekk, per eżempju, in-nies li ġew abbozzati qattgħu iktar ħin fl-iskola sabiex jiġi evitat is-servizz u li dan iż-żmien miżjud fl-iskola wassal għal qligħ ogħla.

Jekk dawn it-tliet kundizzjoni (assenjazzjoni bl-addoċċ għat-trattament, l-ebda defiers, u r-restrizzjoni ta 'esklużjoni) jiġu sodisfatti, allura

$$\text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)$$

għalhekk nistgħu nistmaw CACE:

$$\widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)$$

Mod wieħed biex wieħed jaħseb dwar CACE huwa li hija d-differenza fir-riżultati bejn dawk li kienu mħeġġa u dawk mhux imħeġġa, minfuħa mir-rata ta 'l-adozzjoni.

Hemm żewġ twissijiet importanti biex wieħed iżomm f'moħħu. L-ewwelnett, ir-restrizzjoni tal-esklużjoni hija assunzjoni qawwija, u jeħtieġ li tkun iġġustifikata fuq bażi ta 'każ b'każ, li sikwit teħtieġ għarfien espert dwar is-suġġett. Ir-restrizzjoni tal-esklużjoni ma tistax tiġi ġġustifikata bl-għażla każwali tal-inkoraġġiment. It-tieni, sfida prattika komuni b'analiżi varjabbli strumentali tiġi meta l-inkoraġġiment ikollu ftit effett fuq it-teħid ta 'trattament (meta $\text{ITT}_W$ huwa żgħir). Dan jissejjaħ strument dgħajjef , u jwassal għal varjetà ta 'problemi (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) . Mod wieħed biex jaħsbu dwar il-problema ma 'strumenti dgħajfa hija li $\widehat{\text{CACE}}$ jistgħu jkunu sensittivi għall preġudizzji żgħar $\widehat{\text{ITT}_Y}$ -potentially minħabba vjolazzjonijiet tar-restrizzjoni tal-esklużjoni - minħabba li dawn il-preġudizzji jinkisbu minn "żgħir $\widehat{\text{ITT}_W}$ (ara l-eq. 2.13). Bejn wieħed u ieħor, jekk it-trattament li n-natura tassenja ma jkollux impatt kbir fuq il-kura li tħobb, allura int se jkollok ħin iebes biex titgħallem dwar it-trattament li tħobb.

Ara l-kapitolu 23 u 24 ta ' Imbens and Rubin (2015) għal verżjoni aktar formali ta' din id-diskussjoni. L-approċċ ekonometriku tradizzjonali għall-varjabbli strumentali huwa tipikament espress f'termini ta 'stima ta' ekwazzjonijiet, mhux riżultati potenzjali. Għal introduzzjoni minn din il-perspettiva oħra, ara Angrist and Pischke (2009) , u għal paragun bejn iż-żewġ approċċi, ara t-taqsima 24.6 ta ' Imbens and Rubin (2015) . Preżentazzjoni alternattiva, ftit inqas formali tal-approċċ tal-varjabbli strumentali hija pprovduta fil-kapitolu 6 ta ' Gerber and Green (2012) . Għal aktar dwar ir-restrizzjoni tal-esklużjoni, ara D. Jones (2015) . Aronow and Carnegie (2013) jiddeskrivu sett addizzjonali ta 'suppożizzjonijiet li jistgħu jintużaw biex jistmaw ATE minflok CACE. Għal aktar tagħrif dwar kif l-esperimenti naturali jistgħu jkunu diffiċli ħafna biex jiġu interpretati, ara Sekhon and Titiunik (2012) . Għal introduzzjoni aktar ġenerali għal esperimenti naturali-waħda li tmur lil hinn biss mill-approċċ tal-varjabbli strumentali tinkludi wkoll disinji bħal nuqqas ta 'kontinwazzjoni tar-rigressjoni - ara Dunning (2012) .