गणितीय नोट्स
या परिशिष्टात, मी थोड्या अधिक गणिती स्वरूपात गैर-प्रायोगिक डेटामधून कारणाचा अनुमान काढण्याबद्दल काही कल्पनांचा सारांश घेणार आहे. दो मुख्य पध्दती आहेत: मुख्यतः जुदेआ पर्ल आणि सहकाऱ्यांशी कारणीभूत ग्रॅफ फ्रेमवर्क आणि संभाव्य परिणाम आराखडा, डोनाल्ड रूबिन आणि सहकाऱ्यांशी संबंधित आहेत. मी संभाव्य परिणाम फ्रेमवर्क सादर करेल कारण ते प्रकरण 3 आणि 4 च्या शेवटी गणिती नोट्सच्या कल्पनांशी अधिक बारीकसंबंधात जोडलेले आहे. कारण ग्राफ ग्राफ Pearl, Glymour, and Jewell (2016) अधिक, मी Pearl, Glymour, and Jewell (2016) (परिचयात्मक ) आणि Pearl (2009) (प्रगत). संभाव्य परिणाम फ्रेमवर्क आणि कार्यकारणक्षम ग्राफ फ्रेमवर्कचा मेळ असणार्या कारण अनुमानाच्या एका पुस्तक-लांबीच्या उपचारासाठी, मी Morgan and Winship (2014) शिफारस करतो.
या विषयावर लिहिलेल्या काही अधिक तांत्रिक सामग्रीवर आपण संक्रमण करू शकता त्यामुळे या परिशिष्टाचा लक्ष्य म्हणजे आपल्याला संभाव्य परिणाम परंपरेच्या नोटेशन आणि शैलीसह आराम करण्यास मदत होते. प्रथम, मी संभाव्य परिणाम फ्रेमवर्क वर्णन करू. नंतर, मी याचा वापर Angrist (1990) प्रयोगांवरील Angrist (1990) कमाईवर लष्करी सेवेच्या प्रभावासारख्या नैसर्गिक प्रयोगांशी चर्चा करण्यासाठी करू. Imbens and Rubin (2015) वर हे परिशिष्ट खूप जास्त आकर्षित करते.
संभाव्य परिणाम फ्रेमवर्क
संभाव्य परिणाम फ्रेमवर्क तीन मुख्य घटक आहे: युनिट्स , उपचार , आणि संभाव्य परिणाम . या घटकांना स्पष्ट करण्यासाठी, चला Angrist (1990) मध्ये संबोधित केलेल्या प्रश्नाची शैलीकृत आवृत्ती विचारात घेऊ: कमाईवर लष्करी सेवेचा प्रभाव काय आहे? या प्रकरणात, आम्ही युनायटेड स्टेट्समधील 1 9 70 च्या मसुद्याकरता योग्य असल्याचे युनिटांना परिभाषित करू शकतो आणि आम्ही या लोकांना \(i = 1, \ldots, N\) द्वारे निर्देशित करू शकतो. या प्रकरणात उपचार असू शकते "लष्करी सेवा" किंवा "लष्करी सेवा नाही." मी या उपचार आणि नियंत्रण अटी कॉल करू, आणि मी लिहू करू \(W_i = 1\) तर व्यक्ती \(i\) उपचार \(W_i = 0\) असून \(W_i = 0\) जर व्यक्ती \(i\) नियंत्रण स्थितीमध्ये असेल. अखेरीस, संभाव्य निष्कर्ष थोडी अधिक संकल्पनात्मक अवघड आहेत कारण त्यामध्ये "संभाव्य" परिणाम समाविष्ट होतात; घडत असलेल्या गोष्टी 1 99 7 च्या मसुद्यास पात्र असलेल्या प्रत्येक व्यक्तीसाठी आपण 1 9 78 मध्ये \(Y_i(1)\) रकमेची कल्पना करू शकतो जर त्यांनी सैन्यात काम केले असते, ज्याला मी \(Y_i(1)\) कॉल करेल, आणि त्यांनी मिळविलेल्या रकमेत 1 9 78 मध्ये त्यांनी लष्करी कार्यात काम केले नाही, जे मी कॉल करेन \(Y_i(0)\) . संभाव्य परिणाम फ्रेमवर्कमध्ये, \(Y_i(1)\) आणि \(Y_i(0)\) निश्चित प्रमाणात मानले जातात, तर \(W_i\) एक यादृच्छिक वेरियेबल आहे.
युनिट्स, उपचार आणि परिणामांची निवड अत्यंत महत्त्वाची आहे कारण ते अभ्यासातून काय शिकू शकत नाहीत आणि काय शिकू शकत नाही हे निश्चित करते. युनिटची निवड - 1 9 70 च्या मसुद्यासाठी पात्र लोक - यात स्त्रियांचा समावेश नाही आणि त्यामुळे अतिरिक्त गृहीत न होता, हा अभ्यास आम्हाला स्त्रियांच्या लष्करी सेवेच्या प्रभावाबद्दल काहीही सांगणार नाही. उपचार आणि परिणाम कसे परिभाषित करायचे याबाबतचे निर्णय देखील महत्त्वाचे आहेत. उदाहरणार्थ, रूग्णांचे उपचार लष्करी किंवा अनुभवी लढायावर काम करण्यावर केंद्रित केले पाहिजे का? व्याजाचा परिणाम कमाई किंवा नोकरीच्या समाधानानुसार झाला पाहिजे? शेवटी, युनिट्स, उपचारांचा आणि परिणामांचा अभ्यास अभ्यासाच्या वैज्ञानिक आणि धोरण लक्ष्यांकडून चालवला जावा.
युनिट्स, उपचार आणि संभाव्य परिणामांची निवड केल्याने, व्यक्तिवर \(i\) , \(\tau_i\)
\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]
दुसऱ्या शब्दांत, आपण व्यक्ती किती तुलना \(i\) जास्त व्यक्ती कसे सेवा केल्यानंतर मिळवला असता \(i\) सेवा न मिळवला आहे. मला, ईक. 2.1 हा परिणामकारणाचा परिणाम परिभाषित करण्याचा सर्वात स्पष्ट मार्ग आहे आणि अत्यंत सोपा असूनही हे फ्रेमवर्क अनेक महत्वाच्या आणि मनोरंजक पद्धतींनी (Imbens and Rubin 2015) .
संभाव्य परिणाम फ्रेमवर्क वापरताना, मला सहसा संभाव्य परिणाम दर्शविणारी एक टेबल आणि सर्व एकके (टेबल 2.5) साठीचे उपचार प्रभाव वाचण्यास मदत करते. आपण आपल्या अभ्यासासाठी या सारख्या सारणीची कल्पना करू शकत नसाल तर आपल्या युनिट्स, उपचारांमुळे आणि संभाव्य परिणामांची आपल्या परिभाषांमध्ये आपल्याला अधिक अचूक असणे आवश्यक आहे.
| व्यक्ती | उपचार स्थितीत कमाई | नियंत्रण स्थितीमधील कमाई | उपचारांचा परिणाम |
|---|---|---|---|
| 1 | \(Y_1(1)\) | \(Y_1(0)\) | \(\tau_1\) |
| 2 | \(Y_2(1)\) | \(Y_2(0)\) | \(\tau_2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | \(Y_N(0)\) | \(\tau_N\) |
| मध्य | \(\bar{Y}(1)\) | \(\bar{Y}(0)\) | \(\bar{\tau}\) |
अशाप्रकारे कारणाचा परिणाम परिभाषित करतांना, तथापि, आम्ही एक समस्या चालवतो. जवळजवळ सर्वच बाबतीत, आम्ही दोन्ही संभाव्य निष्कर्ष बघू नये. म्हणजेच एक विशिष्ट व्यक्ती जे सेवा देत नाही किंवा सेवा दिली नाही. म्हणूनच, आपण संभाव्य परिणामांपैकी एक \(Y_i(1)\) किंवा \(Y_i(0)\) -परंतु दोन्हीकडे नाही. दोन्ही संभाव्य निष्कर्ष बघणे अशक्य अशी एक मोठी समस्या आहे की Holland (1986) हे त्यास " फॉरमॅन्टल प्रॉब्लेम ऑफ कॉसल इनफॉरमेशन" म्हटले आहे .
सुदैवाने, जेव्हा आपण संशोधन करीत असतो, आमच्याकडे एक व्यक्ती नाही; त्याउलट, आमच्याकडे बरेच लोक आहेत, आणि यामुळे कॉजल इनफॉरमेशनच्या मूलभूत समस्येचा एक मार्ग शोधला जातो. वैयक्तिक पातळीवरील उपचारांच्या प्रभावाचा अंदाज घेण्याऐवजी, आम्ही सर्व घटकांसाठी सरासरी उपचारांचा प्रभाव अंदाजू शकतो:
\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]
हे समीकरण अजूनही \(\tau_i\) , जे अप्रकाशित आहे, परंतु काही बीजगणित ( Gerber and Green (2012) eq 2.8), आम्हाला मिळते
\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]
यावरून दिसून येते की जर आपण लोकसंख्येचा सरासरी निकाल उपचारानुसार ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) आणि लोकसंख्या सरासरी निकाल नियंत्रणाखाली ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), तर आपण कोणत्याही विशिष्ट व्यक्तीच्या उपचाराच्या अभ्यासाचा अंदाज न घेता, सरासरी उपचारांचा प्रभाव अंदाज घेऊ शकतो.
आता मी माझ्या अंदाजानुसार परिभाषित केलेली आहे- ज्या गोष्टीचा आपण अंदाज लावण्याचा प्रयत्न करीत आहोत- मी डेटासह त्याचा प्रत्यक्ष अंदाज कसा करू शकतो ते पाहू. आणि इथे आपण थेट त्या समस्येत चालतो की प्रत्येक व्यक्तीसाठी आपण फक्त संभाव्य परिणामांचा एक निरीक्षण करतो; आम्ही एकतर \(Y_i(0)\) किंवा \(Y_i(1)\) (टेबल 2.6) पाहतो. आम्ही लोकांसाठी केलेल्या कमाईची तुलना करून सरासरी सेवेचे परिणाम अनुमानित करू शकलो असतो जे सेवा देत नसलेल्या लोकांच्या कमाईत काम करतात:
\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]
जेथे \(N_t\) आणि \(N_c\) हे उपचार आणि नियंत्रण परिस्थितीतील लोकांची संख्या आहेत हा असा पध्दत चांगल्या प्रकारे कार्य करेल जेव्हा उपचार नियुक्त करणे संभाव्य परिणामांपासून स्वतंत्र असेल, तर कधीकधी अज्ञानीपणा म्हणतात. दुर्दैवाने, एका प्रयोगाच्या अनुपस्थितीत, अज्ञानीपणा सहसा समाधानी नसतो, याचा अर्थ असा की eq मधील अंदाजकर्ता. 2.4 अंदाजे चांगले अंदाज लावण्याची शक्यता नाही. याचा विचार करण्याचा एक मार्ग म्हणजे उपचारांच्या यादृच्छिक असामान्यतेच्या अनुपस्थितीत, eq. 2.4 सारखेच तुलना करत नाही; तो वेगवेगळ्या प्रकारच्या लोकांच्या कमाईची तुलना करीत आहे. किंवा उपचारांच्या निर्हेड अभिहस्तापनाच्या शिवाय, थोड्या वेगळ्या प्रकारे व्यक्त केल्या जातात, उपचार वाटप संभवत: संभाव्य परिणामांशी संबंधित आहे.
अध्याय 4 मध्ये मी वर्णन करू शकतो की यादृच्छिकपणे नियंत्रित प्रयोग संशोधकांना कारणाचा अंदाज घेण्यास मदत कशी करू शकतात आणि येथे मी वर्णन करतो की संशोधक मसुदा लॉटरी सारख्या नैसर्गिक प्रयोगांचा लाभ कसा घेऊ शकतात.
| व्यक्ती | उपचार स्थितीत कमाई | नियंत्रण स्थितीमधील कमाई | उपचारांचा परिणाम |
|---|---|---|---|
| 1 | ? | \(Y_1(0)\) | ? |
| 2 | \(Y_2(1)\) | ? | ? |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | ? | ? |
| मध्य | ? | ? | ? |
नैसर्गिक प्रयोग
प्रयोग न करता कार्यकारणीचे आकलन करण्याची एक दृष्टीकोन जगामध्ये घडणार्या काही गोष्टींचा शोध घेणे जे निरंतर आपल्यासाठी एक उपचार नियुक्त केले आहे. या दृष्टिकोणास नैसर्गिक प्रयोग असे म्हणतात. बर्याच बाबतीत, दुर्दैवाने, स्वारस्य आपल्याला स्वारस्य लोकसंख्येला इच्छित असलेल्या उपचारांना यादृच्छिकरित्या वितरीत करत नाही. परंतु काहीवेळा, निसर्ग यादृच्छिकपणे संबंधित उपचार वितरीत करते. विशेषतः, मी अशा प्रकरणाचा विचार करतो ज्यामध्ये काही दुय्यम उपचार आहे जे लोकांना प्राथमिक उपचार प्राप्त करण्यास प्रोत्साहित करते. उदाहरणार्थ, मसुदा एक यादृच्छिकरित्या नियुक्त केलेले द्वितीयक उपचार मानले जाऊ शकते ज्याने काही लोकांना प्राथमिक उपचार घेण्यास प्रोत्साहन दिले जे लष्करी सेवा देत होते. या डिझाइनला काहीवेळा प्रोत्साहित डिझाइन असे म्हटले जाते. आणि विश्लेषण पद्धती जी मी या परिस्थितीस हाताळण्यासाठी वर्णन करतो तीला कधीकधी इंस्ट्रूमेंटल वेरिएबल्स म्हटले जाते. या सेटिंगमध्ये, काही गृहीतके सह, संशोधक एक विशिष्ट उपसंचाचे प्राथमिक उपचाराच्या परिणामांबद्दल जाणून घेण्यासाठी प्रोत्साहित करू शकतात.
दोन भिन्न उपचारांसाठी - उत्तेजन आणि प्राथमिक उपचार - आम्हाला काही नवीन नोटेशनची आवश्यकता आहे. समजा की काही लोक यादृच्छिकपणे मसुदा ( \(Z_i = 1\) ) किंवा ड्राफ्ट न केलेले ( \(Z_i = 0\) ); या स्थितीत, \(Z_i\) ला काहीवेळा इन्स्ट्रुमेंट असे म्हटले जाते.
तयार केलेल्यांपैकी काही जणांनी ([ \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) कार्य केले आणि काही ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) ) नाहीत. त्याचप्रमाणे, ज्यांना मसुदा तयार करण्यात आले नाही त्यांच्यातील काही (- \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) आणि काही ( \(Z_i = 0, W_i = 0\) ) नाही. प्रत्येक व्यक्तीचे संभाव्य परिणाम आता उत्तेजन आणि उपचार या दोन्ही गोष्टींसाठी विस्तारित केले जाऊ शकतात. उदाहरणार्थ, \(Y(1, W_i(1))\) व्यक्तीची कमाई असा \(i\) जर तो मसुदा तयार केला असेल तर, \(W_i(1)\) तयार \(W_i(1)\) त्याची सेवा स्थिती आहे. पुढे, आपण लोकसंख्या चार गटांमध्ये विभाजित करू शकता: कसलेही, कधीही काढू शकत नाहीत, हरकत घेत नाही, आणि नेहमीच घेणारे (टेबल 2.7).
| प्रकार | मसुदा तयार केल्यास सेवा | सेवेचा मसुदा तयार नसल्यास |
|---|---|---|
| तक्रारी | होय, \(W_i(Z_i=1) = 1\) | नाही, \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| कधीही-घेणार नाही | नाही, \(W_i(Z_i=1) = 0\) | नाही, \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| डिफियएर्स | नाही, \(W_i(Z_i=1) = 0\) | होय, \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
| नेहमी-विचारणारे | होय, \(W_i(Z_i=1) = 1\) | होय, \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
उपचाराच्या (म्हणजेच लष्करी सेवा) प्रभावाचा अंदाज लावण्याआधी, आम्ही प्रथम उत्तेजनाचे दोन परिणाम परिभाषित करू शकतो (उदा. मसुदा केला जात आहे). प्रथम, आम्ही प्राथमिक उपचारांवरील प्रोत्साहित प्रभावाची व्याख्या करू शकतो. सेकंद, आपण परिणाम वर उत्तेजन प्रभाव परिभाषित करू शकता. हे स्पष्ट होईल की या दोन प्रभावांचा एकत्रितपणे एक विशिष्ट समूह लोकांच्या उपचारांवर परिणाम घडवून आणू शकतो.
प्रथम, उपचारांच्या प्रोत्साहित होण्याचा परिणाम व्यक्तीसाठी \(i\) म्हणून परिभाषित केला जाऊ शकतो
\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]
पुढे, ही संख्या संपूर्ण लोकसंख्येवर परिभाषित केली जाऊ शकते
\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]
शेवटी, आपण डेटाचा वापर करून \(\text{ITT} _{W}\) चा अंदाज लावू शकता:
\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]
जेथे \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) हे उत्तेजन दिले जाते त्यांच्यासाठी उपचारांचा साजरा दर आहे आणि \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) आहे ज्यांना उत्तेजन देण्यात आले नाही त्यांच्यावरील उपचारांचा साजरा दर \(\text{ITT}_W\) याला कधीकधी तेज \(\text{ITT}_W\) म्हणतात.
नंतर, परिणामावरील प्रोत्साहित होण्याचा परिणाम व्यक्तीस \(i\) म्हणून \(i\) :
\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]
पुढे, ही संख्या संपूर्ण लोकसंख्येवर परिभाषित केली जाऊ शकते
\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]
अखेरीस, आपण डेटाचा वापर करुन \(\text{ITT}_{Y}\) अंदाज लावू शकता:
\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]
ज्याला प्रोत्साहित करण्यात आले (उदा. मसुदा) आणि \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) \(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) साध्य केलेले निष्कर्ष (उदा. कमाई) \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) ज्यांना उत्तेजन देण्यात आले नाही त्यांच्यासाठी पाहिले परिणाम.
अखेरीस, आम्ही स्वारस्यांच्या प्रभावाकडे लक्ष देतो: परिणामी परिणामी प्राथमिक उपचारांचा परिणाम (उदा. लष्करी सेवा) (उदा. कमाई). दुर्दैवाने, असे होऊ शकते की सर्वसाधारणपणे सर्व युनिट्सवर या प्रभावाचा अंदाज लावता येत नाही. तथापि, काही गृहीतके सह, संशोधक compliers वर उपचारांचा प्रभाव अंदाजू शकतात (म्हणजे, जे लोक मसुदा तयार करतील आणि जे लोक सेवा देत नाहीत त्यांच्यासाठी टेबल तयार केले नसेल तर, टेबल 2.7). मी हे अंदाज कॉल करेल आणि क्विकारी सरासरी कारण प्रभाव (सीएसीई) (ज्याला कधीकधी स्थानिक सरासरी उपचाराचा प्रभाव , कधीकधी म्हणतात):
\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]
जिथे \(G_i\) व्यक्तीचा गट \(i\) (देणगी सारणी 2.7) आणि \(N_{\text{co}}\) चे दान करते. दुसऱ्या शब्दांत, eq. 2.11 मसुद्या तयार केलेल्या कारागीरांची कमाईची तुलना \(Y_i(1, W_i(1))\) आणि ड्राफ्ट नाही \(Y_i(0, W_i(0))\) . Eq मध्ये अंदाज 2.11 साजरा केलेल्या डेटावरून अंदाज लावणे कठीण वाटते कारण केवळ साजरा केलेल्या माहितीचा उपयोग करून (आपण कोणी निरीक्षण केले आहे याची खात्री करणे आवश्यक आहे की जेव्हा त्याने मसुदा तयार केला आहे की नाही याची तपासणी करणे आवश्यक आहे की नाही आणि त्याने मसुदे तयार न केल्यास का नाही).
तो बाहेर वळतो-काहीसे आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे, जर कोणी तक्रार केली असेल तर प्रदान केल्यास तीन अतिरिक्त गृहीत धरले जाईल, साजरा केलेल्या डेटावरून CACE चा अनुमान करणे शक्य आहे. सर्वप्रथम, असे गृहित धरू लागते की उपचारांसाठी नियुक्त काम रँडम आहे. मसुदा लॉटरीच्या बाबतीत हे वाजवी आहे. तथापि, काही सेटिंग्जमध्ये जिथे नैसर्गिक प्रयोग भौतिक यादृच्छिकतेवर विसंबून राहत नाहीत, तिथे ही धारणा अधिक समस्याप्रधान असू शकते. दुसरे, एखाद्याला असे गृहीत धरणे आवश्यक आहे की त्यांचे दोष नाही (हे गृहीत देखील कधीकधी मोनोटोनिसीटी गृहीत धरले जाते). मसुद्याच्या संदर्भात असे गृहीत धरले जाते की फारच कमी लोक आहेत जे जर मसुदा तयार झाले नाहीत तर ते काम करणार नाही आणि जर ते मसुदा बनले नाहीत तर ते काम करतील. तिसरा, आणि शेवटी, सर्वात महत्वाचा धारणा आहे ज्यास बहिष्कार प्रतिबंध म्हणतात. बहिष्कार प्रतिबंध अंतर्गत, एक असे गृहीत धरले पाहिजे की उपचाराचा परिणाम सर्व उपचार उपचारांद्वारे दिला जातो. दुस-या शब्दात सांगायचे तर परिणामांवर उत्तेजन देण्याचा प्रत्यक्ष परिणाम होत नाही असे गृहीत धरणे आवश्यक आहे. ड्राफ्ट लॉटरीच्या बाबतीत, उदाहरणार्थ, एखाद्याला असे गृहित धरू लागते की मसुदा स्थितीचा सैन्य सेवा (आकृती 2.11) च्या व्यतिरिक्त कमाईवर काही परिणाम नाही. उदाहरणार्थ बहिष्कार प्रतिबंध कायद्याचा भंग होऊ शकतो, उदाहरणार्थ, ज्या लोकांनी ड्राफ्ट तयार केले होते त्यांना सेवा टाळण्यासाठी अधिक वेळ खर्च करण्यात आला होता किंवा नियोक्ते जे लोक तयार केले गेले असतील त्यांना नोकरीची शक्यता कमी असते.
आकृती 2.11: वगळण्याच्या निर्बंधानुसार प्रोत्साहन (मसुदा लॉटरी) चे परिणाम (लष्करी सेवा) च्या माध्यमातून परिणाम (कमाई) वर परिणाम असणे आवश्यक आहे. उदाहरणार्थ बहिष्कार निर्बंधांचे उल्लंघन केले जाऊ शकते, उदाहरणार्थ, ज्या लोकांनी ड्राफ्ट तयार केले होते त्यांना सेवा टाळण्यासाठी अधिक वेळ घालवणे आणि शाळेतील वाढीव वेळेमुळे जास्त कमाई झाली
जर या तीन अवस्था (उपचारांसाठी यादृच्छिक असाईनमेंट, कोणतेही डिफेअर आणि अॅक्सेझेशन प्रतिबंध) भेटले नाहीत तर,
\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]
म्हणून आम्ही CACE चा अंदाज लावू शकतो:
\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]
सीएसीई बद्दल विचार करण्याचा एक मार्ग म्हणजे प्रोत्साहनात्मक आणि उत्तेजित न केलेल्या लोकांमधील निकालांमधील हे फरक आहे.
लक्षात ठेवण्यासाठी दोन महत्त्वपूर्ण सावधानता आहेत. प्रथम, बहिष्कार प्रतिबंध हे एक मजबूत समज आहे, आणि एखाद्या केस-बाय-केस आधारावर न्याय करण्याची आवश्यकता आहे, ज्यास विषय-क्षेत्रातील तज्ञांची आवश्यकता असते. बहिष्कार निर्बंध उत्तेजनांच्या रँडिक्षलाइझीसह समायोजित करू शकत नाही. दुसरे, \(\text{ITT}_W\) वेरियेबल विश्लेषण सह एक सामान्य व्यावहारिक आव्हान येतो तेव्हा उत्तेजन प्रोत्साहन उपचार वर थोडे प्रभाव आहे (जेव्हा \(\text{ITT}_W\) लहान आहे याला एक कमजोर इन्स्ट्रुमेंट असे म्हणतात आणि यामुळे विविध प्रकारच्या समस्या उद्भवतात (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) . कमजोर साधनांसह असलेल्या समस्येचा विचार करण्याचा एक मार्ग म्हणजे \(\widehat{\text{CACE}}\) लहान \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) संवेदनशील असू शकतात \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) संभाव्य कारणाने बहिष्कार निर्बंधांचे उल्लंघन-कारण हे पूर्वाग्रह लहान \(\widehat{\text{ITT}_W}\) (उदा. 2.13 पहा). साधारणतः, निसर्गाने दिलेल्या उपचारांचा आपल्यावर असलेल्या उपचारांवर फारसा प्रभाव पडत नसल्यास, आपल्यास जीवाणूच्या उपचाराबद्दल शिकण्यास आपल्याला कठीण वाटेल.
या चर्चेच्या अधिक औपचारिक आवृत्तीसाठी Imbens and Rubin (2015) अध्याय 23 आणि 24 पहा. इन्स्ट्रुमेंटल वेरिएबल्सचा पारंपारिक अर्थतत्मीक दृष्टीकोन विशेषत: समीकरणाचा अंदाज घेऊन व्यक्त केला जातो, संभाव्य परिणामांवर नाही. या दुसर्या दृष्टीकोनातून परिचय साठी, Angrist and Pischke (2009) , आणि दोन दृष्टिकोनांमध्ये तुलना करण्यासाठी, Imbens and Rubin (2015) कलम 24.6 पहा. Gerber and Green (2012) अध्याय 6 मध्ये पर्यायी, थोडी कमी औसुरीकरणाची औपचारिक सादरीकरणे इन्स्ट्रुमेंटल व्हेरिएबल्स दृष्टिकोनातून दिली आहे. वगळण्याच्या निर्बंधांबद्दल अधिक माहितीसाठी D. Jones (2015) . Aronow and Carnegie (2013) असे गृहितकांचा एक अतिरिक्त संच वर्णन करतात जो CACE ऐवजी ATE चा अंदाज लावता येतो. अर्थासाठी नैसर्गिक प्रयोग किती अवघड असू शकतात याबद्दल अधिक, Sekhon and Titiunik (2012) . नैसर्गिक प्रयोगांसाठी अधिक सर्वसामान्य परिचय- एक जो केवळ इंस्ट्रूमेबल वेरिएबल्सच्या पलीकडे जात नाही त्याचप्रमाणे प्रतिगणना खंडित होण्यासारख्या डिझाइनसह - Dunning (2012) .
