Математикийн тэмдэглэл
Энэ хавсралтад би туршилтын бус өгөгдлүүдээс арай илүү математикийн хэлбэрээр учруулсан учир шалтгааны талаархи зарим дүгнэлтийг нэгтгэн дүгнэх болно. Иуда Сувдан болон бусад хамт олонтой холбоотой учир шалтгааны графикийн хүрээ, мөн дүгнэх боломжийн хүрээ, Дональд Рубин болон бусад хамт олонтой холбоотой гол хоёр аргууд байдаг. Pearl, Glymour, and Jewell (2016) 3, 4-р бүлгийн төгсгөлд математик тэмдэглэлүүдийн талаархи санаа бодолтой нягт холбоотой учраас боломжит үр дүнгийн хүрээг танилцуулах болно. Учир нь учир шалтгааны график бүтцийг Pearl, Glymour, and Jewell (2016) (танилцуулга Pearl, Glymour, and Jewell (2016) ) болон Pearl (2009) (дэвшилтэт). Магадгүй үр дагаврын хүрээ, учир шалтгааны графикийн хүрээг хослуулсан учир шалтгааны дүгнэлт номыг урт хугацаанд эмчлэхийн тулд би Morgan and Winship (2014) зөвлөж байна.
Энэ хавсралтын зорилго нь гарч болзошгүй үр дүнгийн уламжлал, хэв маягийг тайвшруулж, энэ сэдвээр бичсэн зарим техникийн материал руу шилжих боломжийг танд олгох явдал юм. Нэгдүгээрт, болзошгүй үр дагаврын бүтцийг тайлбарлах болно. Дараа нь би үүнийг Angrist (1990) цэргийн алба хаасны үр дүнд байгалийн туршилтуудыг хэлэлцэх болно. Энэ хавсралт Imbens and Rubin (2015) дээр тулгуурладаг.
Боломжит үр дүнгийн хүрээ
Боломжит үр дагаварын хамрах хүрээ нь нэгж , эмчилгээ , боломжит үр дүн гэсэн гурван үндсэн элементтэй. Эдгээр элементүүдийг харуулахын тулд Angrist (1990) өгсөн асуултын нарийн хувилбарыг авч үзье. Цэргийн алба хэр үр дүнтэй байдаг вэ? Энэ тохиолдолд бид АНУ-д 1970 оны төсөлд хамрагдах хүмүүс болох нэгжийг тодорхойлох боломжтой бөгөөд эдгээр хүмүүсийг \(i = 1, \ldots, N\) -аар индексжүүлж болно. Энэ тохиолдолд эмчилгээ нь "цэрэгт алба хаах" эсвэл "цэрэгт үйлчлэхгүй" байж болох юм. Эдгээр эмчилгээг хянах, хянах нөхцлийг би хэлэх бөгөөд \(W_i = 1\) хэрэв хүн \(i\) нь эмчилгээний нөхцөлд байгаа бөгөөд \(i\) нь хяналтын нөхцөл байдалд байгаа бол \(W_i = 0\) байна. Эцэст нь боломжит үр дүнгүүд нь "боломжит" үр дагаврыг хамарсан учир үр дүн нь арай илүү ойлгомжтой байдаг. болсон байж болох юм. 1970 оны төсөлд хамрагдах хүн бүрд 1978 онд цэргийн алба хааж байсан цэргийн \(Y_i(1)\) , мөн тэдний олсон мөнгөн дүнг бид төсөөлж болно. 1978 хэрэв тэд цэргийн алба \(Y_i(0)\) миний дуудах болно \(Y_i(0)\) . Боломжит үр дүнгийн хүрээн дэх \(Y_i(1)\) ба \(Y_i(0)\) нь тогтмол хэмжигдэхүүн гэж үздэг бол \(W_i\) нь санамсаргүй хувьсагч юм.
Судалгаанаас юу сурч болохыг мэдэх боломжгүй учир нэгж, эмчилгээ, үр дүнг сонгох нь нэн чухал юм. 1970 оны тєсєлд хамрагдах хїмїїсийн сонголт нь эмэгтэйчїїдийг оруулаагїй бєгєєд нэмэлт таамаглалгїйгээр энэ судалгаанд эмэгтэйчїїдийн цэргийн їйлчилгээний їр нєлєєний талаар юу ÷ хэлэхгїй. Эмчилгээ, үр дагаврыг хэрхэн тодорхойлох талаар шийдвэр гаргах нь чухал юм. Жишээлбэл, ашиг сонирхлын төлөө тэмцэх нь цэргийн алба хаах, дайны талбарт үйлчлэхэд чиглэгдэх үү? Сонирхлын үр дүн нь орлого эсвэл ажлын сэтгэл ханамжтай байх уу? Эцэст нь, нэгжийн сонголт, эмчилгээ, үр дүнгийн сонголтыг судалгааны шинжлэх ухаан, бодлогын зорилгод тулгуурлана.
Нэгж, эмчилгээ, боломжит үр дүнгийн сонголтоор \(i\) , \(\tau_i\) хүн дээрх эмчилгээний үр нөлөө нь
\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]
Өөрөөр хэлбэл, бид хэр их хүн харьцуулах \(i\) их хүн хэрхэн үйлчилж дараа нь олсон байсан \(i\) үйлчлэх ямар олсон байсан. Надад адилхан 2.1 нь учир шалтгааны үр нөлөөг тодорхойлох хамгийн тод арга бөгөөд хэдийгээр маш энгийн боловч энэхүү тогтолцоо нь олон чухал, сонирхолтой арга замаар түгээмэл болж байна (Imbens and Rubin 2015) .
Боломжит үр дагаварын хамрах хүрээг ашиглахдаа би бүх нэгжид болзошгүй үр дүн болон эмчилгээний үр нөлөөг харуулсан хүснэгтийг бичихэд тустай байдаг (хүснэгт 2.5). Хэрэв та ийм судалгааг ийм байдлаар төсөөлж чадахгүй бол таны нэгжийн тодорхойлолт, эмчилгээ, боломжит үр дүнгийн тодорхойлолтод илүү нарийвчлалтай байх хэрэгтэй.
| Хүн | Эмчилгээний нөхцөл дэх орлого | Хяналтын нөхцөл дэх орлого | Эмчилгээний үр нөлөө |
|---|---|---|---|
| 1 | \(Y_1(1)\) | \(Y_1(0)\) | \(\tau_1\) |
| 2 | \(Y_2(1)\) | \(Y_2(0)\) | \(\tau_2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | \(Y_N(0)\) | \(\tau_N\) |
| Дундаж утга | \(\bar{Y}(1)\) | \(\bar{Y}(0)\) | \(\bar{\tau}\) |
Гэвч энэ аргаар учирсан шалтгааныг тодорхойлохдоо бид асуудалтай тулгардаг. Бараг бүх тохиолдолд бид боломжит үр дагаврыг ажиглаж чадахгүй. Өөрөөр хэлбэл, үйлчилдэг эсвэл үйлчилдэггүй нэг хүн. Тиймээс бид боломжит үр дагаврын нэгийг ажиглавал \(Y_i(1)\) эсвэл \(Y_i(0)\) -Гэвч хоёулаа биш. Боломжит үр дүнг хоёуланг нь ажиглах боломжгүй байдал нь Holland (1986) нь гол шалтгаан болж байгаа юм.
Аз болоход, бид судалгаа хийж байхдаа зөвхөн нэг хүн байдаггүй. Харин бидэнд олон хүмүүс байгаа бөгөөд энэ нь үндэслэлтэй дүгнэлтний үндэслэлийг тойрсон замыг санал болгодог. Хувь хүний түвшинд эмчилгээний үр нөлөөг тооцоолохын оронд бид бүх нэгжийн эмчилгээний дундаж үр дүнг тооцож болно:
\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]
Энэ тэгшитгэлийг \(\tau_i\) -ээр илэрхийлэх боломжтой хэвээр байгаа боловч зарим алгебрт ( Gerber and Green (2012) -ийн тэгшитгэлээс 2.8
\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]
Энэ нь бид эмчилгээг дор хүн амын дундаж үр дүнг үнэлэх боломжтой бол (харуулж байна \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ба хяналтын дор хүн амын дундаж үр дүн () \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), дараа нь эмчилгээний үр нөлөөг тооцоолох боломжтой.
Одоо би үнэлэхийг хичээж байгаа бидний тооцоо, тооцооллыг тодорхойлсон юм. Үүнийг үнэндээ яаж үнэлэх вэ гэдгийг эргэцүүлэх болно. Энд бид хүн бүрт гарч болох боломжит үр дүнг зөвхөн ажиглаж байгаа асуудалд шууд ханддаг. бид \(Y_i(0)\) эсвэл \(Y_i(1)\) (хүснэгт 2.6). Бид үйлчилдэггүй хүмүүсийн олсон орлогыг харьцуулах замаар эмчилгээний дундаж үр нөлөөг тооцоолж болно:
\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]
where \(N_t\) ба \(N_c\) нь эмчилгээний болон хяналтын нөхцөлд байгаа хүмүүсийн тоо юм. Энэ арга нь эмчилгээ даалгавар боломжит үр дүнг бие даасан бол сайн ажиллах болно, нөхцөл нь заримдаа ignorability гэж нэрлэдэг. Харамсалтай нь туршилт хийгдээгүй тохиолдолд мэдэхгүй байдал нь ихэвчлэн хангагддаггүй бөгөөд энэ нь тэгшитгэл дэх тооцоологч гэсэн үг юм. 2.4 сайн тооцоо гаргахгүй. Үүнийг бодох нэг арга бол эмчилгээний санамсаргүй хуваарилалт байхгүй бол тэгш байдал. 2.4 нь таалагдсантай харьцуулаагүй юм. Энэ нь янз бүрийн хүмүүсийн орлогыг харьцуулж байгаа юм. Эсвэл эмчилгээг санамсаргүй хуваарилалгүйгээр арай өөрөөр илэрхийлсэн бол эмчилгээний хуваарилалт нь боломжит үр дагавартай холбоотой байж болох юм.
4-р бүлэгт санамсаргүй түүвэрлэсэн туршилтууд нь судлаачид учир шалтгааны тооцоог хийхэд хэрхэн тусалж болох талаар тайлбарлах болно. Судлаачид сугалааны төсөл гэх мэт байгалийн туршилтуудын давуу талыг хэрхэн ашиглах талаар тайлбарлах болно.
| Хүн | Эмчилгээний нөхцөл дэх орлого | Хяналтын нөхцөл дэх орлого | Эмчилгээний үр нөлөө |
|---|---|---|---|
| 1 | ? | \(Y_1(0)\) | ? |
| 2 | \(Y_2(1)\) | ? | ? |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | ? | ? |
| Дундаж утга | ? | ? | ? |
Байгалийн туршилт
Туршилт хийхгүйгээр шалтгааны тооцоолол хийх нэг арга бол таньд зориулж санамсаргүй эмчилгээ хийлгэсэн дэлхийд тохиолдож буй зүйлүүдийг хайх явдал юм. Энэ аргыг байгалийн туршилт гэж нэрлэдэг. Харамсалтай нь, байгаль орчин нь сонирхож буй хүнийг хүссэн эмчилгээг санамсаргүй байдлаар хүргэдэггүй. Гэвч заримдаа байгаль нь холбогдох эмчилгээг санамсаргүй байдлаар хүргэдэг. Ялангуяа анхан шатны эмчилгээг хүлээн авахад нь туслах хоёрдогч эмчилгээ байгаа тохиолдолд би авч үзье. Жишээ нь, төсөлд цэргийн алба хааж байсан зарим анхан шатны эмчилгээг авахад зарим хүмүүсийг санамсаргүй байдлаар оношилсон хоёрдогч эмчилгээ гэж үзэж болно. Энэ загварыг заримдаа урамшууллын загвар гэж нэрлэдэг. Мөн энэ нөхцлийг зохицуулахын тулд шинжилгээний аргыг заримдаа instrumental хувьсагч гэж нэрлэдэг. Энэ нөхцөлд зарим таамаглал бүхий судлаачид тухайн нэгжийн тодорхой дэд бүлэгт анхан шатны эмчилгээний үр нөлөөний талаар суралцах урамшууллыг ашиглаж болно.
Хоёр янзын эмчилгээ, урамшуулал, анхан шатны боловсруулалтыг зохицуулахын тулд бид шинэ тэмдэглэгээ хэрэгтэй. Зарим хүмүүсийг санамсаргүйгээр бэлтгэсэн ( \(Z_i = 1\) ) эсвэл боловсруулаагүй ( \(Z_i = 0\) ); Энэ нөхцөлд \(Z_i\) заримдаа багаж гэж нэрлэдэг.
\(Z_i = 1, W_i = 1\) зарим нь ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) ажиллаж байсан ба зарим нь ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) ) байсан. Үүнтэй адилаар, боловсруулаагүй байсан хүмүүсийн зарим нь ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) ажиллаж байсан ба зарим нь \(Z_i = 0, W_i = 0\) . Хүн бүрт гарч болох үр дүнг урамшуулал болон эмчилгээний аль алиных нь статусыг харуулахын тулд өргөжүүлж болно. Жишээ нь \(Y(1, W_i(1))\) нь боловсруулсан бол \(i\) нь \(W_i(1)\) бол түүний үйлчилгээний статус юм. Цаашлаад бид хүн амыг дөрвөн бүлэгт хувааж болно. Үүнд: гэгээрүүлэгч, хэзээ ч үл хүлээн авагч, хамгаалагч, байнга хүлээн авагч (хүснэгт 2.7).
| Төрөл | Төсөл боловсруулсан бол үйлчилгээ | Дизайн биш бол үйлчилгээ |
|---|---|---|
| Нийлүүлэгчид | Тийм, \(W_i(Z_i=1) = 1\) | Үгүй, \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| Хэзээ ч үгүй | Үгүй, \(W_i(Z_i=1) = 0\) | Үгүй, \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| Шүүгч нар | Үгүй, \(W_i(Z_i=1) = 0\) | Тийм, \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
| Үргэлж авдаг | Тийм, \(W_i(Z_i=1) = 1\) | Тийм, \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
Эмчилгээний үр нөлөөг тооцоолохын өмнө бид цэргийн урамшууллын хоёр үр дүнг тодорхойлж болно (өөрөөр хэлбэл, боловсруулсан). Нэгдүгээрт, бид анхдагч эмчилгээний урамшууллын үр нөлөөг тодорхойлж чадна. Хоёрдугаарт, үр дүнд нь урамшууллын үр нөлөөг тодорхойлж болно. Энэ хоёр үр нөлөөг нэг бүлэг хүмүүс дээр эмчилгээний үр нөлөөг тооцоолохын тулд нэгтгэж болно.
Нэгдүгээрт, эмчилгээний урамшууллын үр нөлөөг \(i\) гэж тодорхойлж болно
\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]
Түүнээс гадна энэ тоо хэмжээг нийт хүн амын тоогоор тодорхойлж болно
\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]
Эцэст нь бид өгөгдлийг ашиглан \(\text{ITT} _{W}\) тооцоолж болно:
\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]
хаана \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) дэмжиж байсан ба хүмүүст эмчилгээ ажиглагдаж түвшин байна \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) юм урамшуулалгүй хүмүүст зориулсан эмчилгээний ажиглагдсан түвшин. \(\text{ITT}_W\) заримдаа шингээлт түвшин гэж нэрлэдэг.
Дараа нь үр дүнг дэмжих урамшууллын үр нөлөөг дараахь байдлаар тодорхойлж болно: \(i\) :
\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]
Түүнээс гадна энэ тоо хэмжээг нийт хүн амын тоогоор тодорхойлж болно
\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]
Эцэст нь бид өгөгдлийг ашиглан \(\text{ITT}_{Y}\) тооцоолж болно:
\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]
\(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) нь урамшуулагдсан хүмүүст зориулсан (жишээ нь, боловсруулсан) болон \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) нь урамшуулалгүй хүмүүст гарсан үр дүн юм.
Эцэст нь, бид сонирхож буй үр нөлөөг анхаарч үзэх болно. Үүнд: анхан шатны эмчилгээний үр дүн (жишээ нь цэргийн алба) үр дүнг (жишээлбэл, орлого) нөлөөлж байна. Харамсалтай нь, энэ бүх үйлчлэлийг бүх нэгжид үнэлэх боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч зарим таамаглалаар судлаачид эмчилгээний үр нөлөөг үнэлдэг (өөрөөр хэлбэл, боловсруулсан бол үйлчлэх хүмүүс, боловсруулаагүй бол үйлчлэхгүй хүмүүс, 2.7-р хүснэгт). Би энэ үнэлгээг нэрлэнэ, дундаж үр дагаварт нөлөөлөх нөлөө (CACE) (энэ нь заримдаа орон нутгийн дундаж эмчилгээний нөлөөг , LATE гэж нэрлэдэг):
\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]
Энд \(G_i\) \(i\) хувь хүний \(G_i\) өгдөг (хүснэгт 2.7-г үзнэ үү) ба \(N_{\text{co}}\) нь эмхэтгэгчийн тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, тэгш байдал 2.11 боловсруулагдсан даалгаврын ашиглагчийг харьцуулах \(Y_i(1, W_i(1))\) болон боловсруулагдаагүй \(Y_i(0, W_i(0))\) . Тэгш хэм. 2.11 ажиглагдсан өгөгдлөөс тооцоолоход хэцүү байдаг. Учир нь зөвхөн ажигласан өгөгдлийг ашиглан өгөгдлүүдийг тодорхойлох боломжгүй (хэн нэг нь дагаж мөрдөж байгаа эсэхийг мэдэхийн тулд төсөл боловсруулж байгаа эсэх, төсөл боловсруулаагүй тохиолдолд үйлчилсэн эсэхийг ажиглах хэрэгтэй).
Хэрвээ ямар нэгэн эвлэрүүлэгч байгаа бол гурван нэмэлт таамаглалыг гаргаж өгснөөр CACE-ийг ажигласан өгөгдлөөс тооцоолж болно. Нэгдүгээрт, эмчилгээний даалгавар нь санамсаргүй байна гэж үзэх хэрэгтэй. Сугалааны төслийг боловсруулахад энэ нь үндэслэлтэй юм. Гэсэн хэдий ч байгалийн туршилтууд нь физик тохиолдлууд дээр тулгуурлаагүй зарим нөхцөлд энэ таамаглал илүү төвөгтэй байж магадгүй юм. Хоёрдугаарт, тэдгээр нь ямар ч хамгаалагчгүй гэж үздэг (энэ таамаглалыг заримдаа монотоникийн төсөөлөл гэж нэрлэдэг). Тєслийн хїрээнд тєсєл боловсруулагдаагїй, їйлчилгээ їзїїлэхгїй бол цєєн тооны хїмїїс тєсєл боловсруулагдаагїй тохиолдолд їйлчлэхгїй гэж їзэж болно. Гуравдугаарт, эцсийн эцэст хасах хязгаарлалт гэж нэрлэгддэг хамгийн чухал таамаглал ирдэг. Зөвшөөрлийн хязгаарлалтаар бол эмчилгээний даалгаврын бүх үр нөлөөг эмчилгээний үр дүнгээр дамжуулна гэж үзэх ёстой. Өөрөөр хэлбэл үр дүнг урамшуулах шууд үр нөлөөгүй гэж үзэх хэрэгтэй. Жишээ нь, сугалааны төслийг жишээ болгон, цэргийн төсөв нь цэргийн алба хааж байгаагаас бусад орлогод нөлөө үзүүлэхгүй гэж үзвэл (зураг 2.11). Жишээлбэл, ажилд орохоос зайлсхийхийн тулд сургууль дээр илүү их цаг зарцуулсан эсвэл ажил олгогчид төлөвлөсөн хүмүүсийг хөлслөх магадлал багатай тохиолдолд хасах хязгаарлалтыг зөрчиж болно.
Зураг 2.11: Зөвшөөрөгдөх хязгаарлалт нь урамшуулал (сугалааны төсөл) зөвхөн эмчилгээний (цэргийн алба) дамжуулан үр дүн (орлого) -д нөлөө үзүүлэхийг шаарддаг. Жишээ нь, жишээ нь, ажилд орохоос зайлсхийхийн тулд сургууль дээр илүү их цаг зарцуулсан бөгөөд сургуульд сурч байгаа цаг хугацаа нь өндөр орлоготой болсон тохиолдолд хасах хязгаарлалтыг зөрчиж болно.
Хэрэв эдгээр гурван нөхцөл байдал (эмчилгээнд санамсаргүй хуваарилах, ямар ч хамгаалагчгүй, хасах хязгаарлалт) байвал дараа нь биелнэ
\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]
Тиймээс бид CACE-ийг тооцоолж болно:
\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]
CACE-ийн тухай бодох нэг арга бол урамшуулал болон урамшуулалгүй хүмүүсийн хоорондын үр дүнгийн ялгаа юм.
Санаж байхын тулд хоёр чухал анхаарах зүйл байдаг. Нэгдїгээрт, хасах хязгаарлалт нь хїчтэй таамаглал бєгєєд энэ нь тухайн тохиолдлоос шалтгаалан їндэслэлтэй байх ёстой бєгєєд энэ нь байнга сэдэвчилсэн талбайн туршлага шаарддаг. Зөвшөөрлийн хязгаарлалт нь урамшууллын санамсаргүй байдлыг зөвтгөх боломжгүй юм. Хоёрдугаарт, эмчилгээний үр дүнд нөлөөлөх нь эмчилгээний үр дүнд бага нөлөө үзүүлдэг багаж хэрэгслийн хувьсах шинж чанартай шинжилгээнд нийтлэг тохиолддог сорилт юм ( \(\text{ITT}_W\) нь жижиг). Үүнийг сул багаж гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь янз бүрийн асуудалд хүргэдэг (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) . \(\widehat{\text{CACE}}\) нь \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) _Y \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) -ын жижиг алдаануудад мэдрэмтгий байж болно. хасах хязгаарлалтыг зөрчих - учир нь эдгээр алдаа нь \(\widehat{\text{ITT}_W}\) (2.13-р зүйлийг үз). Хэрвээ байгалийн жамаар эмчилдэг эмчилгээ нь таны асуусан эмчилгээнд ихээхэн нөлөө үзүүлэхгүй бол эмчилгээний талаар сурахад хэцүү байх болно.
Энэ хэлэлцүүлгийн илүү албан ёсны хувилбарыг авахын тулд Imbens and Rubin (2015) 23, 24-р бүлгийг үзнэ үү. Хэрэглээний хувьсагчдын эконометрикийн уламжлалт аргыг гол төлөв үр дагавар биш харин тэгшитгэлийг тооцоолох байдлаар илэрхийлдэг. Бусад үзэл баримтлалын талаар танилцуулах зорилгоор Angrist and Pischke (2009) , хоёр аргын хоорондох харьцуулалтыг үзнэ үү. Imbens and Rubin (2015) 24.6 хэсгээс үзнэ үү. Хэрэглээний хувьсагчдын хандлагыг арай багасган албан ёсны танилцуулгыг Gerber and Green (2012) 6-р бүлэгт үзүүлэв. Зөвшөөрлийн хязгаарлалтыг илүү дэлгэрэнгүйг D. Jones (2015) үзнэ үү. Aronow and Carnegie (2013) CACE гэхээсээ илүү ATE-ийг үнэлэхэд ашиглах нэмэлт таамаглалуудыг тайлбарлав. Байгалийн туршилтыг хэрхэн тайлбарлахад төвөгтэй байж болох талаар Sekhon and Titiunik (2012) үзнэ үү. Байгалийн туршилтыг ерөнхийд нь танилцуулахын тулд зөвхөн багажийн хувьсах хэмжигдэхүүнээс гадна регрессийн тасалдал гэх мэт загваруудыг багтаадаг- Dunning (2012) үзнэ үү.
