Fanamarihana matematika
Amin'ity appendise ity dia hamintina hevitra sasantsasany aho mikasika ny fampidiran-kevitra ara-pahalalana avy amin'ny angon-drakitra tsy misy fanandramana amin'ny endrika matematika. Misy fomba roa lehibe: ny rafitry ny sehatra mahazatra, izay tena mifandray amin'i Judea Pearl sy ireo mpiara-miasa, ary ny rafitra mety ho vokatra, izay tena mifandray amin'i Donald Rubin sy ireo mpiara-miasa aminy. Pearl, Glymour, and Jewell (2016) aho satria mifandray akaiky kokoa amin'ny hevitra ao amin'ny matematika ao amin'ny faran'ny toko faha-3 sy faha-4. Raha te hahalala misimisy kokoa momba ny rafi- Pearl, Glymour, and Jewell (2016) aho, dia manoro an'i Pearl, Glymour, and Jewell (2016) ) ary Pearl (2009) (fandrosoana). Ho an'ny fitsaboana boky momba ny fampidiran-dresaka izay mampifandray ny mety ho rafitra vokatr'izany sy ny rafitry ny sehatra, dia manoro hevitra an'i Morgan and Winship (2014) .
Ny tanjon'ity appendice ity dia ny hanampy anao hahazo aina amin'ny fampisehoana sy ny endriky ny mety ho vokatra nentim-paharazana mba hahafahanao miditra amin'ny sasany amin'ireo fitaovana ara-teknika kokoa voasoratra ato amin'ity lohahevitra ity. Voalohany, hilazalaza ny mety ho vokatra azo atao aho. Avy eo, hampiasaiko aho mba hiresaka bebe kokoa momba ny fanandramana natoraly toy ny Angrist (1990) mikasika ny vokatry ny asa fanompoana miaramila. Ity appendice ity dia manintona mafy ny Imbens and Rubin (2015) .
Ny rafitra vokatra mety
Ny singa fototra mety ho vokatra dia misy singa fototra telo: singa , fitsaboana ary vokatra mety . Mba hampisehoana ireo singa ireo, andeha hodinihintsika ny dika mitovy amin'ny fanontaniana napetraky ny Angrist (1990) : Inona no vokatry ny asa fanompoana amin'ny raharaha miaramila? Amin'ity tranga ity, azontsika atao ny mamaritra ireo singa ireo ho olona azo alaina ho an'ny tetikasa 1970 any Etazonia, ary afaka mampifandanja ireto olona ireto amin'ny \(i = 1, \ldots, N\) . Ny fitsaboana amin'io tranga io dia mety ho "manompo ao amin'ny tafika" na "tsy manompo amin'ny tafika." Hiantso ireo fitsaboana sy fitsaboana ireo aho ary hanoratra \(W_i = 1\) raha olona \(i\) dia eo amin'ny toetry ny fitsaboana ary \(W_i = 0\) raha ny olona \(i\) dia eo ambany fitantanana. Farany, ny mety ho vokatra mety dia sarotra kokoa noho ny eritreritra satria misy ny "mety"; zavatra izay mety nitranga. Ho an'ny olona tsirairay mahazo alalana amin'ny drafitra 1970, azontsika an-tsaina ny habetsaky ny vola azon'izy ireo tamin'ny taona 1978 raha toa ka nanompo tao amin'ny tafika izy ireo, izay hiantsoiko \(Y_i(1)\) , ary ny vola izay azony 1978 raha tsy nanompo tao amin'ny tafika izy ireo, izay hiantsoiko \(Y_i(0)\) . Ao amin'ny \(Y_i(1)\) mety ho vokatra, \(Y_i(1)\) ary \(Y_i(0)\) dia heverina ho marim-pototra, raha \(W_i\) dia fari-pitsipi-dàlana.
Ny fisafidianana ny singa, fitsaboana ary ny vokatra dia manakiana satria mamaritra izay mety-ary tsy afaka ny hianatra avy amin'ny fianarana. Ny safidin'ny sokajy-olona nahazo alalana tamin'ny drafitra 1970-dia tsy ahitana ny vehivavy, ary noho izany tsy misy hevitra hafa, ity fianarana ity dia tsy hilaza amintsika na inona na inona momba ny fiantraikan'ny asa fanompoana miaramila amin'ny vehivavy. Ny fanapahan-kevitra momba ny fomba famaritana ny fitsaboana sy ny vokatra dia zava-dehibe koa. Ohatra, tokony tokony hifantoka amin'ny fanompoana ao amin'ny tafika ve ny fitsaboana ny fahalianana sa ny ady? Tokony hahafa-po na hahafa-po amin'ny asa ve ny vokatr'izany? Farany, ny fisafidianana ny singa, fitsaboana ary ny vokatra dia tokony hifehezan'ny tanjona ara-tsiantifika sy politika eo amin'ny fianarana.
Noho ny safidy ataon'ireo singa, fitsaboana ary mety ho vokatra, ny vokatra azo avy amin'ny fitsaboana amin'ny olona \(i\) , \(\tau_i\) , dia
\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]
Amin'ny teny hafa, dia mampitaha tena olona \(i\) ho mendrika rehefa manompo ny fomba olona be \(i\) ho tsy mendrika ny fanompoana. Ho ahy, eq. 2.1 dia fomba mazava indrindra hamaritana ny vokatra miteraka, ary na dia tena tsotra aza, io rafitra io dia mitodika amin'ny azo tsapain-tanana amin'ny lafiny manan-danja sy mahaliana (Imbens and Rubin 2015) .
Rehefa mampiasa ny rafitra vokatra mety dia matetika aho no manampy amin'ny fanoratana latabatra mampiseho ny vokatra mety sy ny vokatra entina ho an'ny singa rehetra (tabilao 2.5). Raha tsy azonao an-tsaina ny latabatra tahaka izany ho an'ny fianaranao, dia tokony ho ampy kokoa ny famaritana ny sokajinao, ny fitsaboana, ary ny vokatra mety aminao.
| olona | Fiantohana amin'ny fitsaboana | Fiantohana eo amin'ny fitantanana | Ny vokatra fitandremana |
|---|---|---|---|
| 1 | \(Y_1(1)\) | \(Y_1(0)\) | \(\tau_1\) |
| 2 | \(Y_2(1)\) | \(Y_2(0)\) | \(\tau_2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | \(Y_N(0)\) | \(\tau_N\) |
| midika | \(\bar{Y}(1)\) | \(\bar{Y}(0)\) | \(\bar{\tau}\) |
Rehefa mamaritra ny vokatra miteraka amin'io fomba io anefa isika, dia mihazakazaka ho olana. Amin'ny ankamaroan'ny tranga rehetra, tsy mahazo mijery ny vokatra mety isika. Izany hoe, olona manokana na nanompo na tsy nanompo. Noho izany, hitanay ny iray amin'ireo mety ho vokatr'izany- \(Y_i(1)\) na \(Y_i(0)\) -na izy roa. Ny tsy fahafahana mitazona ny vokatra mety amin'ny vokatra mety dia olana lehibe iray izay nantsoin'i Holland (1986) azy io ny fototry ny olana momba ny fampidiran-kery .
Soa ihany, rehefa manao fikarohana isika dia tsy manana olona iray fotsiny; Manana olona marobe izahay, ary manolotra fomba iray manodidina ny olana fototra momba ny fampidiran-kery. Raha tokony hanandrana ny haminavina ny fiantraikan'ny taratra tsirairay, dia azontsika atao ny maminavina ny fiantraikan'ny fitsaboana amin'ny singa rehetra:
\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]
Ity famelabelarana ity dia mbola maneho ny momba ny \(\tau_i\) , izay tsy azo jerena, fa amin'ny algebra (2.8 amin'ny Gerber and Green (2012) ),
\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]
Midika izany fa raha afaka Tombanan'ny ny mponina eo ho eo ny vokatra eo ambany fitsaboana ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) sy ny mponina eo ho eo ny vokatra eo ambany fanaraha-maso ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), dia azontsika atao ny manombatombana ny fiantraikan'ny fitsaboana amin'ny ankapobeny, na dia tsy manombantombana ny vokatry ny fitsaboana ho an'ny olona manokana aza.
Amin'izao fotoana izao no namariparitako ny fanombatombana-ny zavatra tadiavinay hofanina-Izaho dia hitodika amin'ny fomba azonay tombanana amin'ny data. Ary eto dia mihazakazaka mivantana ny olana isika ka mahita ny iray amin'ireo mety ho vokatr'izany ho an'ny olona tsirairay; Hitanay ny \(Y_i(0)\) na \(Y_i(1)\) (latabatra 2.6). Azontsika atao ny manombatombana ny fiantraikan'ny fitsaboana amin'ny alàlan'ny fampitahana ny vidin'ny olona izay nanolo-tena ho an'ny olona izay tsy nanompo:
\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]
izay \(N_t\) sy \(N_c\) no isa ny olona ao amin'ny fitsaboana sy ny fepetra fitsaboana. Izany fomba fiasa izany dia tsara raha toa ka tsy miankina amin'ny mety ho vokany ny fandidiana fitsaboana, ny toe-javatra indraindray antsoina hoe tsy mahay miteny . Indrisy anefa, raha tsy misy ny fanandramana dia tsy mahafa-po ny tsy fahafantarana fa ny tsy fahampiana dia midika izany fa ny mpizara amin'ny eq. 2.4 dia tsy mety hanome tombantombana tsara. Ny fomba iray hieritreretana azy dia amin'ny tsy fisian'ny asa an-tsoratra amin'ny fitsaboana, eq. 2.4 dia tsy mampitaha ny toy izany; Mampitaha ny karaman'ny karazan'olona samihafa izany. Na koa misy fahasamihafana hafa, raha tsy misy ny fikarakarana fitsaboana, dia azo ampiharina amin'ny mety ho vokatra ny fametrahana fitsaboana.
Ao amin'ny toko faha-4 dia hamaritra ny fanandramana mifehy ny fakantsary izay afaka manampy ireo mpikaroka hanao tombana azo antoka ny mpikaroka, ary eto dia hamaritra ny fomba ahafahan'ny mpikaroka manararaotra ny fanandramana voajanahary, toy ny lottery.
| olona | Fiantohana amin'ny fitsaboana | Fiantohana eo amin'ny fitantanana | Ny vokatra fitandremana |
|---|---|---|---|
| 1 | ? | \(Y_1(0)\) | ? |
| 2 | \(Y_2(1)\) | ? | ? |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | ? | ? |
| midika | ? | ? | ? |
Fanandramana voajanahary
Fomba iray hanaovana fanombanana tsy ara-dalàna raha tsy mitantana fanandramana ny mitady zavatra mitranga eto amin'izao tontolo izao izay nomena fitsaboana anao. Izany fomba fijery izany dia antsoina hoe fanandramana voajanahary . Amin'ny toe-javatra maro, indrisy, ny natiora dia tsy manome ny fitsaboana tiany ho an'ny mponina mahaliana. Indraindray, ny karazam-panafody dia manome fanafody mifanaraka aminy. Amin'ny ankapobeny, heveriko ny tranga izay misy fitsaboana hafa izay mamporisika ny olona handray ny fitsaboana voalohany . Ohatra, ny tolo-dalàna dia azo raisina ho fitsaboana nomena an-tsitrapo izay namporisika ny olona sasany handray ny fitsaboana voalohany, izay nanompo tao amin'ny tafika. Ity fombafomba ity dia antsoina indraindray fampaherezana . Ary ny fomba fanadihadiana izay hilazako handamina ity toe-javatra ity dia indraindray antsoina hoe variables indices . Amin'io toe-javatra io, miaraka amin'ny hevitra sasantsasany, ireo mpikaroka dia afaka mampiasa ny famporisihana hianatra momba ny fiantraikan'ny fitsaboana voalohany amin'ny sehatra iray manokana.
Mba hiatrehana ireo fitsaboana roa isan-karazany-ny famporisihana sy ny fitsaboana voalohany - dia mila fampahalalana vaovao isika. Aoka hatao hoe misy olona maromaro \(Z_i = 1\) ( \(Z_i = 1\) ) na tsy natsangana ( \(Z_i = 0\) ); amin'ny toe-javatra ity, \(Z_i\) indraindray antsoina hoe fitaovana.
Anisan'ireo izay nomanina, ny sasany dia nanompo ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) ary ny sasany dia tsy ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) ). Toy izany koa, anisan'ireo tsy nomanina, ny sasany dia nanompo ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) ary ny sasany dia tsy ( \(Z_i = 0, W_i = 0\) ). Ny vokatra mety ho an'ny olona tsirairay dia azo zaraina izao mba hampisehoana ny sata ho an'ny fampaherezana sy ny fitsaboana. Ohatra, aoka ny \(Y(1, W_i(1))\) dia ny karaman'ny olona \(i\) raha toa ka nokasaina izy, aiza \(W_i(1)\) ny sata ho an'ny serivisy raha nosoloina. Ankoatra izany, azontsika atao ny mizara ny vahoaka ho vondrona efatra: mpiangaly mpanafika, tsy mandray, mpikomy, ary mpanome mandrakariva (latabatra 2.7).
| Type | Asa fanompoana raha nosoloina | Asa fanompoana raha tsy nomanina |
|---|---|---|
| Compliers | Eny, \(W_i(Z_i=1) = 1\) | Tsia, \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| Na oviana na oviana-pahaizana isika | Tsia, \(W_i(Z_i=1) = 0\) | Tsia, \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| Defiers | Tsia, \(W_i(Z_i=1) = 0\) | Eny, \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
| Foana-pahaizana isika | Eny, \(W_i(Z_i=1) = 1\) | Eny, \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
Alohan'ny hiresahantsika momba ny fiantraikan'ny fitsaboana (izany hoe, ny fanompoana miaramila), dia afaka mamaritra ny vokatra roa avy amin'ny famporisihana izahay (izany hoe ny fananganana). Voalohany, azontsika atao ny mamaritra ny vokatry ny famporisihana ny fitsaboana voalohany. Faharoa, afaka mamaritra ny vokatry ny famporisihana ny vokatra isika. Hiharihary fa ireo vokatra roa ireo dia azo ampitaina mba hanomezana tombanana ny fiantraikan'ny fitsaboana amin'ny vondron'olona manokana.
Voalohany, ny vokatry ny famporisihana ny fitsaboana dia azo faritana ho an'ny olona \(i\) as
\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]
Ankoatra izany, io habetsahana io dia azo faritana amin'ny vahoaka manontolo
\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]
Farany, afaka manombatombana ny \(\text{ITT} _{W}\) mampiasa data:
\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]
izay \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) no nandinika tahan'ny ny fitsaboana ho an'ireo izay Nampirisihina sy \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) dia Ny tahan'ny fitsaboana ho an'ireo izay tsy nampahery. \(\text{ITT}_W\) dia indraindray antsoina hoe ny taham-pidirana .
Avy eo, ny vokatry ny famporisihana ny vokatra dia azo faritana ho an'ny olona \(i\) tahaka ny:
\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]
Ankoatra izany, io habetsahana io dia azo faritana amin'ny vahoaka manontolo
\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]
Farany, azontsika atao ny manombatombana \(\text{ITT}_{Y}\) amin'ny fampiasana angona:
\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]
Ny toerana \(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) dia ny vokatra voamarina (ohatra ny vola) ho an'ireo izay namporisihina (ohatra, noforonina) ary \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) no vokatra voamarina ho an'ireo tsy nampahery.
Farany, mampifantoka ny saintsika amin'ny fiantraikan'ny fahalianana isika: ny vokatry ny fitsaboana voalohany (ohatra ny fanompoana miaramila) eo amin'ny vokatra (ohatra ny vola). Mampalahelo anefa fa tsy azo atao, amin'ny ankapobeny, ny manombantombana io vokatra io amin'ny sehatra rehetra. Na izany aza, amin'ny hevitra sasantsasany, ireo mpikaroka dia afaka manombana ny fiantraikan'ny fitsaboana amin'ny mpikirakira (izany hoe olona izay hanompo raha efa voaomana sy olona izay tsy hanompo raha toa ka tsy voaisa, tabilao 2.7). Hiantso ity fanombatombanana ity ny vokatra azo avy amin'ny mpitsoa-ponenana (CACE) (izay indraindray antsoina hoe valin'ny fitsaboana eo an-toerana , LATE):
\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]
izay \(G_i\) donates ny vondrona ny olona \(i\) (jereo ny latabatra 2.7), ary \(N_{\text{co}}\) no isan'ny compliers. Amin'ny teny hafa, eq. 2.11 dia mampitaha ny vidin'ny mpikamabana izay natsangana \(Y_i(1, W_i(1))\) ary tsy natontana \(Y_i(0, W_i(0))\) . Ny fiheverana amin'ny eq. 2.11 dia toa sarotra ny manombatombana ireo tahirin-kevitra voamarina satria tsy azo atao ny mamantatra ireo mpikirakira amin'ny fampiasana angona voatondro fotsiny (hahafantarana raha misy olona mitaraina fa mila mijery na manompo rehefa tapitra izy ary manompo rehefa tsy vita).
Mipoitra izany - somary mahagaga-raha misy mpikirakira iray, avy eo dia omena iray ny hevitry ny telo hafa, azo atao ny manombatombana ny CACE amin'ny angona voatondro. Voalohany, ny iray dia tokony hihevitra fa ny fandefasana ny fitsaboana dia mahasintona. Amin'ny tranga momba ny loteria dia azo ekena izany. Na izany aza, amin'ny toe-javatra vitsivitsy izay tsy ahitan'ny fanandramana voajanahary amin'ny fisintahana ara-batana dia mety ho sarotra kokoa izany. Faharoa, tsy maintsy misy ny mihevitra fa tsy mpikomy izy ireo (io fomba fijery io indraindray dia antsoina hoe fanombohana monotonicity). Ao anatin'ny tontolon'ny drafitra dia toa sahiran-kevitra ny mihevitra fa vitsy dia vitsy ny olona izay tsy hanompo raha toa ka vita ary hanompo raha tsy voaisa. Fahatelo, ary farany, dia tonga ny hevi-dālana manan-danja indrindra izay antsoina hoe faneriterena manafina . Eo ambanin'ny faneriterena manafoana, tsy maintsy misy ny mihevitra fa ny vokatry ny fitsaboana rehetra dia alefa amin'ny fitsaboana azy. Raha lazaina amin'ny teny hafa, ny iray dia mihevitra fa tsy misy fiantraikany mivantana amin'ny famporisihana ny vokatra. Raha ny loteria, ohatra, dia mila mihevitra fa tsy misy fiantraikany amin'ny vola hafa noho ny amin'ny alàlan'ny asa fanompoana miaramila (figadrana 2.11). Azo atao ny manitsakitsaka ny famerana ny fanavakavahana raha toa ka misy olona izay nokaramaina nialana fotoana bebe kokoa tany am-pianarana mba hisorohana ny asa fanompoana na raha toa ka tsy dia manakarena ireo olona nokaramaina ny mpampiasa.
Figure 2.11: Ny faneriterena manafoana dia mitaky fa ny famporisihana (loka loka) dia misy fiantraikany amin'ny vokatra (vola) amin'ny alàlan'ny fitsaboana (sampan-draharaha miaramila). Azo atao ny manitsakitsaka ny famerana ny fanilikilihana raha toa, ohatra, ny olona nomanina ho nandany fotoana bebe kokoa tany am-pianarana mba hisorohana ny asa fanompoana ary izany dia nitombo avo lenta ny vola miditra an-tsekoly.
Raha toa ireo fepetra telo ireo (fanendrena an-tsitrapo amin'ny fitsaboana, tsy misy mpitsoa-ponenana, ary ny faneriterena manafina) dia hihaona amin'izany
\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]
Izany no ahafahantsika maminavina ny CACE:
\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]
Ny fomba iray hieritreretana ny momba ny CACE dia ny hoe ny fahasamihafana eo amin'ny vokatr'ireo izay namporisihina sy ireo izay tsy namporisihina, nakarina tamin'ny taham-pandrefesana.
Misy fepetra roa manan-danja tokony hotadidinao. Voalohany, ny faneriterena manafintohina dia fiheverana matanjaka, ary tokony hamarinina amin'ny sehatra iray mitranga izany, izay matetika mitaky fahaizana momba ny sehatra. Ny faneriterena manafoana dia tsy azo hamarinina amin'ny famaritana ny fampaherezana. Faharoa, fanamby iray mahazatra mahazatra amin'ny fanadihadin-tsivana an-tsarimihetsika dia tonga rehefa tsy misy fiantraikany amin'ny fikarakarana fitsaboana ny fampaherezana (raha kely dia \(\text{ITT}_W\) ). Antsoina hoe fitaovana malemy io , ary miteraka olana maro izany (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) . Ny fomba iray hieritreretana ny olana amin'ny fitaovana malemy dia ny \(\widehat{\text{CACE}}\) dia mety hahatsapa ny \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) madinika ao amin'ny \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) fanitsakitsahana ny faneriterena ny fanilikilihana - satria ireo toe-javatra ireo dia mihalehibe amin'ny kely \(\widehat{\text{ITT}_W}\) (jereo ny andininy 2.13). Raha toa ka tsy misy fiantraikany goavana amin'ny fitsaboana izay itiavanao ny fitsaboana izay natolotry ny natiora, dia ho sarotra aminao ny hianatra momba ny fitsaboana tianao.
Jereo ny toko 23 sy 24 ao Imbens and Rubin (2015) mba hamoahana an'ity adihevitra ity. Ny fomba fiasa ara-toe-karena nentim-paharazana amin'ny fari-pahaizan'ny fitaovana dia matetika araky ny fijerena ny fitoviana, fa tsy ny mety ho vokatra mety. Ho an'ny fampidirana an'io fomba fijery hafa io dia jereo ny Angrist and Pischke (2009) , ary ho fampitahana ny fomba roa, jereo ny fizarana 24.6 ao Imbens and Rubin (2015) . Ny endrika hafa, tsy dia misy fomban-drafitra amin'ny fomba fanodinana fitaovana dia misy ao amin'ny toko faha-6 amin'ny Gerber and Green (2012) . Raha mila fanazavana bebe kokoa mikasika ny faneriterena manafangona dia jereo ny D. Jones (2015) . Aronow and Carnegie (2013) mamaritra sombin-kevitra hafa azo ampiasaina hanombanana ny ATE fa tsy CACE. Raha mila fanazavana fanampiny momba ny fanandramana natoraly dia mety ho sarotra ny handikana azy, jereo Sekhon and Titiunik (2012) . Ho an'ny fampidirana ankapobeny amin'ny fanandramana ara-boajanahary-izay mihoatra noho ny fomba ambaran'ny fitaovana ampiasaina ihany koa dia ahitana ny endrika toy ny fisintahan'ny tsy fahampian-tsakafo - jereo Dunning (2012) .
