Մաթեմատիկական նշումներ
Այս հավելվածում ես կներկայացնեմ որոշակի գաղափարներ, ոչ մի փորձարարական տվյալներից մի փոքր ավելի մաթեմատիկական ձեւով պատճառահետեւանքային ելք կատարելու մասին: Կան երկու հիմնական մոտեցում `պատճառահետեւանքային գրաֆիկի շրջանակ, որն առավել շատ կապված է Ջուդա Պիրլի եւ գործընկերների հետ եւ հնարավոր արդյունքների շրջանակի հետ, առավել եւս Դոնալդ Ռուբինին եւ գործընկերներին: Ես կներկայացնեմ հնարավոր արդյունքները, քանի որ այն ավելի սերտորեն կապված է մաթեմատիկական նշումների գաղափարների հետ, 3-րդ եւ 4-րդ գլուխների վերջում: Լրացուցիչ տեղեկությունների համար ես խորհուրդ եմ տալիս Pearl, Glymour, and Jewell (2016) (Introductory ) եւ Pearl (2009) (առաջադեմ): Անհրաժեշտ արդյունքների շրջանակն ու պատճառային գրաֆիկի շրջանակները համատեղող պատճառահետեւանքային ելույթների գիրքային երկարամտության բուժման համար ես առաջարկում եմ Morgan and Winship (2014) :
Այս հավելվածի նպատակն է օգնել ձեզ հարմարվել պոտենցիալ արդյունքների ավանդույթի նշանն ու ոճը, որպեսզի կարողանաք անցնել այս թեմայի վրա գրված ավելի շատ տեխնիկական նյութի: Նախ, ես նկարագրում եմ հնարավոր արդյունքները: Այնուհետեւ ես կօգտագործեմ այն, որ հետագայում Angrist (1990) բնական փորձեր, ինչպիսին է Angrist (1990) , Զինվորական ծառայության ազդեցությունը վաստակի վրա: Այս հավելվածը մեծապես ներառում է Imbens and Rubin (2015) :
Հնարավոր արդյունքների շրջանակ
Պոտենցիալ արդյունքների շրջանակն ունի երեք հիմնական տարր ` միավորներ , բուժում եւ հնարավոր արդյունքներ : Այս տարրերը նկարագրելու համար, եկեք Angrist (1990) հարցի ոճավորված տարբերակը Angrist (1990) : Ինչ է նշանակում զինվորական ծառայության ազդեցությունը վաստակի վրա: Այս դեպքում մենք կարող ենք սահմանել այն միավորները, որոնք կարող են լինել ԱՄՆ-ում 1970 թ. Նախագծի համար, եւ մենք կարող ենք այդ մարդկանց համար նշել \(i = 1, \ldots, N\) : Բուժում է այս դեպքում կարող է լինել «ծառայում է բանակում» կամ «ոչ ծառայում է բանակում.« Ես կզանգեմ այդ բուժման եւ վերահսկողության պայմանների, եւ ես պետք է գրեմ \(W_i = 1\) , եթե անձը \(i\) գտնվում է բուժման պայմաններում եւ \(W_i = 0\) եթե անձը \(i\) գտնվում է վերահսկողության վիճակում: Վերջապես, պոտենցիալ արդյունքները մի փոքր ավելի բարդ են, քանի որ դրանք ներառում են «պոտենցիալ» արդյունքներ. բաներ, որոնք կարող էին տեղի ունենալ: 1970 թ. Նախագծի համարժեք յուրաքանչյուր անձի համար մենք կարող ենք պատկերացնել այն գումարը, որը նրանք վաստակել են 1978 թ.-ին, եթե նրանք ծառայեն զինված ուժերում, որոնք կոչում եմ \(Y_i(1)\) եւ այն գումարը, 1978-ին, եթե նրանք ծառայեին զինված ուժերում, որոնք ես կոչելու եմ \(Y_i(0)\) : Պոտենցիալ արդյունքների շրջանակում \(Y_i(1)\) եւ \(Y_i(0)\) համարվում են որոշակի քանակություններ, իսկ \(W_i\) պատահական փոփոխական է:
Բաժանմունքը, բուժումը եւ արդյունքների ընտրությունը շատ կարեւոր է, քանի որ այն սահմանում է, թե ինչ կարող է եւ չի կարող սովորել ուսումնասիրությունից: 1970-ի նախագծին համապատասխանող անձանց ընտրությունը չի ներառում կանանց եւ, հետեւաբար, առանց լրացուցիչ ենթադրությունների, այս ուսումնասիրությունը մեզ ոչինչ չի պատմի կանանց վրա զինվորական ծառայության ազդեցության մասին: Կարեւոր են նաեւ բուժման եւ արդյունքների որոշման վերաբերյալ որոշումներ: Օրինակ, պետք է շահագրգիռ վերաբերմունք դրսեւորվի զինվորական ծառայություն մատուցելու կամ մարտական գործողություններ կատարելու վրա: Եթե շահագրգռվածության արդյունքը վաստակի կամ աշխատանքի բավարարվածության հետեւանք է: Ի վերջո, միավորների ընտրությունը, բուժումը եւ արդյունքները պետք է հանգեցնել հետազոտության գիտական եւ քաղաքական նպատակներին:
Հաշվի առնելով միավորների, բուժման եւ հնարավոր արդյունքների ընտրությունը, բուժման պատճառահետեւանքային ազդեցությունը \(i\) , \(\tau_i\) վրա
\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]
Այլ կերպ ասած, մենք համեմատել, թե որքան մարդը \(i\) կլիներ վաստակել ծառայելուց հետո է, թե որքան մարդը \(i\) կլիներ վաստակել առանց ծառայում: Ինձ, էլ. 2.1-ը պատճառահետեւանքային ազդեցության որոշման պարզագույն եղանակն է, եւ թեեւ չափազանց պարզ է, այս շրջանակն ընդհանրացվում է շատ կարեւոր եւ հետաքրքիր ձեւերով (Imbens and Rubin 2015) :
Պոտենցիալ արդյունքների շրջանակի կիրառմամբ ես հաճախ գտնում եմ, որ օգտակար է գրել սեղան, որը ցույց է տալիս բոլոր հնարավոր միավորները եւ դրանց բուժման հետեւանքները (աղյուսակ 2.5): Եթե դուք չեք կարող պատկերացնել նման սեղան ձեր ուսումնասիրության համար, ապա դուք կարող եք ավելի ճշգրիտ լինել ձեր միավորումների, բուժման եւ հնարավոր արդյունքների ձեր սահմանումների մեջ:
| Անձ | Ծախսերը բուժման վիճակում | Հաշվարկները վերահսկողության վիճակում | Բուժման ազդեցությունը |
|---|---|---|---|
| 1 | \(Y_1(1)\) | \(Y_1(0)\) | \(\tau_1\) |
| 2 | \(Y_2(1)\) | \(Y_2(0)\) | \(\tau_2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | \(Y_N(0)\) | \(\tau_N\) |
| Նկատի ունեմ | \(\bar{Y}(1)\) | \(\bar{Y}(0)\) | \(\bar{\tau}\) |
Այս ձեւով պատճառական ազդեցություն սահմանելով, սակայն, մենք խնդիր ենք դնում: Գրեթե բոլոր դեպքերում մենք չենք կարող դիտարկել ինչպես պոտենցիալ արդյունքները: Այսինքն, կոնկրետ անձը ծառայել էր կամ չի ծառայել: Հետեւաբար, մենք դիտում ենք հնարավոր արդյունքներից մեկը ` \(Y_i(1)\) կամ \(Y_i(0)\) բայց ոչ թե երկուսն էլ: Պոտենցիալի արդյունքների դիտարկման անկարողությունն այնպիսի մեծ խնդիր է, որ Holland (1986) այն անվանեց «Պատճառային ելույթների հիմնարար խնդիր» :
Բարեբախտաբար, երբ մենք հետազոտություններ ենք անում, մենք ընդամենը մեկ մարդու չունենք, Ավելի շուտ, մենք ունենք շատ մարդիկ, եւ սա առաջարկում է ճանապարհ դեպի պատճառային ելակետի հիմնարար խնդիրը: Անհատական մակարդակի բուժման ազդեցությունը գնահատելու փորձի փոխարեն, մենք կարող ենք գնահատել բոլոր բաղադրիչների միջին բուժման ազդեցությունը .
\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]
Այս հավասարումը դեռեւս արտահայտված է \(\tau_i\) , որոնք անսահմանելի են, բայց որոշակի գրադարանների միջոցով (eq 2.8 Gerber and Green (2012) ), մենք ստանում ենք
\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]
Սա ցույց է տալիս, որ եթե մենք կարող ենք գնահատել բնակչության միջին արդյունքը տակ բուժման ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), իսկ բնակչությունը միջին արդյունքը վերահսկողության տակ ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), ապա մենք կարող ենք գնահատել միջին բուժման ազդեցությունը, նույնիսկ առանց որեւէ մարդու համար բուժման ազդեցությունը գնահատելու:
Հիմա, որ ես սահմանել եմ մեր նախագիծը `այն, ինչ մենք փորձում ենք գնահատել, ես դիմում եմ, թե ինչպես կարող ենք իրական արժեքով գնահատել այն: Եվ այստեղ մենք ուղղակիորեն գնում ենք այն խնդիրը, որը մենք դիտարկում ենք միայն յուրաքանչյուր մարդու համար հնարավոր արդյունքներից մեկը: մենք տեսնում ենք կամ \(Y_i(0)\) կամ \(Y_i(1)\) (աղյուսակ 2.6): Մենք կարող ենք գնահատել միջին բուժման ազդեցությունը `համեմատելով մարդկանց եկամուտները, որոնք ծառայել են այն մարդկանց եկամուտներին, որոնք չեն ծառայել.
\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]
որտեղ \(N_t\) եւ \(N_c\) հանդիսանում են բուժման եւ հսկողության պայմաններում մարդկանց թիվը: Այս մոտեցումը լավ կաշխատի, եթե բուժման հանձնարարությունը անկախ լինի հնարավոր արդյունքներից, պայմանը երբեմն անտեղյակ է : Ցավոք, փորձի բացակայության դեպքում անտեղյակությունը հաճախ չի բավարարվում, ինչը նշանակում է, 2.4-ը հավանաբար լավ գնահատական չի տա: Այս մասին մտածելու ձեւերից մեկն այն է, որ բուժման պատահական հանձնարարության բացակայության դեպքում, eq. 2.4 նման չէ նմանության հետ. այն համեմատում է տարբեր տեսակի մարդկանց եկամուտները: Կամ էլ միանգամայն տարբեր էին, առանց ռադիոհաղորդման պատահական հանձնարարության, բուժման բաշխումը, հավանաբար, կապված է հնարավոր արդյունքների հետ:
Գլուխ 4-ում ես նկարագրում եմ, թե ինչպես են randomized- ի վերահսկվող փորձերը կարող են օգնել հետազոտողներին պատճառահետեւանքային գնահատականներ անել, եւ այստեղ ես նկարագրելու եմ, թե ինչպես հետազոտողները կարող են օգտվել բնական փորձարկումներից, ինչպիսիք են վիճակախաղի նախագիծը:
| Անձ | Ծախսերը բուժման վիճակում | Հաշվարկները վերահսկողության վիճակում | Բուժման ազդեցությունը |
|---|---|---|---|
| 1 | Հաճախակի | \(Y_1(0)\) | Հաճախակի |
| 2 | \(Y_2(1)\) | Հաճախակի | Հաճախակի |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | Հաճախակի | Հաճախակի |
| Նկատի ունեմ | Հաճախակի | Հաճախակի | Հաճախակի |
Բնական փորձեր
Միակ մոտեցումը, առանց պատճառաբանության գնահատման կատարելու փորձ կատարելու, փորձ է արվում, որ աշխարհում ինչ-որ բան տեղի ունենա, որը պատահականորեն նշանակում է ձեզ բուժում: Այս մոտեցումը կոչվում է բնական փորձեր : Շատ դեպքերում, ցավոք, բնությունը պատահականորեն չի մատուցում այն բուժումը, որը ցանկանում եք բնակչության հետաքրքրվածության համար: Բայց երբեմն բնությունը պատահականորեն տրամադրում է համապատասխան բուժում: Մասնավորապես, ես կքննարկեմ այն դեպքը, երբ կա մի երկրորդական բուժում, որը խրախուսում է մարդկանց ստանալ առաջնային բուժում : Օրինակ, նախագիծը կարող էր համարվել պատահականորեն նշանակված երկրորդական բուժում, որը ոգեշնչեց որոշ մարդկանց `վերցնել առաջնային բուժումը, որը ծառայում էր զինված ուժերում: Այս դիզայնը երբեմն կոչվում է խրախուսանքի դիզայն : Եվ այս իրավիճակը կարգավորելու համար նկարագրող վերլուծության մեթոդը երբեմն կոչվում է գործիքային փոփոխական : Այս պարագայում, որոշ ենթադրություններով, հետազոտողները կարող են օգտագործել խրախուսանքը `իմանալով առաջնային բուժման ազդեցությունը միավորների որոշակի ենթախմբի վրա:
Որպեսզի կարգավորեն երկու տարբեր բուժում `խրախուսանքը եւ առաջնային վերաբերմունքը, մենք պետք է որոշ նոր նշումներ: Ենթադրենք, որոշ մարդիկ պատահականորեն պատրաստվում են ( \(Z_i = 1\) ) կամ չեն պատրաստվում ( \(Z_i = 0\) ); այս իրավիճակում \(Z_i\) երբեմն կոչվում է գործիք :
Նրանցից \(Z_i = 1, W_i = 1\) ոմանք ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) եւ ոմանք չեն ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) ): Նմանապես, նրանց, ովքեր չեն պատրաստվել, ոմանք ծառայել են ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) եւ ոմանք չեն ( \(Z_i = 0, W_i = 0\) ): Յուրաքանչյուր անձի համար ներուժը կարող է ընդլայնվել `ցույց տալով իրենց կարգավիճակը ինչպես խրախուսանքի, այնպես էլ բուժման համար: Օրինակ, թույլատրեք \(Y(1, W_i(1))\) անձի \(i\) եկամուտը, եթե այն ստեղծվել է, որտեղ \(W_i(1)\) նրա ծառայողական կարգավիճակը, եթե մշակված է: Բացի այդ, մենք կարող ենք բաժանել բնակչությանը չորս խմբերի `compliers, never- takers, defiers եւ մշտապես takers (աղյուսակ 2.7):
| Տիպ | Ծառայություն, եթե պատրաստված է | Ծառայություն, եթե չի պատրաստվում |
|---|---|---|
| Կազմողներ | Այո, \(W_i(Z_i=1) = 1\) | Ոչ, \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| Never-takers | Ոչ, \(W_i(Z_i=1) = 0\) | Ոչ, \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| Defiers | Ոչ, \(W_i(Z_i=1) = 0\) | Այո, \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
| Միշտ `տանողներ | Այո, \(W_i(Z_i=1) = 1\) | Այո, \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
Նախքան քննարկում ենք բուժման ազդեցությունը գնահատելու համար (այսինքն `զինվորական ծառայություն), մենք նախ եւ առաջ կարող ենք սահմանել քաջալերանքի երկու հետեւանք (այսինքն` պատրաստված): Նախ, մենք կարող ենք սահմանել առաջնային բուժման խրախուսանքի ազդեցությունը: Երկրորդ, մենք կարող ենք սահմանել արդյունքի վրա քաջալերանքի ազդեցությունը: Պարզվում է, որ այս երկու հետեւանքները կարող են համակցվել `տրամադրելու որոշակի մարդկանց խմբի բուժման ազդեցությունը:
Նախ, բուժման խրախուսման ազդեցությունը կարող է որոշվել անձի համար \(i\)
\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]
Բացի այդ, այս քանակությունը կարող է սահմանվել ամբողջ բնակչության նկատմամբ
\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]
Վերջապես, մենք կարող ենք գնահատել \(\text{ITT} _{W}\) տվյալները օգտագործելով.
\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]
որտեղ \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) հանդիսանում է խրախուսվածների եւ \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) ովքեր չեն խրախուսվում բուժման դիտարկված մակարդակը: \(\text{ITT}_W\) նաեւ երբեմն կոչվում է ընդունման տոկոսադրույքը :
Հաջորդը, արդյունքների վրա խրախուսանքի ազդեցությունը կարող է սահմանվել անձի համար, \(i\) ինչպես նաեւ `
\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]
Բացի այդ, այս քանակությունը կարող է սահմանվել ամբողջ բնակչության նկատմամբ
\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]
Վերջապես, մենք կարող ենք գնահատել \(\text{ITT}_{Y}\) տվյալները օգտագործելով.
\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]
որտեղ \(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) դիտարկված արդյունքն է (օրինակ, եկամուտներ), ովքեր խրախուսվում են (օրինակ, մշակված) եւ \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) դիտարկված արդյունք է նրանց համար, ովքեր չեն խրախուսվում:
Վերջապես, մենք ուշադրություն ենք դարձնում հետաքրքրության ազդեցությանը `առաջնային բուժման ազդեցությունը (օրինակ` զինվորական ծառայություն) արդյունքների վրա (օրինակ, շահույթ): Ցավոք, ստացվում է, որ չի կարելի ընդհանուր առմամբ գնահատել այդ ազդեցությունը բոլոր ստորաբաժանումների վրա: Այնուամենայնիվ, որոշ ենթադրություններով, հետազոտողները կարող են գնահատել բուժման ազդեցությունը կոմպոզիտորների վրա (այսինքն, այն մարդիկ, ովքեր կծառայեն, եթե մշակվեն, եւ այն մարդիկ, ովքեր չեն ծառայելու, եթե ոչ պատրաստված, աղյուսակ 2.7): Ես այս անվանում եմ կոչում իմաստային միջին պատճառական ազդեցությունը (CACE) (որը նաեւ երբեմն կոչվում է տեղական միջին բուժման ազդեցություն , LATE):
\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]
որտեղ \(G_i\) նվիրաբերում է անձի խումբը \(i\) (տես աղյուսակ 2.7) եւ \(N_{\text{co}}\) հեղինակների թիվը: Այլ կերպ ասած, դ. 2.11-ը համեմատում է \(Y_i(1, W_i(1))\) եկամուտների մասին, որոնք պատրաստված են \(Y_i(1, W_i(1))\) եւ ոչ նախագծված չէ \(Y_i(0, W_i(0))\) : Հաշվետվություն 2.11 կարծես թե դժվար է գնահատել դիտված տվյալներից, քանի որ հնարավոր չէ պարզել կոմպիլյատորները, օգտագործելով միայն դիտված տվյալները (իմանալ, արդյոք որեւէ մեկը բաղադրիչ է, որը պետք է դիտարկի, թե արդյոք նա ծառայել է ծառայելիս, թե արդյոք ծառայել է, թե ոչ, չի պատրաստվել):
Պարզվում է `ինչ-որ չափով զարմանալի է, որ եթե կան կոմպոզիտորներ, ապա տրամադրված է երեք լրացուցիչ ենթադրություններ, հնարավոր է գնահատել CACE- ի գնահատված տվյալները: Նախ, պետք է ենթադրել, որ բուժման հանձնարարականը պատահական է: Վիճակախաղի նախագծի դեպքում դա ողջամիտ է: Այնուամենայնիվ, որոշ պարամետրեր, որտեղ բնական փորձերը չեն վստահում ֆիզիկական ռադիիզիզացիային, այս ենթադրությունը կարող է ավելի խնդրահարույց լինել: Երկրորդը, պետք է ենթադրել, որ դրանք ոչնչացնողներ չեն (այս ենթադրությունը երբեմն կոչվում է նաեւ մոնոտոնիկության ենթադրություն): Նախագծի համատեքստում կարծես խելամիտ է ենթադրել, որ կան շատ քիչ մարդիկ, ովքեր չեն պատրաստվում ծառայել, եթե ծառայեն, եթե չստեղծվեն: Երրորդ, եւ, վերջապես, գալիս է ամենակարեւոր ենթադրությունը, որը կոչվում է բացառություն սահմանափակում : Բացառությամբ սահմանափակման պայմաններում, պետք է ենթադրել, որ բուժման հանձնարարականի ողջ ազդեցությունը անցնում է բուժման միջոցով: Այլ կերպ ասած, պետք է ենթադրել, որ արդյունքների վերաբերյալ քաջալերանքի ուղղակի ազդեցություն չկա: Վիճակախաղի նախագծի դեպքում, օրինակ, պետք է ենթադրել, որ այդ նախագծի կարգավիճակը չի ազդում զինվորական ծառայությունից այլ եկամուտների վրա (նկար 2.11): Բացառությամբ սահմանափակումը կարող էր խախտվել, օրինակ, եթե նախապատրաստված մարդիկ դպրոցում ավելի շատ ժամանակ անցկացրին, ծառայությունից խուսափելու համար, կամ եթե գործատուները ավելի քիչ են վարձել մարդկանց, ովքեր պատրաստվում էին վարձել:
Գծապատկեր 2.11. Բացառությամբ սահմանափակումը պահանջում է, որ խթանումը (լոտոյի նախագիծը) ազդեցություն ունենա արդյունքների (եկամուտների) վրա միայն բուժման (զինվորական ծառայության) միջոցով: Բացառությամբ սահմանափակումները կարող էին խախտվել, օրինակ, եթե նախապատրաստված մարդիկ դպրոցում ավելի շատ ժամանակ անցկացրին, ծառայությունից խուսափելու համար, եւ դպրոցում այս ժամանակահատվածի աճը հանգեցրեց ավելի բարձր եկամուտների:
Եթե այդ երեք վիճակը (բուժման պատահական հանձնարարություն, ոչ defiers եւ բացառման սահմանափակում), ապա
\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]
այնպես որ մենք կարող ենք գնահատել CACE:
\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]
CACE- ի մասին մտածելու միջոցներից մեկն այն է, որ այն տարբերությունն է այն մարդկանց միջեւ, ովքեր խրախուսվում են եւ չեն խրախուսվում, խթանելով գնաճը:
Խուսափելու համար կան երկու կարեւոր նախազգուշացում: Նախ, բացառություն սահմանափակումն ուժեղ ենթադրություն է, եւ այն պետք է հիմնավորված լինի առանձին դեպքերի վրա, ինչը հաճախ պահանջում է ենթակա տարածքային փորձաքննություն: Բացառությամբ սահմանափակումը չի կարող հիմնավորվել խրախուսանքի պատահականության հետ: Երկրորդ, ընդհանուր գործնական մարտահրավեր գործիքային փոփոխական վերլուծության հետ, երբ քաջալերանքը քիչ ազդեցություն է թողնում բուժման կուրսի վրա (երբ \(\text{ITT}_W\) փոքր է): Սա կոչվում է թույլ գործիք , եւ դա հանգեցնում է մի շարք խնդիրների (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) : Թույլ գործիքների հետ կապված խնդիրը մտածելու ձեւերից մեկն այն է, որ \(\widehat{\text{CACE}}\) կարող է զգայուն լինել փոքրիկ կողմնակալությունների համար, \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) բացառությամբ սահմանափակման խախտումների, քանի որ այս կողմնակալությունները մեծացնում են փոքրիկ \(\widehat{\text{ITT}_W}\) (տես `2.13 կետը): Կոպիտ, եթե բնույթը բնորոշող բուժումը մեծ ազդեցություն չի ունենում ձեր վերաբերմունքի վրա, ապա դուք դժվար ժամանակ եք ունենալու ձեր մասին մտածող վերաբերմունքի մասին:
Տեսեք 24-րդ եւ 24-րդ գլուխները Imbens and Rubin (2015) քննարկման ավելի ֆորմալ տարբերակի համար: Ավանդական փոփոխականներին ավանդական էկոնոմիկ մոտեցումը սովորաբար արտահայտվում է հավասարումների գնահատման առումով, ոչ թե հնարավոր արդյունքների: Այս մյուս տեսանկյունից ներածական համար տես Angrist and Pischke (2009) , եւ երկու մոտեցումների միջեւ համեմատությունը, տես Imbens and Rubin (2015) ի 24.6 բաժինը Imbens and Rubin (2015) : Այլընտրանքային, գործիքային փոփոխականների մոտեցման մի փոքր պակաս ձեւական ներկայացում է տրվում Gerber and Green (2012) 6-րդ գլխում: Բացառությամբ սահմանափակման մասին ավելի շատ տեղեկությունների համար տես D. Jones (2015) : Aronow and Carnegie (2013) նկարագրում են լրացուցիչ մի շարք ենթադրություններ, որոնք կարող են օգտագործվել գնահատելու ATE- ի, քան CACE- ն: Լրացուցիչ տեղեկությունների համար, թե ինչպես բնական փորձերը կարող են շատ բարդ մեկնաբանել, տեսեք Sekhon and Titiunik (2012) : Բնական փորձերի ավելի ընդհանրական ներդրման համար, մեկը, որը դուրս է գալիս գործիքային փոփոխականների մոտից, ընդգրկում է նաեւ ռեգրեսիայի դադարեցում, տես ` Dunning (2012) :
