Nòt matematik

Nan apendis sa a, mwen pral rezime kèk ide sou fè enferans kozatif nan done ki pa eksperimantal nan yon fòm yon ti kras plis matematik. Gen de apwòch prensipal: fondasyon an graf kozatif, ki pi ki asosye avèk Judea Pearl ak kòlèg, ak fondasyon an rezilta potansyèl, ki pi asosye avèk Donald Rubin ak kòlèg li yo. Mwen pral prezante fondasyon rezilta potansyèl la paske li pi byen konekte sou ide yo nan nòt matematik yo nan fen chapit 3 ak 4. Pou plis sou fondasyon grafik yo, mwen rekòmande Pearl, Glymour, and Jewell (2016) (entwodiksyon ) ak Pearl (2009) (avanse). Pou yon tretman liv-longè nan enferans kozatif ki konbine fondasyon an rezilta potansyèl ak fondasyon an graf kozatif, mwen rekòmande Morgan and Winship (2014) .

Objektif la nan anèks sa a se ede ou jwenn konfòtab ak notasyon an ak style nan rezilta yo potansyèl rezilta pou ke ou ka tranzisyon nan kèk nan materyèl la plis teknik ekri sou sijè sa a. Premyèman, mwen pral dekri fondasyon an rezilta potansyèl yo. Lè sa a, mwen pral sèvi ak li nan plis diskite sou eksperyans natirèl tankou yon sèl la pa Angrist (1990) sou efè a nan sèvis militè sou salè. Anèks sa a trase lou sou Imbens and Rubin (2015) .

Potansyèl rezilta fondasyon

Kad rezilta a potansyèl gen twa eleman prensipal: inite , tretman , ak rezilta potansyèl yo . Yo nan lòd yo ilistre eleman sa yo, kite la konsidere yon vèsyon stilize nan kesyon an adrese nan Angrist (1990) : Ki efè a nan sèvis militè sou salè? Nan ka sa a, nou ka defini inite yo pou moun ki kalifye pou bouyon 1970 la nan peyi Etazini, epi nou ka endèks moun sa yo pa \(i = 1, \ldots, N\) . Tretman yo nan ka sa a ka "sèvi nan militè a" oswa "pa sèvi nan militè a." Mwen pral rele sa yo tretman ak kontwòl kondisyon yo, epi mwen pral ekri \(W_i = 1\) si moun \(i\) se nan kondisyon tretman an ak \(W_i = 0\) si moun \(i\) se nan kondisyon an kontwòl. Finalman, rezilta yo potansyèl yo se ti jan plis konseptyèlman difisil paske yo enplike rezilta "potansyèl"; bagay ki te ka rive. Pou chak moun ki kalifye pou bouyon 1970 la, nou ka imajine kantite lajan ke yo ta touche nan lane 1978 si yo te sèvi nan militè a, ki mwen pral rele \(Y_i(1)\) , ak kantite lajan yo ta touche nan 1978 si yo pa sèvi nan militè a, ki mwen pral rele \(Y_i(0)\) . Nan kad rezilta a potansyèl, \(Y_i(1)\) ak \(Y_i(0)\) yo konsidere kòm kantite fiks, pandan y ap \(W_i\) se yon varyab o aza.

Chwa inite yo, tretman yo, ak rezilta yo enpòtan paske li defini kisa ki ka-yo pa kapab-aprann nan etid la. Chwa inite-moun ki elijib pou 1970 bouyon an-pa gen ladan fanm yo, e konsa san okenn sipozisyon adisyonèl, etid sa a pa pral di nou anyen sou efè a nan sèvis militè sou fanm yo. Desizyon sou kòman yo defini tretman ak rezilta yo enpòtan tou. Pou egzanp, yo ta dwe tretman an nan enterè dwe konsantre sou k ap sèvi nan militè a oswa ki gen konba? Eske rezilta enterè a ta dwe touche oswa satisfaksyon travay? Finalman, yo ta dwe chwa nan inite, tretman, ak rezilta yo dwe kondwi pa objektif syantifik ak politik nan etid la.

Etandone chwa yo nan inite, tretman, ak rezilta potansyèl, efè a kozatif nan tretman an sou moun \(i\) , \(\tau_i\) , se

\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]

Nan lòt mo, nou konpare konbyen moun \(i\) ta touche apre k ap sèvi a ki jan anpil moun \(i\) ta touche san yo pa sèvi. Pou m ', eq. 2.1 se fason ki pi klè nan defini yon efè lakòz, e byenke trè senp, sa a ankadreman sanble soti nan jeneralize nan anpil fason enpòtan ak enteresan (Imbens and Rubin 2015) .

Lè w ap itilize kad rezilta a potansyèl, mwen souvan jwenn li itil yo ekri yon tab ki montre rezilta yo potansyèl ak efè yo tretman pou tout inite (tab 2.5). Si ou pa kapab imajine yon tab tankou sa a pou etid ou, Lè sa a, ou ta ka bezwen pi egzak nan definisyon ou nan inite ou a, tretman, ak rezilta potansyèl yo.

Lè defini efè a kozatif nan fason sa a, sepandan, nou kouri antre nan yon pwoblèm. Nan prèske tout ka yo, nou pa oblije obsève toude rezilta potansyèl yo. Sa se, yon moun espesifik swa te sèvi oswa pa t 'sèvi. Se poutèt sa, nou obsève youn nan rezilta yo potansyèl- \(Y_i(1)\) oswa \(Y_i(0)\) -mwen pa tou de. Enkapasite pou obsève tou de rezilta potansyèl se tankou yon gwo pwoblèm ke Holland (1986) rele li Pwoblèm fondamantal nan enferans kòz .

Erezman, lè nou ap fè rechèch, nou pa jis gen yon sèl moun; Olye de sa, nou gen anpil moun, ak sa a ofri yon fason alantou pwoblèm nan fondamantal nan Enferans kòz. Olye pou eseye estime efè tretman endividyèl la, nou ka estime efè tretman an mwayèn pou tout inite yo:

\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]

Sa a ekwasyon toujou eksprime an tèm de la \(\tau_i\) , ki se unobservable, men ak kèk aljèb (eq 2.8 nan Gerber and Green (2012) ), nou jwenn

\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]

Sa montre ke si nou ka estime rezilta mwayèn nan popilasyon anba tretman ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) ak rezilta mwayèn nan popilasyon anba kontwòl ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), Lè sa a, nou ka estime efè a tretman an mwayèn, menm san yo pa estime efè a tretman pou nenpòt ki moun an patikilye.

Koulye a, ke mwen te defini estiman nou-bagay nou ap eseye estimasyon-mwen pral vire nan ki jan nou ka aktyèlman estime li ak done. Ak isit la nou kouri dirèkteman nan pwoblèm nan ke nou sèlman obsève youn nan rezilta yo potansyèl pou chak moun; nou wè swa \(Y_i(0)\) oswa \(Y_i(1)\) (tab 2.6). Nou te ka estime efè tretman an mwayèn nan konpare salè moun ki te sèvi nan salè moun ki pa t 'sèvi:

\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]

kote \(N_t\) ak \(N_c\) se nimewo moun nan kondisyon tretman ak kontwòl. Apwòch sa a ap travay byen si plasman tretman an endepandan de rezilta potansyèl, yon kondisyon pafwa yo rele inyorans . Malerezman, nan absans la nan yon eksperyans, inyorabilite se pa souvan satisfè, ki vle di ke estimatè a nan ek. 2.4 pa ka pwodui bon estimasyon. Youn nan fason yo reflechi sou li se ke nan absans la nan plasman o aza nan tretman, eq. 2.4 pa konpare tankou ak renmen; li konpare salè diferan kalite moun. Oswa eksprime yon ti kras diferan, san plasman o aza nan tretman, alokasyon tretman an se pwobableman ki gen rapò ak rezilta potansyèl yo.

Nan chapit 4, mwen pral dekri ki jan owaza kontwole eksperyans ka ede chèchè fè estimasyon kozatif, ak isit la mwen pral dekri ki jan chèchè ka pran avantaj de eksperyans natirèl, tankou lotri bouyon an.

Eksperyans natirèl

Yon apwòch pou fè estimasyon kozatif san yo pa kouri yon eksperyans se yo gade pou yon bagay k ap pase nan mond lan ki te owaza asiyen yon tretman pou ou. Apwòch sa a rele eksperyans natirèl . Nan anpil sitiyasyon, malerezman, nati pa bay owaza tretman ke ou vle popilasyon an nan enterè. Men, pafwa, nati owaza bay yon tretman ki gen rapò. An patikilye, mwen pral konsidere ka a kote gen kèk tretman segondè ki ankouraje moun yo resevwa tretman an prensipal la . Pa egzanp, yo ta ka konsidere bouyon an kòm yon tretman ki asosye akòz o aza ki ankouraje kèk moun pou yo pran tretman prensipal la, ki te sèvi nan militè a. Sa a se konsepsyon pafwa yo rele yon konsepsyon ankourajman . Ak metòd la analiz ke mwen pral dekri okipe sitiyasyon sa a pafwa yo rele varyab enstrimantal . Nan anviwònman sa a, avèk kèk sipozisyon, chèchè yo kapab itilize ankourajman pou aprann sou efè tretman an prensipal pou yon patikil patikilye nan inite yo.

Yo nan lòd yo okipe de tretman sa yo diferan-ankourajman an ak tretman an prensipal-nou bezwen kèk notasyon nouvo. Sipoze ke gen kèk moun yo owaza tire ( \(Z_i = 1\) ) oswa ou pa tire ( \(Z_i = 0\) ); nan sitiyasyon sa a, \(Z_i\) pafwa yo rele yon enstriman .

Pami moun ki te ekri, gen kèk te sèvi ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) ak kèk pa t '( \(Z_i = 1, W_i = 0\) ). Menm jan tou, nan mitan moun ki pa te tire, gen kèk te sèvi ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) ak kèk pa t '( \(Z_i = 0, W_i = 0\) ). Rezilta potansyèl yo pou chak moun kapab kounye a ap elaji pou montre sitiyasyon yo pou toude ankourajman an ak tretman an. Pou egzanp, kite \(Y(1, W_i(1))\) se salè a moun \(i\) si li te ekri, kote \(W_i(1)\) se estati sèvis li si ekri. Pli lwen, nou ka fann popilasyon an nan kat gwoup: konpliman, pa janm-kidnapè, defye, ak toujou-takers (tab 2.7).

Anvan nou diskite sou estimasyon efè tretman an (sa vle di, sèvis militè), nou ka premye defini de efè ankourajman an (sa vle di, yo te tire). Premyèman, nou ka defini efè ankourajman nan tretman prensipal la. Dezyèmman, nou ka defini efè ankourajman an sou rezilta a. Li pral vire ke de efè sa yo ka konbine yo bay yon estimasyon de efè a nan tretman an sou yon gwoup espesifik nan moun.

Premyèman, ka efè ankourajman sou tretman an kapab defini pou moun \(i\) kòm

\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]

Pli lwen, ka kantite sa a dwe defini sou tout popilasyon an kòm

\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]

Finalman, nou ka estime \(\text{ITT} _{W}\) lè l sèvi avèk done:

\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]

kote \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) se pousantaj obsève tretman pou moun ki te ankouraje ak \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) se tras la obsève nan tretman pou moun ki pa te ankouraje. \(\text{ITT}_W\) se tou pafwa yo rele pousantaj la absorption .

Apre sa, ka efè ankourajman sou rezilta a kapab defini pou moun \(i\) tankou:

\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]

Pli lwen, ka kantite sa a dwe defini sou tout popilasyon an kòm

\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]

Finalman, nou ka estime \(\text{ITT}_{Y}\) lè l sèvi avèk done:

\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]

Ki kote \(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) se rezilta a obsève (egzanp, salè) pou moun ki te ankouraje (egzanp, ekri) ak \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) se rezilta a obsève pou moun ki pa te ankouraje.

Finalman, nou vire atansyon nou nan efè a nan enterè: efè a nan tretman an prensipal (egzanp, sèvis militè) sou rezilta a (egzanp, salè). Malerezman, li vire soti ke yon sèl pa ka, an jeneral, estime sa a efè sou tout inite. Sepandan, ak kèk sipozisyon, chèchè yo ka estime efè tretman an sou konpliman (sètadi, moun ki pral sèvi si ekri ak moun ki pa pral sèvi si se pa ekri, tab 2.7). Mwen pral rele estimasyon sa a konplè mwayèn efè kozatif (CACE) (ki se tou pafwa yo rele efè lokal tretman an mwayèn , LATE):

\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]

kote \(G_i\) bay gwoup moun nan \(i\) (gade tablo 2.7) ak \(N_{\text{co}}\) se kantite konpliman. Nan lòt mo, eq. 2.11 konpare salè yo nan konpliman ki yo ekri \(Y_i(1, W_i(1))\) epi yo pa ekri \(Y_i(0, W_i(0))\) . Estimasyon an nan eq. 2.11 sanble li difisil pou yo estime de done obsève paske li pa posib pou idantifye konplè yo lè l sèvi avèk sèlman obsève done (konnen si yon moun konplike ou ta bezwen obsève si li te sèvi lè tire e si li te sèvi lè yo pa tire).

Li vire soti-yon ti jan surprenante-ke si gen nenpòt konpliman, Lè sa a, bay yon sèl fè twa lòt sipozisyon, li posib estime CACE soti nan done obsève. Premyèman, yon moun gen asime ke plasman nan tretman se o aza. Nan ka a nan lotri a bouyon sa a se rezonab. Sepandan, nan kèk anviwònman kote eksperyans natirèl pa konte sou randomize fizik, sa a sipozisyon ka pi plis pwoblèm. Dezyèmman, yon moun gen asime ke yo pa gen okenn Defiers (sa a se sipozisyon tou pafwa yo rele sipozisyon an monotonisite). Nan kontèks la nan bouyon an li sanble rezonab yo asime ke gen anpil moun ki pa pral sèvi si ekri epi yo pral sèvi si se pa ekri. Twazyèm, e finalman, vini sipozisyon ki pi enpòtan an ki rele restriksyon nan eksklizyon . Anba restriksyon esklizyon an, youn gen asime ke tout efè a nan plasman tretman an pase nan tretman an tèt li. Nan lòt mo, youn gen asime ke pa gen okenn efè dirèk nan ankourajman sou rezilta yo. Nan ka a nan lotri bouyon an, pou egzanp, yon sèl bezwen asime ke estati bouyon pa gen okenn efè sou salè lòt pase nan sèvis militè (figi 2.11). Ka restriksyon nan eksklizyon ta ka vyole si, pou egzanp, moun ki te ekri depanse plis tan nan lekòl yo nan lòd pou fè pou evite sèvis oswa si patwon yo te gen mwens chans anboche moun ki te tire.

Figi 2.11: Restriksyon an esklizyon egzije pou ankourajman an (bouyon lotri) gen yon efè sou rezilta a (salè) sèlman nan tretman an (sèvis militè). Ka restriksyon nan eksklizyon ta ka vyole si, pou egzanp, moun ki te ekri depanse plis tan nan lekòl yo nan lòd pou fè pou evite sèvis ak ke tan sa a ogmante nan lekòl la mennen nan pi wo salè.

Si twa kondisyon sa yo (plasman o aza nan tretman, pa gen okenn defi, ak restriksyon nan eksklizyon) yo te rankontre, lè sa a

\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]

konsa nou ka estime CACE:

\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]

Yon fason pou panse sou CACE se ke li se diferans nan rezilta ant moun ki te ankouraje ak moun ki pa ankouraje, gonfle pa pousantaj la absorption.

Gen de opozisyon enpòtan kenbe nan tèt ou. Premyèman, restriksyon nan esklizyon se yon sipozisyon fò, epi li bezwen yo dwe jistifye sou yon baz ka-pa-ka, ki souvan mande pou ekspètiz sijè-zòn. Restriksyon an esklizyon pa kapab jistifye ak o azaizasyon nan ankourajman an. Dezyèmman, yon defi komen pratik ak analiz varyab enstrimantal vini lè ankourajman an gen ti efè sou absorption nan tretman (lè \(\text{ITT}_W\) se ti). Yo rele sa yon enstriman ki fèb , epi li mennen nan yon varyete pwoblèm (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) . Youn nan fason yo reflechi sou pwoblèm nan ak enstriman ki fèb se ke \(\widehat{\text{CACE}}\) ka sansib a prejije ti nan \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) -potansyèlman akòz vyolasyon restriksyon-eksklizyon an-paske sa yo prejije yo jwenn yon gwo \(\widehat{\text{ITT}_W}\) (gade ek. 2.13). Apeprè, si tretman an ki asiyen nati pa gen yon gwo enpak sou tretman an ou swen sou, Lè sa a, ou pral gen yon tan difisil aprann sou tretman an ou swen sou.

Gade chapit 23 ak 24 nan Imbens and Rubin (2015) pou yon vèsyon plis fòmèl nan diskisyon sa a. Apwòch tradisyonèl tradisyonèl la nan varyab enstrimantal anjeneral eksprime an tèm de estimasyon ekwasyon, pa rezilta potansyèl yo. Pou yon entwodiksyon nan pèspektiv sa a, gade Angrist and Pischke (2009) , epi pou yon konparezon ant de apwòch yo, gade seksyon 24.6 nan Imbens and Rubin (2015) . Yon altènatif, yon ti kras mwens fòmèl prezantasyon nan apwòch yo varyab enstrimantal yo bay nan chapit 6 nan Gerber and Green (2012) . Pou plis enfòmasyon sou restriksyon esklizyon, gade D. Jones (2015) . Aronow and Carnegie (2013) dekri yon seri adisyon nan sipozisyon ke yo ka itilize pou estime ATE olye ke CACE. Pou plis sou kijan eksperyans natirèl ka trè difisil pou entèprete, gade Sekhon and Titiunik (2012) . Pou yon entwodiksyon ki pi an jeneral nan eksperyans natirèl-yon sèl ki ale pi lwen pase sèlman varyab yo enstrimantal apwòch tou gen ladan desen tankou retou annaryè retou-wè Dunning (2012) .