गणितीय नोट्स

इस परिशिष्ट में, मैं गैर-प्रयोगात्मक डेटा से थोड़ा अधिक गणितीय रूप में कारण अनुमान बनाने के बारे में कुछ विचारों का सारांश दूंगा। दो मुख्य दृष्टिकोण हैं: कारण ग्राफिक फ्रेमवर्क, जो जुडिया पर्ल और सहकर्मियों से जुड़ा हुआ है, और संभावित परिणाम ढांचे, जो डोनाल्ड रूबिन और सहयोगियों से जुड़े हैं। मैं संभावित परिणाम ढांचे का परिचय दूंगा क्योंकि यह अध्याय 3 और 4 के अंत में गणितीय नोट्स में विचारों से अधिक निकटता से जुड़ा हुआ है। कारण Pearl, Glymour, and Jewell (2016) ढांचे पर अधिक के लिए, मैं Pearl, Glymour, and Jewell (2016) (प्रारंभिक Pearl, Glymour, and Jewell (2016) सलाह देता हूं ) और Pearl (2009) (उन्नत)। संभावित परिणामों के ढांचे और कारण ग्राफ फ्रेमवर्क को जोड़ते हुए कारक अनुमान के पुस्तक-लंबाई उपचार के लिए, मैं Morgan and Winship (2014) अनुशंसा करता हूं।

इस परिशिष्ट का लक्ष्य संभावित परिणामों की परंपरा के संकेत और शैली के साथ सहज महसूस करने में आपकी सहायता करना है ताकि आप इस विषय पर लिखी गई कुछ और तकनीकी सामग्री में बदलाव कर सकें। सबसे पहले, मैं संभावित परिणाम ढांचे का वर्णन करूंगा। फिर, मैं कमाई पर सैन्य सेवा के प्रभाव पर Angrist (1990) द्वारा प्राकृतिक प्रयोगों पर चर्चा के लिए इसका उपयोग करूंगा। यह परिशिष्ट Imbens and Rubin (2015) पर भारी रूप से आकर्षित करता है।

संभावित परिणाम ढांचे

संभावित परिणामों के ढांचे में तीन मुख्य तत्व हैं: इकाइयों , उपचार , और संभावित परिणाम । इन तत्वों को चित्रित करने के लिए, Angrist (1990) में संबोधित प्रश्न के एक शैलीबद्ध संस्करण पर विचार करें: कमाई पर सैन्य सेवा का क्या प्रभाव है? इस मामले में, हम इकाइयों को संयुक्त राज्य अमेरिका में 1 9 70 के मसौदे के लिए पात्र होने के लिए परिभाषित कर सकते हैं, और हम इन लोगों को $i = 1, \ldots, N$ द्वारा अनुक्रमित कर सकते हैं। इस मामले में उपचार "सेना में सेवा" या "सेना में सेवा नहीं कर सकते" हो सकता है। मैं इन्हें उपचार और नियंत्रण की स्थिति $W_i = 1$ , और मैं $W_i = 1$ यदि व्यक्ति $i$ उपचार की स्थिति में है और $W_i = 0$ यदि व्यक्ति $i$ नियंत्रण स्थिति में है। अंत में, संभावित परिणाम थोड़ा अधिक अवधारणात्मक रूप से कठिन होते हैं क्योंकि उनमें "संभावित" परिणाम शामिल होते हैं; चीजें जो हो सकती थीं। 1 9 70 के मसौदे के लिए पात्र प्रत्येक व्यक्ति के लिए, हम कल्पना कर सकते हैं कि उन्होंने 1 9 78 में अर्जित किया था कि अगर वे सेना में सेवा करते हैं, जिसे मैं $Y_i(1)$ , और वह राशि जो उन्होंने अर्जित की होगी 1 9 78 अगर वे सेना में सेवा नहीं करते थे, जिसे मैं $Y_i(0)$ । संभावित परिणामों के ढांचे में, $Y_i(1)$ और $Y_i(0)$ को निश्चित मात्रा माना जाता है, जबकि $W_i$ एक यादृच्छिक चर है।

इकाइयों, उपचारों और परिणामों की पसंद महत्वपूर्ण है क्योंकि यह परिभाषित करता है कि अध्ययन से क्या सीखा जा सकता है और नहीं। 1 9 70 के मसौदे के लिए योग्य इकाइयों की पसंद-महिलाओं में शामिल नहीं है, और इसलिए अतिरिक्त धारणाओं के बिना, यह अध्ययन हमें महिलाओं पर सैन्य सेवा के प्रभाव के बारे में कुछ नहीं बताएगा। उपचार और परिणामों को परिभाषित करने के बारे में निर्णय भी महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, क्या ब्याज का उपचार सेना में सेवा करने या युद्ध का सामना करने पर केंद्रित होना चाहिए? क्या ब्याज का नतीजा कमाई या नौकरी की संतुष्टि होनी चाहिए? आखिरकार, इकाइयों, उपचार, और परिणामों की पसंद अध्ययन के वैज्ञानिक और नीति लक्ष्यों द्वारा संचालित की जानी चाहिए।

इकाइयों, उपचार, और संभावित परिणामों के विकल्पों को देखते हुए, व्यक्ति $i$ , $\tau_i$ पर उपचार का कारण प्रभाव है, है

$$\tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)$$

दूसरे शब्दों में, हम तुलना करते हैं कि कितने व्यक्ति $i$ ने सेवा के बिना अर्जित किया होगा कि कितने व्यक्ति $i$ अर्जित किए होंगे। मेरे लिए, eq। 2.1 एक कारण प्रभाव को परिभाषित करने का सबसे स्पष्ट तरीका है, और हालांकि बेहद सरल, यह ढांचा कई महत्वपूर्ण और रोचक तरीकों (Imbens and Rubin 2015) में सामान्यीकृत करने के लिए निकला है।

संभावित परिणाम ढांचे का उपयोग करते समय, मुझे अक्सर संभावित परिणामों और सभी इकाइयों (तालिका 2.5) के उपचार प्रभाव दिखाने वाली तालिका लिखना उपयोगी होता है। यदि आप अपने अध्ययन के लिए इस तरह की एक टेबल की कल्पना करने में सक्षम नहीं हैं, तो आपको अपनी इकाइयों, उपचारों और संभावित परिणामों की अपनी परिभाषाओं में और अधिक सटीक होने की आवश्यकता हो सकती है।

इस तरह से कारण प्रभाव को परिभाषित करते समय, हम एक समस्या में भाग लेते हैं। लगभग सभी मामलों में, हमें संभावित परिणामों दोनों का पालन नहीं करना पड़ता है। यही है, एक विशिष्ट व्यक्ति या तो सेवा करता है या सेवा नहीं करता है। इसलिए, हम संभावित परिणामों में से एक का निरीक्षण करते $Y_i(1)$ या $Y_i(0)$ दोनों नहीं। संभावित परिणामों दोनों का निरीक्षण करने में असमर्थता ऐसी बड़ी समस्या है कि Holland (1986) ने इसे मौलिक अनुमान की मौलिक समस्या कहा।

सौभाग्य से, जब हम शोध कर रहे हैं, तो हमारे पास सिर्फ एक व्यक्ति नहीं है; बल्कि, हमारे पास बहुत से लोग हैं, और यह मौलिक अनुमान की मौलिक समस्या के आसपास एक रास्ता प्रदान करता है। व्यक्तिगत स्तर के उपचार प्रभाव का आकलन करने के प्रयास के बजाय, हम सभी इकाइयों के लिए औसत उपचार प्रभाव का अनुमान लगा सकते हैं:

$$\text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)$$

यह समीकरण अभी भी $\tau_i$ संदर्भ में व्यक्त किया गया है, जो $\tau_i$ हैं, लेकिन कुछ बीजगणित ( Gerber and Green (2012) eq 2.8 के साथ), हमें मिलता है

$$\text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)$$

इससे पता चलता है कि यदि हम उपचार के तहत जनसंख्या औसत परिणाम का अनुमान लगा सकते हैं ( $N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)$ ) और जनसंख्या औसत परिणाम नियंत्रण में ( $N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)$ ), तो हम औसत उपचार प्रभाव का अनुमान लगा सकते हैं, यहां तक ​​कि किसी भी विशेष व्यक्ति के उपचार प्रभाव का आकलन किए बिना।

अब जब मैंने अपने अनुमान को परिभाषित किया है- जिस चीज का हम अनुमान लगाने की कोशिश कर रहे हैं-मैं इस बात की ओर रुख करूंगा कि हम वास्तव में डेटा के साथ इसका आकलन कैसे कर सकते हैं। और यहां हम सीधे इस समस्या में भाग लेते हैं कि हम केवल प्रत्येक व्यक्ति के संभावित परिणामों में से एक देखते हैं; हम या तो $Y_i(0)$ या $Y_i(1)$ (तालिका 2.6) देखते हैं। हम उन लोगों की कमाई की तुलना करके औसत उपचार प्रभाव का अनुमान लगा सकते हैं जो सेवा की सेवा करने वाले लोगों की कमाई में सेवा नहीं करते थे:

$$\widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)$$

जहां $N_t$ और $N_c$ उपचार और नियंत्रण स्थितियों में लोगों की संख्या हैं। यह दृष्टिकोण अच्छी तरह से काम करेगा यदि उपचार असाइनमेंट संभावित परिणामों से स्वतंत्र है, कभी-कभी ऐसी स्थिति को अज्ञानता कहा जाता है। दुर्भाग्यवश, एक प्रयोग की अनुपस्थिति में, अज्ञानता अक्सर संतुष्ट नहीं होती है, जिसका अर्थ है कि ईक में अनुमानक। 2.4 अच्छे अनुमान का उत्पादन करने की संभावना नहीं है। इसके बारे में सोचने का एक तरीका यह है कि उपचार के यादृच्छिक असाइनमेंट की अनुपस्थिति में, eq। 2.4 की तरह तुलना नहीं कर रहा है; यह विभिन्न प्रकार के लोगों की आय की तुलना कर रहा है। या इलाज के यादृच्छिक असाइनमेंट के बिना थोड़ा अलग व्यक्त किया, उपचार आवंटन संभवतः संभावित परिणामों से संबंधित है।

अध्याय 4 में, मैं वर्णन करूंगा कि कैसे यादृच्छिक नियंत्रित प्रयोग शोधकर्ताओं को कारण अनुमान बनाने में मदद कर सकते हैं, और यहां मैं वर्णन करूंगा कि कैसे शोधकर्ता प्राकृतिक प्रयोगों का लाभ उठा सकते हैं, जैसे मसौदा लॉटरी।

प्राकृतिक प्रयोग

प्रयोग चलाने के बिना मौलिक अनुमान बनाने का एक दृष्टिकोण यह है कि दुनिया में कुछ ऐसा हो रहा है जिसने आपके लिए यादृच्छिक रूप से इलाज किया है। इस दृष्टिकोण को प्राकृतिक प्रयोग कहा जाता है। दुर्भाग्यवश, कई स्थितियों में, प्रकृति उस उपचार को यादृच्छिक रूप से वितरित नहीं करती है जिसे आप ब्याज की आबादी के लिए चाहते हैं। लेकिन कभी-कभी, प्रकृति यादृच्छिक रूप से संबंधित उपचार प्रदान करती है। विशेष रूप से, मैं उस मामले पर विचार करूंगा जहां कुछ माध्यमिक उपचार है जो लोगों को प्राथमिक उपचार प्राप्त करने के लिए प्रोत्साहित करता है। उदाहरण के लिए, मसौदा को यादृच्छिक रूप से असाइन किया गया माध्यमिक उपचार माना जा सकता है जिसने कुछ लोगों को प्राथमिक उपचार लेने के लिए प्रोत्साहित किया, जो सेना में सेवा कर रहा था। इस डिजाइन को कभी-कभी एक प्रोत्साहन डिजाइन कहा जाता है। और इस स्थिति को संभालने के लिए मैं विश्लेषण पद्धति का वर्णन करूंगा जिसे कभी-कभी वाद्ययंत्र चर कहा जाता है । इस सेटिंग में, कुछ धारणाओं के साथ, शोधकर्ता इकाइयों के एक विशेष सबसेट के लिए प्राथमिक उपचार के प्रभाव के बारे में जानने के लिए प्रोत्साहित कर सकते हैं।

दो अलग-अलग उपचारों को संभालने के लिए- प्रोत्साहन और प्राथमिक उपचार - हमें कुछ नए नोटेशन की आवश्यकता है। मान लीजिए कि कुछ लोगों को यादृच्छिक रूप से ड्राफ्ट किया गया है ( $Z_i = 1$ ) या ड्राफ्ट नहीं किया गया ( $Z_i = 0$ ); इस स्थिति में, $Z_i$ को कभी-कभी एक उपकरण कहा जाता है।

मसौदे तैयार किए गए लोगों में से कुछ ने ( $Z_i = 1, W_i = 1$ ) और कुछ नहीं किया ( $Z_i = 1, W_i = 0$ )। इसी तरह, उन लोगों में से जो ड्राफ्ट नहीं किए गए थे, कुछ ने सेवा की ( $Z_i = 0, W_i = 1$ ) और कुछ नहीं ( $Z_i = 0, W_i = 0$ )। प्रोत्साहित करने और उपचार दोनों के लिए अपनी स्थिति दिखाने के लिए प्रत्येक व्यक्ति के संभावित परिणामों का विस्तार किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $Y(1, W_i(1))$ व्यक्ति की आय $Y(1, W_i(1))$ $i$ यदि उसका मसौदा तैयार किया गया था, जहां $W_i(1)$ ड्राफ्ट किए जाने पर उसकी सेवा स्थिति है। इसके अलावा, हम आबादी को चार समूहों में विभाजित कर सकते हैं: शिकायतकर्ता, कभी-कभी लेने वाले, डिफियर और हमेशा लेने वाले (तालिका 2.7)।

उपचार के प्रभाव (यानी, सैन्य सेवा) का अनुमान लगाने से पहले, हम पहले प्रोत्साहन के दो प्रभाव (यानी, ड्राफ्ट किए जा रहे हैं) को परिभाषित कर सकते हैं। सबसे पहले, हम प्राथमिक उपचार पर प्रोत्साहन के प्रभाव को परिभाषित कर सकते हैं। दूसरा, हम परिणाम पर प्रोत्साहन के प्रभाव को परिभाषित कर सकते हैं। यह पता चला है कि इन दो प्रभावों को लोगों के एक विशिष्ट समूह पर उपचार के प्रभाव का अनुमान प्रदान करने के लिए जोड़ा जा सकता है।

सबसे पहले, उपचार पर प्रोत्साहन का प्रभाव व्यक्ति $i$ रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$\text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)$$

इसके अलावा, इस मात्रा को पूरी आबादी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$\text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)$$

अंत में, हम डेटा का उपयोग कर $\text{ITT} _{W}$ का अनुमान लगा सकते हैं:

$$\widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)$$

जहां $\bar{W}^{\text{obs}}_1$ उन लोगों के लिए उपचार की मनाई गई दर है जिन्हें प्रोत्साहित किया गया था और $\bar{W}^{\text{obs}}_0$ है उन लोगों के लिए इलाज की मनाई गई दर जिन्हें प्रोत्साहित नहीं किया गया था। $\text{ITT}_W$ को कभी-कभी अपटेक दर भी कहा जाता है।

इसके बाद, परिणाम पर प्रोत्साहन के प्रभाव को व्यक्ति के लिए परिभाषित किया जा सकता है $i$ रूप में:

$$\text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)$$

इसके अलावा, इस मात्रा को पूरी आबादी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$\text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)$$

अंत में, हम डेटा का उपयोग कर $\text{ITT}_{Y}$ का अनुमान लगा सकते हैं:

$$\widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)$$

जहां $\bar{Y}^{\text{obs}}_1$ उन लोगों के लिए मनाया गया परिणाम (उदाहरण के लिए कमाई) है (जैसे, ड्राफ्ट किया गया) और $\bar{W}^{\text{obs}}_0$ उन लोगों के लिए मनाया गया परिणाम है जिन्हें प्रोत्साहित नहीं किया गया था।

अंत में, हम अपना ध्यान ब्याज के प्रभाव पर बदलते हैं: परिणाम पर प्राथमिक उपचार (उदाहरण के लिए, सैन्य सेवा) का प्रभाव (उदाहरण के लिए, कमाई)। दुर्भाग्यवश, यह पता चला है कि, सामान्य रूप से, सभी इकाइयों पर इस प्रभाव का अनुमान नहीं लगा सकता है। हालांकि, कुछ धारणाओं के साथ, शोधकर्ता शिकायतकर्ताओं पर उपचार के प्रभाव का अनुमान लगा सकते हैं (यानी, जो लोग मसौदा तैयार करेंगे और जो लोग ड्राफ्ट नहीं किए गए हैं, तालिका 2.7) पर सेवा नहीं करेंगे। मैं इस अनुमान को कॉल करूंगा और अनुपालन औसत कारण प्रभाव (सीएसीई) (जिसे कभी-कभी स्थानीय औसत उपचार प्रभाव , लेट कहा जाता है):

$$\text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)$$

जहां $G_i$ व्यक्ति के समूह को दान करता है $i$ (तालिका 2.7 देखें) और $N_{\text{co}}$ शिकायतकर्ताओं की संख्या है। दूसरे शब्दों में, eq। 2.11 $Y_i(1, W_i(1))$ की कमाई की तुलना करता है जो ड्राफ्ट किए गए हैं $Y_i(1, W_i(1))$ और ड्राफ्ट नहीं किया गया $Y_i(0, W_i(0))$ । Eq में अनुमान। 2.11 मनाए गए डेटा से अनुमान लगाना मुश्किल लगता है क्योंकि केवल देखे गए डेटा का उपयोग करके शिकायतकर्ताओं की पहचान करना संभव नहीं है (यह जानने के लिए कि कोई शिकायतकर्ता है या नहीं, आपको यह देखने की आवश्यकता होगी कि क्या उन्होंने ड्राफ्ट किए जाने पर सेवा की थी और क्या उन्होंने ड्राफ्ट किए जाने पर सेवा की थी)।

यह कुछ हद तक आश्चर्यजनक रूप से सामने आता है कि यदि कोई अनुपालनकर्ता है, तो प्रदान किया गया है कि एक तीन अतिरिक्त मान्यताओं को बनाता है, देखा गया डेटा से सीएसीई का आकलन करना संभव है। सबसे पहले, किसी को यह मानना ​​है कि इलाज के लिए असाइनमेंट यादृच्छिक है। मसौदा लॉटरी के मामले में यह उचित है। हालांकि, कुछ सेटिंग्स में जहां प्राकृतिक प्रयोग भौतिक यादृच्छिकरण पर भरोसा नहीं करते हैं, यह धारणा अधिक समस्याग्रस्त हो सकती है। दूसरा, किसी को यह मानना ​​है कि उनके कोई बचाव नहीं है (इस धारणा को कभी-कभी monotonicity धारणा भी कहा जाता है)। मसौदे के संदर्भ में यह मानना ​​उचित लगता है कि बहुत कम लोग हैं जो ड्राफ्ट किए जाने पर सेवा नहीं करेंगे और ड्राफ्ट किए जाने पर सेवा करेंगे। तीसरा, और अंत में, सबसे महत्वपूर्ण धारणा आती है जिसे बहिष्करण प्रतिबंध कहा जाता है। बहिष्करण प्रतिबंध के तहत, किसी को यह मानना ​​है कि उपचार के सभी प्रभाव उपचार के माध्यम से पारित किए जाते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी को यह मानना ​​है कि परिणामों पर प्रोत्साहन का कोई प्रत्यक्ष प्रभाव नहीं है। ड्राफ्ट लॉटरी के मामले में, उदाहरण के लिए, किसी को यह मानने की आवश्यकता है कि मसौदा की स्थिति सैन्य सेवा (आकृति 2.11) के अलावा कमाई पर कोई प्रभाव नहीं डालती है। बहिष्करण प्रतिबंध का उल्लंघन किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, जिन लोगों को मसौदा तैयार किया गया था, वे सेवा से बचने के लिए स्कूल में अधिक समय बिताते थे या नियोक्ता उन लोगों को किराए पर लेने की संभावना कम थे, जिन्हें ड्राफ्ट किया गया था।

चित्रा 2.11: बहिष्करण प्रतिबंध के लिए आवश्यक है कि प्रोत्साहन (ड्राफ्ट लॉटरी) का परिणाम केवल (सैन्य सेवा) के माध्यम से परिणाम (आय) पर प्रभाव पड़ता है। बहिष्करण प्रतिबंध का उल्लंघन किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, जो लोग मसौदे तैयार किए गए थे, वे सेवा से बचने के लिए स्कूल में अधिक समय बिताते थे और स्कूल में इस बढ़ते समय में उच्च कमाई हुई थी।

यदि इन तीनों शर्त (उपचार के लिए यादृच्छिक असाइनमेंट, कोई डिफियर, और बहिष्करण प्रतिबंध) तब मिले हैं

$$\text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)$$

इसलिए हम सीएसीई का आकलन कर सकते हैं:

$$\widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)$$

सीएसीई के बारे में सोचने का एक तरीका यह है कि उन लोगों के बीच परिणामों में अंतर है जिन्हें प्रोत्साहित किया गया था और उनको प्रोत्साहित नहीं किया गया था, जो आगे बढ़ने की दर से बढ़े थे।

ध्यान में रखने के लिए दो महत्वपूर्ण चेतावनी हैं। सबसे पहले, बहिष्करण प्रतिबंध एक मजबूत धारणा है, और इसे केस-दर-मामले आधार पर उचित ठहराने की आवश्यकता है, जिसे अक्सर विषय-क्षेत्र विशेषज्ञता की आवश्यकता होती है। बहिष्करण प्रतिबंध को प्रोत्साहन के यादृच्छिकरण के साथ उचित नहीं ठहराया जा सकता है। दूसरा, वाद्ययंत्र परिवर्तनीय विश्लेषण के साथ एक आम व्यावहारिक चुनौती तब आती है जब उपचार के उपचार पर प्रोत्साहन पर थोड़ा असर पड़ता है (जब $\text{ITT}_W$ छोटा होता है)। इसे एक कमजोर साधन कहा जाता है, और इससे कई प्रकार की समस्याएं होती हैं (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) । कमजोर उपकरणों के साथ समस्या के बारे में सोचने का एक तरीका यह है कि $\widehat{\text{CACE}}$ $\widehat{\text{ITT}_Y}$ में छोटे पूर्वाग्रहों के प्रति संवेदनशील हो सकता है - संभावित रूप से बहिष्करण प्रतिबंध का उल्लंघन- क्योंकि इन पूर्वाग्रहों को एक छोटे से $\widehat{\text{ITT}_W}$ द्वारा बढ़ाया जाता है (देखें eq। 2.13)। असल में, अगर प्रकृति के उपचार के इलाज पर आपके इलाज के बारे में कोई बड़ा प्रभाव नहीं पड़ता है, तो आपको जिस इलाज के बारे में आप परवाह है उसके बारे में सीखने में कठिनाई होगी।

इस चर्चा के अधिक औपचारिक संस्करण के लिए Imbens and Rubin (2015) के अध्याय 23 और 24 देखें। वाद्ययंत्र चर के लिए पारंपरिक अर्थशास्त्रीय दृष्टिकोण आमतौर पर समीकरणों के आकलन के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, न कि संभावित परिणाम। इस अन्य परिप्रेक्ष्य से परिचय के लिए, Imbens and Rubin (2015) Angrist and Pischke (2009) , और दो दृष्टिकोणों के बीच तुलना के लिए, Imbens and Rubin (2015) की धारा 24.6 देखें। एक विकल्प, वाद्ययंत्र चर दृष्टिकोण की थोड़ी कम औपचारिक प्रस्तुति Gerber and Green (2012) अध्याय 6 में प्रदान की जाती है। बहिष्करण प्रतिबंध पर अधिक जानकारी के लिए, D. Jones (2015) । Aronow and Carnegie (2013) धारणाओं के एक अतिरिक्त सेट का वर्णन करते हैं Aronow and Carnegie (2013) बजाय एटीई का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। व्याख्यान के लिए प्राकृतिक प्रयोगों को कितना मुश्किल हो सकता है, इस बारे में अधिक जानकारी के लिए, Sekhon and Titiunik (2012) । प्राकृतिक प्रयोगों के लिए एक और सामान्य परिचय के लिए- जो कि केवल वाद्ययंत्र चर के दृष्टिकोण से परे है, जिसमें रिग्रेशन विचलन जैसे डिज़ाइन शामिल हैं- Dunning (2012) ।