Nòtaichean matamataig
Is mise an dòigh as fheàrr air deuchainnean a thuigsinn an fhrèam builean a dh'fhaodadh a bhith ann (a bhruidhinn mi anns na notaichean matamataigeach ann an caibideil 2). Tha dlùth dhàimhean aig an fhrèam builean a dh'fhaodadh a bhith ann do na beachdan bho samplachadh stèidhichte air dealbhadh a mhìnich mi ann an caibideil 3 (Aronow and Middleton 2013; Imbens and Rubin 2015, chap. 6) . Chaidh an t-eàrr-ràdh seo a sgrìobhadh ann an dòigh a chuireas cuideam air a 'cheangal sin. Tha an cuideam seo beagan neo-thraidiseanta, ach tha mi a 'smaoineachadh gu bheil an ceangal eadar samplachadh agus deuchainnean feumail: tha e a' ciallachadh ma tha fios agad air rudeigin mu bhith a 'samplachadh, agus gu bheil fios agad air rudeigin mu dheuchainnean agus a chaochladh. Mar a sheallas mi anns na notaichean sin, tha frèam nan toraidhean a 'nochdadh gu bheil neart deuchainnean fo smachd air a thomhas airson tuairmse a dhèanamh air buaidh adhbharach, agus tha e a' sealltainn cuingealachaidhean de na ghabhas dèanamh le eadhon deuchainnean air an cur gu buil.
San eàrr-ràdh seo, cuiridh mi cunntas air frèam nan toraidhean a dh'fhaodadh a bhith, a 'dùblachadh cuid den stuth bho na notaichean matamataigeach ann an caibideil 2 gus na notaichean sin a dhèanamh nas fèin-fhillte. An uairsin bidh mi a 'toirt tuairisgeul air cuid de thoraidhean feumail mu cho mionaideach' sa tha tuairmsean de bhuaidh leigheis cuibheasach, a 'gabhail a-steach deasbad air an riarachadh as fheàrr agus tuairmsean eadar-dhealaichte. Bidh an eàrr-ràdh seo a 'tarraing gu mòr air Gerber and Green (2012) .
Frèam builean a dh'fhaodadh a bhith ann
Gus dealbh a thoirt air frèam nan toraidhean a dh'fhaodadh a bhith ann, leig leinn tilleadh gu experiment Restivo agus van de Rijt gus tuairmse a dhèanamh air a 'bhuaidh a gheibh a bhith a' faighinn sèiteadair air na tha san Wikipedia san àm ri teachd. Tha trì prìomh eileamaidean ann am frèam nan toraidhean a dh'fhaodadh a bhith ann: aonadan , leigheasan , agus builean a dh'fhaodadh a bhith ann . Ann an cùis Restivo agus van de Rijt, bha na h - aonadan ag iarraidh luchd-deasachaidh-iadsan anns a 'chiad 1% de luchd-tabhartais-nach robh fhathast air blas fhaighinn. Faodaidh sinn na deasachaidhean seo a chlàradh le \(i = 1 \ldots N\) . B 'e na leigheasan anns an deuchainn aca "barnstar" no "no barnstar," agus sgrìobhaidh mi \(W_i = 1\) ma tha duine \(i\) anns a' chùis leigheis agus \(W_i = 0\) air dhòigh eile. Is e an treas eileamaid de fhrèam toraidhean builean as cudromaiche: na builean a dh'fhaodadh a bhith ann . Tha iad sin beagan nas dualtaiche a thaobh a bhith a 'toirt a-steach toraidhean "comas" - rudan a dh'fhaodadh tachairt. Airson gach neach-deasachaidh Uicipeid, faodar smaoineachadh air an àireamh de dh 'atharrachaidhean a dhèanadh i anns an t-suidheachadh leigheis ( \(Y_i(1)\) ) agus an àireamh a dhèanadh i ann an staid smachd ( \(Y_i(0)\) ).
Thoir fa-near gu bheil an roghainn seo de dh'aonadan, leigheasan, agus builean a 'mìneachadh na ghabhas ionnsachadh bhon deuchainn seo. Mar eisimpleir, gun bheachd sam bith a bharrachd, chan urrainn dha Restivo agus van de Rijt dad a ràdh mu bhuaidhean slatan-tomhais air gach neach-deasachaidh Wikipedia no air builean leithid deasachadh càileachd. San fharsaingeachd, feumaidh an roghainn aonadan, leigheasan, agus builean a bhith stèidhichte air amasan an sgrùdaidh.
Leis na toraidhean a dh'fhaodadh a bhith ann - a tha air an geàrr-chunntas ann an clàr 4.5 - faodaidh aon dhiubh mìneachadh a dhèanamh air buaidh adhbharach an làimhseachaidh airson neach \(i\) mar
\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(4.1)\]
Dhòmhsa, is e an co-aontar seo an dòigh as fheàrr airson buaidh adhbharach a mhìneachadh, agus, ged a tha e gu math sìmplidh, tha am frèam seo a 'nochdadh gu farsaing ann an iomadh dòigh cudromach agus inntinneach (Imbens and Rubin 2015) .
| Duine | Deasachaidhean ann an staid leigheis | Deasachaidhean ann an staid smachd | Buaidh làimhseachaidh |
|---|---|---|---|
| 1 | \(Y_1(1)\) | \(Y_1(0)\) | \(\tau_1\) |
| 2 | \(Y_2(1)\) | \(Y_2(0)\) | \(\tau_2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| N | \(Y_N(1)\) | \(Y_N(0)\) | \(\tau_N\) |
| ciallachadh | \(\bar{Y}(1)\) | \(\bar{Y}(0)\) | \(\bar{\tau}\) |
Ma mhìnicheas sinn adhbharas san dòigh seo, ge-tà, bidh sinn a 'dol a-steach do dhuilgheadas. Cha mhòr nach eil a h-uile cùis, cha leig sinn leas coimhead air an dà thoradh a dh'fhaodadh a bhith ann. Is e sin, neach-deasachaidh Wikipedia gu h-àraid a 'faighinn sabhal no nach eil. Mar sin, bidh sinn a 'cumail sùil air aon de na toraidhean a dh'fhaodadh a bhith ann - \(Y_i(1)\) no \(Y_i(0)\) - chan eil an dà chuid. Is e fìor dhuilgheadas a th 'ann an neo-chomas a bhith a' cumail sùil air an dà thoradh a dh'fhaodadh a bhith ann an Holland (1986) mar an duilgheadas bunaiteach a thaobh co-dhùnadh .
Gu fortanach, nuair a tha sinn a 'dèanamh rannsachadh, chan eil dìreach aon neach againn, tha mòran dhaoine againn, agus tha seo a' tairgsinn slighe mun duilgheadas bunaiteach a thaobh co-dhùnadh. An àite a bhith a 'feuchainn ri measadh a dhèanamh air an ìre làimhseachaidh fa leth, faodaidh sinn tuairmse a dhèanamh air an ìre làimhseachaidh àbhaisteach:
\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(4.2)\]
Tha seo fhathast air a thoirt a-steach a thaobh an \(\tau_i\) a tha neo-fhreagarrach, ach le beagan algebra (Eq 2.8 de Gerber and Green (2012) ) gheibh sinn
\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(4.3)\]
Tha co-aontar 4.3 a 'sealltainn gum faod sinn tuairmse a dhèanamh air toradh cuibheasach an t-sluaigh fo leigheas ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) agus toradh cuibheasach an t-sluaigh fo smachd ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), is urrainn dhuinn tuairmse a dhèanamh air an ìre làimhseachaidh cuibheasach, eadhon gun a bhith a 'dèanamh tuairmse air an èifeachd leigheis airson duine sònraichte.
A-nis gu bheil mi air ar meas-tomhais a mhìneachadh - an rud a tha sinn a 'feuchainn ri tuairmse a dhèanamh - bidh mi a' tionndadh gu mar as urrainn dhuinn a mheasadh le dàta. Is toigh leam smaoineachadh air an dùbhlan tuairmseachaidh seo mar dhuilgheadas samplaidh (smaoinich air ais air na notaichean matamataigeach ann an caibideil 3). Smaoinich gu bheil sinn a 'taghadh cuid de dhaoine a' toirt sùil air thuaiream anns an t-suidheachadh leigheis agus bidh sinn a 'taghadh cuid de dhaoine air thuaiream a choimhead anns an staid smachd, an uairsin is urrainn dhuinn tuairmse a dhèanamh air toradh cuibheasach anns gach suidheachadh:
\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average edits, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average edits, control}} \qquad(4.4)\]
far a bheil \(N_t\) agus \(N_c\) an àireamh dhaoine anns na suidheachaidhean leigheis agus smachd. Tha co-aontachd 4.4 na eadar-dhealachadh-de-meansaiche a 'ciallachadh. Air sgàth an dealbhadh samplachadh, tha fios againn gu bheil a 'chiad teirm meadhanach neo-chlaonach airson an toradh cuibheasach fo leigheas agus tha an dàrna teirm na mheasadair neo-chlaonach fo smachd.
Is e dòigh eile air smaoineachadh mu dè a tha a 'toirt cothrom air tar-chur a-mach gu bheil e a' dèanamh cinnteach gu bheil an coimeas eadar buidhnean leigheis agus smachd cothromach air sgàth 's gu bheil cuairteachadh air-loidhne a' dèanamh cinnteach gum bi an dà bhuidheann coltach ri chèile. Tha an coltas seo coltach airson na rudan a tha sinn air tomhas (a ràdh àireamh nan deasachaidhean anns na 30 latha ron deuchainn) agus na rudan nach do thomhais sinn (a rèir gnè). Tha an comas seo gus dèanamh cinnteach gu bheil cothromachadh air factaran an dà chuid a tha air an sgrùdadh agus gun fhreagairt riatanach. Gus cumhachd a thaobh cothromachadh fèin-ghluasadach fhaicinn air factaran neo-fhreagarrach, smaoinich sinn gu bheil rannsachadh san àm ri teachd a 'faighinn a-mach gu bheil fir nas mothachail air duaisean na boireannaich. Am biodh sin a 'dèanamh deuchainn air toraidhean experimental Restivo agus van de Rijt? Àir. Às dèidh dhaibh dèanamh cinnteach, dhearbh iad gum biodh a h-uile dad neo-fhreagarrach cothromach, le dùil. Tha an dìon seo an aghaidh neo-aithnichte glè chumhachdach, agus tha e na dhòigh chudromach gu bheil deuchainnean eadar-dhealaichte bho na dòighean neo-dhearbhaidh a tha air am mìneachadh ann an caibideil 2.
A bharrachd air a bhith a 'mìneachadh an èifeachd làimhseachaidh airson sluagh gu lèir, tha e comasach buaidh leigheis a mhìneachadh airson fo-sheata de dhaoine. Mar as trice, is e seo buaidh làimhseachaidh cuibheasach coitcheann (CATE). Mar eisimpleir, anns an sgrùdadh le Restivo agus van de Rijt, smaoinich sinn gur e \(X_i\) a bheil an neach-deasachaidh os cionn no nas ìsle na àireamh meadhain nan deasachaidhean anns na 90 latha ron deuchainn. Dh'fhaodadh aon a bhith a 'cunntadh buaidh leigheis air leth airson nan luchd-deasachaidh aotrom agus trom seo.
Tha am frèam builean a dh'fhaodadh a bhith na dhòigh chumhachdach air smaoineachadh mu cho-dhùnaidhean agus deuchainnean adhbharanach. Ach, tha dà fhillteachd a bharrachd ann a bu chòir dhut a chumail an cuimhne. Gu tric, bidh an dà iom-fhillte seo air an cur còmhla fon teirm Tomhas Luach Làimhseachaidh Aonad Stàbaill (SUTVA). Is e a 'chiad phàirt de SUTVA an dùil gur e an aon rud a tha cudromach airson toradh neach \(i\) robh an neach sin ann an suidheachadh leigheis no smachd. Ann am faclan eile, thathar a 'smaoineachadh nach eil an leigheas air a thoirt do dhaoine eile a' toirt buaidh air an duine sin \(i\) . Uaireannan canar seo "gun bhuaireadh" no "gun spillovers", agus faodar a sgrìobhadh mar:
\[ Y_i(W_i, \mathbf{W_{-i}}) = Y_i(W_i) \quad \forall \quad \mathbf{W_{-i}} \qquad(4.5)\]
far a bheil \(\mathbf{W_{-i}}\) na fheart de shuidheachaidhean leigheis airson a h-uile duine ach duine \(i\) . Is e aon dhòigh gum faod seo a bhith air a bhriseadh ma tha an leigheas bho aon neach a 'dòrtadh thairis air duine eile, gu dearbh no gu h-àicheil. A 'tilleadh gu deuchainn Restivo agus van de Rijt, smaoinich air dà charaid \(i\) agus \(j\) agus tha an neach sin \(i\) faighinn sabhal agus \(j\) nach eil. Ma tha \(i\) faighinn a' bhoine-starra ag adhbhrachadh \(j\) airson barrachd a dheasachadh (a-mach à mothachadh air farpais) no nas lugha deasaich (às aonais faireachdainn), chaidh SUTVA a bhriseadh. Faodar a bhriseadh cuideachd ma tha buaidh an leigheis an crochadh air an àireamh iomlan de dhaoine eile a gheibh an leigheas. Mar eisimpleir, nam biodh Restivo agus van de Rijt air 1,000 no 10,000 crann-seallaidh a thoirt seachad an àite 100, dh'fhaodadh seo buaidh a thoirt air an t-slat-bhiast fhaighinn.
Is e an dara iris a chaidh a-steach do SUTVA an dùil gur e an aon leigheas buntainneach an aon rud a lìbhrigeas an neach-rannsachaidh; uaireannan chanar ris a 'bheachd seo gu bheil leigheasan falaichte no bacadh sam bith . Mar eisimpleir, ann an Restivo agus van de Rijt, 's dòcha gur ann le bhith a' toirt sèabar a bha na luchd-rannsachaidh ag adhbharachadh luchd-deasachaidh a bhith air an nochdadh air duilleag luchd-deasachaidh a bha measail agus gun robh e air a bhith air an duilleag luchd-deasachaidh a bha a 'còrdadh ri mòran-an àite a bhith a' faighinn blas- a dh'adhbhraich an atharrachadh ann an giùlan deasachaidh. Ma tha seo fìor, chan eil buaidh an togalaich air a chomharrachadh bho bhuaidh a bhith air duilleag deasachaidh mòr. Gu dearbh, chan eil e soilleir ma bu chòir seo a bhith air a mheas tarraingeach no mì-thlachdmhor, bho shealladh saidheansail. Is e sin, dh'fhaodadh tu smaoineachadh gu bheil neach-rannsachaidh ag ràdh gu bheil buaidh a bhith a 'faighinn sèitear a' toirt a-steach na leigheasan a tha a 'tighinn a-mach às a dhèidh a bhios an saighdear a' brosnachadh. No dh'fhaodadh tu smaoineachadh air suidheachadh far am biodh rannsachadh ag iarraidh a bhith a 'toirt a-mach buaidh slatan-tomhais bho na rudan eile sin. Is e aon dòigh air smaoineachadh mu dheidhinn seo faighneachd a bheil rud sam bith a tha a 'leantainn gu dè a tha Gerber and Green (2012) (td 41) a' gairm "briseadh sìos ann an co-chothromachd"? Ann am faclan eile, a bheil càil ach a-mhàin an leigheas a tha ag adhbharachadh dèiligeadh gu caochlaideach ri daoine san làimhseachadh agus ann an suidheachaidhean smachd? Is e draghan mu bhith a 'briseadh co-chothromachd a tha a' toirt a-steach euslainteach sa bhuidheann smachd ann an deuchainnean meidigeach gus pill-àite-placebo a ghabhail. Mar sin, faodaidh luchd-rannsachaidh a bhith cinnteach gur e an dearbh leigheas a th 'anns an aon eadar-dhealachadh eadar an dà dhuilgheadas agus nach eil an t-eòlas a bhith a' toirt a 'phìob.
Airson barrachd air SUTVA, faic earrann 2.7 de Gerber and Green (2012) , earrann 2.5 de Morgan and Winship (2014) , agus earrann 1.6 de Imbens and Rubin (2015) .
Ionnsachadh
Anns an earrann roimhe, mhìnich mi ciamar a mheasadh e buaidh làimhseachaidh cuibheasach. Anns an earrainn seo, bheir mi seachad cuid de bheachdan mu eadar-dhealachadh nan tuairmsean sin.
Ma tha thu a 'smaoineachadh mu bhith a' tuairmseachadh buaidh làimhseachaidh cuibheasach mar a bhith a 'toirt tuairmse air an eadar-dhealachadh eadar dà eisimpleir sampall, faodaidh e sealltainn gu bheil mearachd coitcheann an èifeachd leigheis cuibheasach:
\[ SE(\widehat{\text{ATE}}) = \sqrt{\frac{1}{N-1} \left(\frac{m \text{Var}(Y_i(0))}{N-m} + \frac{(N-m) \text{Var}(Y_i(1))}{m} + 2\text{Cov}(Y_i(0), Y_i(1)) \right)} \qquad(4.6)\]
far a bheil \(m\) daoine air an sònrachadh airson làimhseachadh agus \(Nm\) ri smachdachadh (faic Gerber and Green (2012) , ceist 3.4). Mar sin, nuair a tha thu a 'smaoineachadh air cia mheud duine a dh' fheumar leigheas a shònrachadh agus cia mheud a thèid a shònrachadh airson smachd a chumail, faodaidh tu fhaicinn ma tha \(\text{Var}(Y_i(0)) \approx \text{Var}(Y_i(1))\) , an uairsin tha thu airson \(m \approx N / 2\) , cho fad 'sa tha na cosgaisean airson leigheas agus smachd mar an ceudna. Tha co-aontar 4.6 a 'soilleireachadh carson a tha deuchainn a dhèanamh air Bond agus co-obraichean (2012) dearbhadh mu bhuaidh fiosrachadh sòisealta mu bhòtadh (figear 4.18) gu staitistigeach. Cuimhnich gu robh 98% de chom-pàirtichean anns a 'chùis leigheis. Bha seo a 'ciallachadh nach robh an giùlan mean air mhean anns an staid smachd air a mheasadh gu ceart mar a dh'fhaodadh a bhith, agus mar thoradh air an sin cha robh an t-eadar-dhealachadh meastaichte eadar an t-suidheachadh leigheis agus smachd air a mheas gu ceart mar a dh'fhaodadh a bhith. Airson barrachd air an riarachadh as fheàrr de chom-pàirtichean gu cumhaichean, a 'gabhail a-steach cuin a bhios cosgaisean eadar-dhealaichte eadar suidheachaidhean, faic an List, Sadoff, and Wagner (2011) .
Mu dheireadh, anns a 'phrìomh theacsa, thug mi cunntas air mar a dh'fhaodas measaidhean eadar-dhealachaidhean, a tha air a chleachdadh mar as trice ann an dealbhadh measgaichte, atharrachadh nas lugha na tomhas-measaidh eadar-dhealaichte, a tha air a chleachdadh mar as trice ann an cuspairean eadar-dhealaichte dealbhadh. Mas e \(X_i\) luach an toraidh ron leigheas, is e an tomhas a tha sinn a 'feuchainn ri tuairmse a dhèanamh leis an dòigh-obrach eadar-dhealachadh eadar-dhealaichte:
\[ \text{ATE}' = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N ((Y_i(1) - X_i) - (Y_i(0) - X_i)) \qquad(4.7)\]
Is e mearachd coitcheann na h-ìre sin (faic Gerber and Green (2012) , ceàrn 4.4)
\[ SE(\widehat{\text{ATE}'}) = \sqrt{\frac{1}{N-1} \left( \text{Var}(Y_i(0) - X_i) + \text{Var}(Y_i(1) - X_i) + 2\text{Cov}(Y_i(0) - X_i, Y_i(1) - X_i) \right)} \qquad(4.8)\]
Coimeas eadar eq. 4.6 agus cearnag. 4.8 a 'nochdadh gum bi mearachd àbhaisteach nas lugha aig an dòigh-obrach eadar-dhealachadh ann an (nuair a chì thu (faic Gerber and Green (2012) , ceist 4.6)
\[ \frac{\text{Cov}(Y_i(0), X_i)}{\text{Var}(X_i)} + \frac{\text{Cov}(Y_i(1), X_i)}{\text{Var}(X_i)} > 1\qquad(4.9)\]
Gu ìre mhòr, nuair a tha \(X_i\) gu math ro-innseach air \(Y_i(1)\) agus \(Y_i(0)\) , gheibh thu tuairmsean nas mionaidiche bho dhòigh eadar-dhealachaidh eadar-dhealaichte seach bho eadar-dhealachadh- de-ciallachadh aon. Is e aon dhòigh air smaoineachadh mu dheidhinn seo ann an co-theacsa deuchainn de Restivo agus van de Rijt gu bheil mòran atharrachaidh nàdarra ann an tomhas a tha daoine a 'deasachadh, mar sin tha seo a' dèanamh coimeas eadar an obair agus na cumhachan smachd a tha duilich: tha e duilich lorg a thoirt air càirdeas buaidh bheag ann an dàta toraidh fuaimneach. Ach ma dh 'eadar-dhealaicheas tu a-mach an eadar-dhealachadh seo a tha a' tachairt gu nàdarra, tha tòrr cho eadar-dhealaichte ann, agus tha sin ga dhèanamh nas fhasa buaidh bheag a lorg.
Faic Frison and Pocock (1992) airson coimeas ceart eadar modhan eadar-dhealachaidh eadar-dhealaichte, eadar-dhealachadh agus eadar-dhealachadh ANCOVA san t-suidheachadh nas fharsainge far a bheil iomadh tomhas ro-leigheas agus an dèidh làimhseachadh. Gu sònraichte, tha iad a 'moladh gu mòr ANCOVA, nach eil mi air a chòmhdach an seo. A bharrachd, faic McKenzie (2012) airson deasbad air cho cudromach is a tha iomadh tomhas toraidh às dèidh làimhseachadh.
