Nòtaichean matamataig
San eàrr-ràdh seo, cuiridh mi geàrr-chunntas air cuid de bheachdan mu bhith a 'dèanamh co-dhùnaidhean adhbharach bho dàta neo-dheuchainneach ann an cruth beagan nas matamataigeach. Tha dà phrìomh dhòigh-obrach ann: frèam grafa adhbharach, a 'chuid as motha ceangailte ri Judea Pearl agus co-obraichean, agus an fhrèam builean a dh'fhaodadh a bhith, a tha co-cheangailte ri Dòmhnall Rubin agus co-obraichean. Bheir mi a-steach am frèam builean a dh'fhaodadh a bhith ann oir tha e nas dlùithe ceangailte ris na beachdan anns na notaichean matamataig aig deireadh caibideil 3 agus 4. Airson barrachd air frèam grafaichean adhbharach, tha mi a 'moladh Pearl, Glymour, and Jewell (2016) (tòiseachaidh ) agus Pearl (2009) (adhartach). Airson làimhseachadh fad leabhair air co-dhùnadh cùiseil a tha a 'dèanamh a-steach frèam nan toraidhean a dh'fhaodadh a bhith ann agus frèam grafa adhbharach, tha mi a' moladh Morgan and Winship (2014) .
Is e amas na h-aplacaid seo do chuideachadh le bhith cofhurtail le comharradh agus stoidhle traidisean toraidhean a dh'fhaodadh a bhith comasach gus an urrainn dhut gluasad gu cuid de na stuthan teicnigeach a tha sgrìobhte air a 'chuspair seo. An toiseach, bheir mi cunntas air frèam nan toraidhean a dh'fhaodadh a bhith ann. An uairsin, cleachdaidh mi e gus tuilleadh deuchainnean nàdarra a dheasbad mar an tè le Angrist (1990) air buaidh seirbheis armailteach air tuarastalan. Bidh an eàrr-ràdh seo a 'tarraing gu mòr air Imbens and Rubin (2015) .
Frèam builean a dh'fhaodadh a bhith ann
Tha trì prìomh eileamaidean ann am frèam nan toraidhean a dh'fhaodadh a bhith ann: aonadan , leigheasan , agus builean a dh'fhaodadh a bhith ann . Gus na h-eileamaidean sin a dhealbhadh, smaoinich sinn air dreach stoidhle den cheist air an deach dèiligeadh ann an Angrist (1990) : Dè a 'bhuaidh a tha aig seirbheis armailteach air tuarastalan? Anns a 'chùis seo, faodaidh sinn na h - aonadan a mhìneachadh mar dhaoine a tha airidh air dreachd 1970 sna Stàitean Aonaichte, agus is urrainn dhuinn na daoine sin a chlàradh le \(i = 1, \ldots, N\) . Faodaidh na leigheasan sa chùis seo a bhith "a 'frithealadh anns an arm" no "nach eil a' frithealadh anns an arm." Canaidh mi na cumhaichean leigheis agus smachd seo, agus sgrìobhaidh mi \(W_i = 1\) ma tha duine \(i\) anns a 'chùis leigheis agus \(W_i = 0\) ma tha neach \(i\) anns a' chumha smachd. Mu dheireadh, tha na builean a dh'fhaodadh a bhith nas duilghe a thaobh bun-bheachd seach gu bheil builean "comas" aca; rudan a dh'fhaodadh a bhith air tachairt. Airson gach neach a tha airidh air dreachd 1970, is urrainn dhuinn smaoineachadh air an suim a bhiodh iad air a chosnadh ann an 1978 ma bha iad a 'frithealadh anns an arm, agus cuiridh mi \(Y_i(1)\) agus an sùim a bhiodh iad air a chosnadh 1978 mura robh iad a 'frithealadh anns an arm, rud a ghairm mi \(Y_i(0)\) . Anns an fhrèam toraidhean builean, thathas a 'meas gu bheil \(Y_i(1)\) agus \(Y_i(0)\) suidhichte, ged a tha \(W_i\) na atharrachadh air thuaiream.
Tha an roghainn aonadan, leigheasan, agus builean riatanach seach gu bheil e a 'mìneachadh dè as urrainn agus nach urrainn a bhith air ionnsachadh bhon sgrùdadh. Chan eil roghainn nan aonadan - daoine a tha airidh air dreachd 1970 - a 'gabhail a-steach boireannaich, agus mar sin gun bheachd sam bith eile, cha toir an sgrùdadh seo dhuinn dad sam bith mu bhuaidh seirbheis armailteach air boireannaich. Tha co-dhùnaidhean mu mar a mhìnicheas tu leigheasan agus builean cudromach cuideachd. Mar eisimpleir, am bu chòir dèiligeadh ri ùidh a bhith a 'cuimseachadh air a bhith a' frithealadh san armachd no a 'fulang le sabaid? Am bu chòir toradh an ùidh a bhith air cosnadh no riarachadh obrach? Aig a 'cheann thall, bu chòir roghainn aonadan, leigheasan, agus builean a bhith air an stiùireadh le amasan saidheansail agus poileasaidh an sgrùdaidh.
Leis na roghainnean aonadan, leigheasan, agus builean a dh'fhaodadh a bhith ann, tha buaidh adhbharach an leigheis air pearsa \(i\) , \(\tau_i\) , is
\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]
Ann am faclan eile, tha sinn a 'coimeas dè an ìre a bhiodh duine \(i\) air a chosnadh às deidh dha a bhith a' frithealadh dè an ìre a bhiodh duine \(i\) air a chosnadh gun a bhith a 'frithealadh. Dhòmhsa, ceist. Is e 2.1 an dòigh as fheàrr airson buaidh adhbharach a mhìneachadh, agus ged a tha e gu math sìmplidh, tha am frèam seo a 'nochdadh gu farsaing ann an iomadh dòigh cudromach agus inntinneach (Imbens and Rubin 2015) .
Nuair a bhios mi a 'cleachdadh frèam nan toraidhean a dh'fhaodadh a bhith feumail, bidh e feumail dhomh gu tric clàr a sgrìobhadh a tha a' sealltainn nam builean a dh'fhaodadh a bhith ann agus na buaidhean leigheis airson gach aonad (clàr 2.5). Mura h-urrainn dhut smaoineachadh air clàr mar seo airson do sgrùdadh, is dòcha gum feum thu a bhith nas mionaidiche anns na mìneachaidhean agad mu na h-aonadan agad, na leigheasan agad, agus na builean a dh'fhaodadh a bhith agad.
| Duine | Airgead ann an staid leigheis | Buannachdan ann an staid smachd | Buaidh làimhseachaidh |
|---|---|---|---|
| 1 | \(Y_1(1)\) | \(Y_1(0)\) | \(\tau_1\) |
| 2 | \(Y_2(1)\) | \(Y_2(0)\) | \(\tau_2\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | \(Y_N(0)\) | \(\tau_N\) |
| Mean | \(\bar{Y}(1)\) | \(\bar{Y}(0)\) | \(\bar{\tau}\) |
Nuair a tha sinn a 'mìneachadh an adhbharan adhbharach san dòigh seo, ge-tà, bidh sinn a' dol an sàs ann an duilgheadas. Cha mhòr nach eil a h-uile cùis, cha leig sinn leas coimhead air an dà thoradh a dh'fhaodadh a bhith ann. Is e sin, neach sònraichte a thug seirbheis seachad no nach do rinn e seirbheis. Mar sin, bidh sinn a 'cumail sùil air aon de na toraidhean a dh'fhaodadh a bhith ann - \(Y_i(1)\) no \(Y_i(0)\) - chan eil an dà chuid. Is e fìor dhuilgheadas a th 'ann an neo-chomas a bhith a' cumail sùil air an dà thoradh a dh'fhaodadh a bhith ann an Holland (1986) mar an duilgheadas bunaiteach a thaobh co-dhùnadh .
Gu fortanach, nuair a tha sinn a 'dèanamh rannsachadh, chan eil ach aon neach againn; an àite sin, tha mòran dhaoine againn, agus tha seo a 'tairgsinn slighe timcheall air a' Cheist Bunaiteach air Co-dhùnadh Cunnartach. An àite a bhith a 'feuchainn ri measadh làimhseachaidh fa leth a mheas, faodaidh sinn tuairmse a dhèanamh air an ìre làimhseachaidh àbhaisteach airson gach aonad:
\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]
Tha an co-aontar seo fhathast air a chur an cèill a thaobh an \(\tau_i\) , a tha neo-fhreagarrach, ach le beagan algebra (me 2.8 de Gerber and Green (2012) ), gheibh sinn
\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]
Tha seo a 'sealltainn gum faod sinn tuairmse a dhèanamh air toradh cuibheasach an t-sluaigh fo leigheas ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) agus toradh cuibheasach an t-sluaigh fo smachd ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), is urrainn dhuinn tuairmse a dhèanamh air an ìre làimhseachaidh cuibheasach, eadhon gun a bhith a 'dèanamh tuairmse air an èifeachd leigheis airson duine sònraichte.
A-nis gu bheil mi air ar meas-tomhais a mhìneachadh - an rud a tha sinn a 'feuchainn ri tuairmse a dhèanamh - bidh mi a' tionndadh gu mar as urrainn dhuinn a mheasadh le dàta. Agus an seo tha sinn a 'ruith dìreach a-steach don duilgheadas nach eil sinn a' coimhead ach aon de na toraidhean a dh'fhaodadh a bhith ann airson gach neach; chì sinn an dara cuid \(Y_i(0)\) no \(Y_i(1)\) (clàr 2.6). Dh'fhaodadh sinn tuairmse a dhèanamh air an obair làimhseachaidh cuibheasach le bhith a 'dèanamh coimeas eadar cosnadh dhaoine a bha a' toirt cosnadh do dhaoine nach robh a 'frithealadh:
\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]
far a bheil \(N_t\) agus \(N_c\) an àireamh dhaoine anns na suidheachaidhean leigheis agus smachd. Obraichidh an dòigh-obrachaidh seo gu math ma tha an obair leigheis neo-eisimeileach air na builean a dh'fhaodadh a bhith ann, gu bheil corra uair ris an canar neo-eisimeileachd. Gu mì-fhortanach, às aonais deuchainn, chan eil teagamh nach eil e riaraichte gu tric, rud a tha a 'ciallachadh gu bheil am measaidhean ann an ceist. 2.4 chan eil e buailteach tuairmse math a thoirt seachad. Is e aon dòigh air smaoineachadh mu dheidhinn seo gun a bhith a 'toirt seachad leigheas air thuaiream, mar a tha e. 2.4 nach eil a 'dèanamh coimeas coltach ris a leithid; tha e a 'dèanamh coimeas eadar cosnadh diofar sheòrsaichean dhaoine. No air a ràdh gu bheil e beagan eadar-dhealaichte, gun a bhith a 'dèanamh leigheas air thuaiream, is dòcha gu bheil an roinn leigheis co-cheangailte ri builean a dh'fhaodadh a bhith ann.
Ann an caibideil 4, bheir mi cunntas air mar a bheir deuchainnean fo smachd air a 'chùrsa cuideachadh do luchd-rannsachaidh a bhith a' dèanamh tuairmsean adhbharach, agus an seo bheir mi cunntas air mar a dh'fhaodas luchd-rannsachaidh buannachd fhaighinn de dheuchainnean nàdarra, leithid an dreachd crannchur.
| Duine | Airgead ann an staid leigheis | Buannachdan ann an staid smachd | Buaidh làimhseachaidh |
|---|---|---|---|
| 1 | ? | \(Y_1(0)\) | ? |
| 2 | \(Y_2(1)\) | ? | ? |
| \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(N\) | \(Y_N(1)\) | ? | ? |
| Mean | ? | ? | ? |
Deuchainnean nàdurrach
Is e aon dòigh-obrach airson tuairmsean adhbharach a dhèanamh gun deuchainn a dhèanamh a bhith a 'lorg rudeigin a tha a' tachairt san t-saoghal a tha air leigheas a thoirt dhut air thuaiream. Canar deuchainnean nàdarra ris an dòigh-obrach seo. Ann an iomadh suidheachadh, gu mì-fhortanach, chan eil nàdar a 'toirt seachad an leigheas a tha thu ag iarraidh don t-sluagh a tha inntinneach. Ach uaireannan, bidh nàdar air thuaiream a 'toirt seachad leigheas co-cheangailte. Gu h-àraidh, beachdaichidh mi air a 'chùis far a bheil cuid de dh' àrd-sgoil a tha a 'brosnachadh dhaoine gus a' phrìomh làimhseachadh fhaighinn . Mar eisimpleir, dh'fhaodadh an dreachd a bhith air a mheas mar leigheas àrd-sgoile air a thoirt seachad air thuaiream a bhrosnaich cuid de dhaoine gus a 'phrìomh làimhseachadh a ghabhail, a bha a' frithealadh san arm. Tha an dealbhadh seo uaireannan air ainmeachadh mar dhealbhadh brosnachaidh . Agus anailis dòigh mi cunntas a làimhseachadh suidheachadh seo tha uaireannan ris an canar ionnsramaid caochladairean. Anns an t-suidheachadh seo, le cuid de bheachdan, faodaidh luchd-rannsachaidh am brosnachadh a chleachdadh gus ionnsachadh mu bhuaidh a 'phrìomh-làimhseachaidh airson fo-aonadan sònraichte de dh'aonadan.
Gus an dà leigheas eadar-dhealaichte a làimhseachadh - an brosnachadh agus a 'phrìomh làimhseachadh - bidh feum againn air comharran ùr. A dh 'aindeoin gu bheil cuid de dhaoine air an dreach air thuaiream ( \(Z_i = 1\) ) no gun dragh ( \(Z_i = 0\) ); anns an t-suidheachadh seo, uaireannan canar \(Z_i\) ionnstramaid .
Am measg an fheadhainn a chaidh an dreach, bha cuid a 'frithealadh ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) agus cha do rinn cuid ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) ). Mar an ceudna, am measg an fheadhainn nach deach an dreachadh, bha cuid a 'frithealadh ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) agus cha robh cuid ( \(Z_i = 0, W_i = 0\) ). Faodar na toraidhean a dh'fhaodadh a bhith ann airson gach neach a-nis a leudachadh gus an inbhe aca a shealltainn airson an dà chuid brosnachaidh agus an leigheas. Mar eisimpleir, is e \(Y(1, W_i(1))\) bhith na chosnaidhean neach \(i\) ma chaidh a dhreachadh, far a bheil \(W_i(1)\) na inbhe seirbheis ma thèid a dhealbh. A bharrachd, faodaidh sinn an àireamh-sluaigh a roinn ann an ceithir buidhnean: co-chòrdairean, luchd-dìon a-riamh, luchd-dìon, agus luchd-tagraidh an-còmhnaidh (bòrd 2.7).
| Seòrsa | Seirbheis ma thèid a dhealbh | Seirbheis mura h-eil e air a dhealbh |
|---|---|---|
| Gearanan | Tha, \(W_i(Z_i=1) = 1\) | Chan e, \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| Na luchdaich a-steach a-riamh | Chan e, \(W_i(Z_i=1) = 0\) | Chan e, \(W_i(Z_i=0) = 0\) |
| Luchd-dùbhlain | Chan e, \(W_i(Z_i=1) = 0\) | Tha, \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
| Luchd-tagraidh daonnan | Tha, \(W_i(Z_i=1) = 1\) | Tha, \(W_i(Z_i=0) = 1\) |
Mus bruidhinn sinn air a bhith a 'dèanamh tuairmse air buaidh a' leigheis (ie, seirbheis armailteach), is urrainn dhuinn an toiseach dà bhuaidh bhon mhisneachadh a mhìneachadh (ie, ga dhealbh). An toiseach, is urrainn dhuinn mìneachadh a dhèanamh air buaidh a 'brosnachadh air a' phrìomh dhìol. San dàrna àite, is urrainn dhuinn mìneachadh a dhèanamh air buaidh a 'brosnachadh air a' bhuil. Nì e a-mach gum faod an dà bhuaidh seo a bhith air an toirt còmhla gus tuairmse a thoirt seachad air buaidh an leigheis air buidheann sònraichte de dhaoine.
An toiseach, faodar buaidh an brosnachaidh air leigheas a mhìneachadh airson neach \(i\) mar
\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]
A bharrachd, faodar an àireamh seo a mhìneachadh thar an t-sluaigh gu lèir
\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]
Mu dheireadh, is urrainn dhuinn tuairmse a dhèanamh air \(\text{ITT} _{W}\) cleachdadh dàta:
\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]
far a bheil \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) an ìre leigheis a chaidh a sgrùdadh dhaibhsan a chaidh a bhrosnachadh agus \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) an ìre leigheis a chaidh a sgrùdadh dhaibhsan nach deach a bhrosnachadh. \(\text{ITT}_W\) uaireannan canar ris an ìre gabhail .
An ath rud, faodar buaidh an brosnachaidh air a 'bhuil a mhìneachadh airson neach \(i\) mar:
\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]
A bharrachd, faodar an àireamh seo a mhìneachadh thar an t-sluaigh gu lèir
\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]
Mu dheireadh, is urrainn dhuinn tuairmse a dhèanamh air \(\text{ITT}_{Y}\) cleachdadh dàta:
\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]
far a bheil \(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) an toradh a chaidh a sgrùdadh (me, cosnadh) dhaibhsan a chaidh a bhrosnachadh (me, dreach) agus \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) an toradh a chaidh a shealltainn dhaibhsan nach deach a bhrosnachadh.
Mu dheireadh, bidh sinn a 'toirt aire dhuinn a thaobh buaidh ùidh: buaidh a' phrìomh làimhseachaidh (me, seirbheis armailteach) air a 'bhuil (me, tuarastal). Gu mì-fhortanach, tha e coltach nach urrainn, san fharsaingeachd, tuairmse a dhèanamh air a 'bhuaidh seo air gach aonad. Ach, le cuid de bheachd-smuaintean, faodaidh luchd-rannsachaidh tuairmse a dhèanamh air buaidh an làimhseachaidh air co-chòrdairean (ie, daoine a bhios a 'frithealadh ma thèid an dreachadh agus daoine nach dèan seirbheis mura h-eil iad air an dreachadh, clàr 2.7). Bidh mi a 'gairm an t-tuairmse seo mar thoradh air buaidh adhbharach cuibheasach (CACE) (ris an canar uaireannan buaidh làimhseachaidh cuibheasach ionadail , LATE):
\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]
far a bheil \(G_i\) toirt seachad a' bhuidheann neach \(i\) (faic clàr 2.7) agus \(N_{\text{co}}\) an àireamh de luchd-co-chòrdail. Ann am faclan eile, eq. 2.11 a 'dèanamh coimeas eadar cosnadh luchd-co-chòrdail a tha air an dreachadh \(Y_i(1, W_i(1))\) agus gun dreachadh \(Y_i(0, W_i(0))\) . An tuairmse ann an ceàrnag. 2.11 tha e duilich a bhith air a mheas bho dàta a chaidh a sgrùdadh oir chan eil e comasach com-pàirtichean aithneachadh le bhith a 'cleachdadh dàta a chaidh a sgrùdadh (airson fios a bhith agad ma tha cuideigin a' tighinn gu co-chòrdadh, dh'fheumadh tu coimhead a-mach an robh e an làthair nuair a chaidh a dhealbh agus an robh e an làthair nuair nach deach a dhreachadh).
Tha e coltach gu bheil e iongantach - ma tha co-chòrdairean ann, an uairsin gu bheil aon a 'toirt trì barailean a bharrachd, tha e comasach tuairmse a dhèanamh air CACE bho dhàta a chaidh a sgrùdadh. An toiseach, feumaidh fear a bhith a 'gabhail ris gu bheil an obair airson an leigheas air thuaiream. Ann an cùis an dreachd crannchur tha seo reusanta. Ach, ann an cuid de shuidheachaidhean far nach bi deuchainnean nàdarra an urra ri tar-tharraing corporra, dh'fhaodadh gum bi an dùil seo nas duilghe. Anns an dàrna àite, feumaidh fear a bhith a 'gabhail ris nach eil iad a' dìon orra (uaireannan canar gu bheilear a 'gabhail ris a' bheachd gu bheil an t-amas monotonicity cuideachd). Ann an co-theacs an dreachd, tha e coltach gu bheil e reusanta a bhith a 'gabhail ris nach eil mòran dhaoine ann nach dèan seirbheis dhaibh ma thèid an dreachadh agus nach bi iad air an dreachadh. San treas àite, agus mu dheireadh, thig am beachd as cudromaiche ris an canar cuingealachadh às - dùnadh . Fon cuingealachadh às-dùnadh, feumaidh fear a bhith a 'gabhail ris gu bheil a h-uile buaidh aig an leigheas fhèin a' dol tron leigheas fhèin. Ann am faclan eile, feumaidh fear a bhith den bheachd nach eil buaidh dhìreach air brosnachadh air builean. Ann an cùis an dreachd den chrannchur, mar eisimpleir, feumaidh aon a bhith den bheachd nach eil buaidh aig inbhe dragh air cosnadh ach a-mhàin tro sheirbheis armailteach (figear 2.11). Dh'fhaodadh an cuingealachadh às-dùnadh a bhith air a bhriseadh nam biodh daoine, a chaidh an dreachd, a 'cosg barrachd ùine san sgoil gus seirbheis a sheachnadh no ma bha luchd-fastaidh cho buailteach daoine a bha air an dreachdadh fhastadh.
Figear 2.11: Tha an cuingealachadh às-dùnadh ag iarraidh gum bi buaidh aig an brosnachadh (dreachd crannchur) air a 'bhuil (cosnadh) a-mhàin tron leigheas (seirbheis armachd). Dh'fhaodadh an cuingealachadh às-dùnadh a bhith air a bhriseadh nam biodh, mar eisimpleir, daoine a chaidh an dreachd a 'cosg barrachd ùine san sgoil gus seirbheis a sheachnadh agus gun tàinig an ùine a bharrachd seo san sgoil gu cosnadh nas àirde.
Ma thèid coinneachadh ris an trioblaid seo (thèid cur-seachadan air thuaiream gu làimhseachadh, gun luchd-dìon, agus an cuingealachadh às-dùnadh), an uairsin
\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]
mar sin is urrainn dhuinn tuairmse a dhèanamh air CACE:
\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]
Is e aon dòigh air smaoineachadh air CACE gur e an t-eadar-dhealachadh a th 'ann am builean eadar an fheadhainn a chaidh a bhrosnachadh agus an fheadhainn nach deach a bhrosnachadh, air an luadhadh leis an ìre gabhail.
Tha dà uaimheas cudromach ann airson cuimhneachadh. An toiseach, tha an cuingealachadh às-dùnadh na fhianais làidir, agus feumar a bhith air a dhearbhadh air stèidh cùis-air-cùis, a bhios tric a 'feumachdainn eòlas cuspair. Chan urrainnear bacadh a chur air cuingealachadh às-dùnadh le bhith a 'toirt a-mach a' bhrosnachadh air thuaiream. Anns an dàrna àite, thig dùbhlan practaigeach cumanta le anailis caochlaideach ionnsramaidean nuair nach eil mòran buaidh aig an spreagadh air cleachdadh làimhseachaidh (nuair a tha \(\text{ITT}_W\) beag). Canar inneal lag air an seo , agus tha e a 'leantainn gu diofar dhuilgheadasan (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) . Is e aon dhòigh air smaoineachadh air an duilgheadas le ionnsramaidean lag is urrainn do \(\widehat{\text{CACE}}\) a bhith mothachail air claonadh beaga ann an \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) - air sgàth briseadh air a 'chuingealachadh às-dùnadh - a chionn' s gu bheil na biasan sin air an àrdachadh le beag \(\widehat{\text{ITT}_W}\) (faic ceist 2.13). Gu ìre mhòr, mura h-eil buaidh mhòr aig an leigheas a tha ann an nàdar air an leigheas a tha fo ur cùram, bidh ùine chruaidh agad a bhith ag ionnsachadh mun leigheas a tha fo ur cùram.
Faic caibideil 23 agus 24 de Imbens and Rubin (2015) airson dreach nas foirmeile den deasbad seo. Mar as trice tha an dòigh-obrach traidiseanta eaconetrig mu chaochlaidhean ionnsramaidean air a chur an cèill a thaobh tuairmsean co-aontaran, chan e builean a dh'fhaodadh a bhith ann. Airson ro-ràdh bhon shealladh eile seo, faic Angrist and Pischke (2009) , agus airson coimeas eadar an dà dhòigh-obrach, faic earrann 24.6 de Imbens and Rubin (2015) . Tha taisbeanadh eile, nach eil cho foirmeil de dhòigh-caochlaideach ionnsramaidean air a thoirt seachad ann an caibideil 6 de Gerber and Green (2012) . Airson barrachd air cuingealachadh às-dùnadh, faic D. Jones (2015) . Aronow and Carnegie (2013) toirt cunntas air seata bharrachd de bheachdan a dh'fhaodar a chleachdadh airson tuairmse a dhèanamh air ATE seach CACE. Airson barrachd air mar a dh'fhaodas deuchainnean nàdarra a bhith gu math duilich a mhìneachadh, faic Sekhon and Titiunik (2012) . Airson ro-ràdh nas fharsainge de dheuchainnean nàdarra - tha aon a tha a 'dol seachad dìreach dìreach air an dòigh-dèiligidh eadar-dhealaichte air ionnsramaidean a bhith a' gabhail a-steach dealbhadh mar a bhith a 'tighinn gu crìch a-rithist - faic Dunning (2012) .
