Nótaí matamaitice

San aguisín seo, déanfaim achoimre ar roinnt smaointe maidir le toradh cúisíoch a dhéanamh ó shonraí neamhthuirgiúla i bhfoirm beagán níos mó matamaiticiúla. Tá dhá phríomh-chur chuige ann: an creat grafach cúiseach, an chuid is mó a bhaineann le Judea Pearl agus comhghleacaithe, agus an creat torthaí féideartha, is mó a bhaineann le Donald Rubin agus le comhghleacaithe. Tabharfaidh mé isteach an chreat torthaí féideartha mar go bhfuil sé nasctha go dlúth leis na smaointe sna nótaí matamaitice ag deireadh chaibidil 3 agus 4. Le haghaidh níos mó ar an gcreat graif chúise, molaim Pearl, Glymour, and Jewell (2016) ( Pearl, Glymour, and Jewell (2016) ) agus Pearl (2009) (chun cinn). Chun cóireáil fhadleabhar ar thorthaí cúisimh a chomhcheanglaíonn an creat torthaí féideartha agus an creat grafa cúise, molaim Morgan and Winship (2014) .

Is é cuspóir an aighne seo ná cuidiú leat compordach a fháil le nodaireacht agus stíl thraidisiún na dtorthaí féideartha ionas gur féidir leat aistriú chuig cuid den ábhar níos teicniúla atá scríofa ar an ábhar seo. Ar dtús, cuirfidh mé síos ar an gcreat torthaí féideartha. Ansin úsáidfidh mé é chun plé a dhéanamh ar thurgnaimh nádúrtha a thuilleadh ag Angrist (1990) ar éifeacht na seirbhíse míleata ar thuilleamh. Tarraingíonn an t-aguisín go mór ar Imbens and Rubin (2015) .

Creat torthaí féideartha

Tá trí phríomhghné ag an gcreat torthaí féideartha: aonaid , cóireálacha , agus torthaí féideartha . D'fhonn na heilimintí seo a léiriú, tabhair faoi deara leagan stílithe den cheist a tugadh isteach in Angrist (1990) : Céard é éifeacht na seirbhíse míleata ar thuilleamh? Sa chás seo, is féidir linn na haonaid a shainmhíniú mar dhaoine atá incháilithe do dhréacht 1970 sna Stáit Aontaithe, agus is féidir linn na daoine seo a innéacs trí \(i = 1, \ldots, N\) . Is féidir leis na cóireálacha sa chás seo "a bheith ag freastal sa mhíleata" nó "gan freastal sa mhíleata." \(W_i = 1\) mé na coinníollacha cóireála agus rialaithe seo, agus scríobhfaidh mé \(W_i = 1\) má tá duine \(i\) sa riocht cóireála agus \(W_i = 0\) má tá duine \(i\) i riocht rialaithe. Mar fhocal scoir, tá na torthaí féideartha beagán níos deacra go coincheapúil toisc go mbíonn torthaí "féidearthacha" acu; rudaí a d'fhéadfadh a bheith tarlaithe. I gcás gach duine atá incháilithe le haghaidh dréacht na bliana 1970, is féidir linn an méid a thuillfeadh siad i 1978 a shamhlú má sheirbheáil siad san arm míleata, agus \(Y_i(1)\) mé \(Y_i(1)\) , agus an méid a gheobhaidh siad i 1978 mura bhfreastail siad san arm míleata, agus \(Y_i(0)\) mé \(Y_i(0)\) . I gcreat na dtorthaí féideartha, meastar go bhfuil méideanna seasta \(Y_i(1)\) agus \(Y_i(0)\) , agus is é \(W_i\) athróg randamach.

Tá rogha na n-aonad, na cóireálacha agus na torthaí ríthábhachtach toisc go sainmhíníonn sé cad is féidir agus nach féidir a fhoghlaim ón staidéar. Ní chuimsíonn rogha na n-aonad-daoine atá incháilithe do dhréacht na bliana 1970 - mná, agus mar sin gan boinn tuisceana breise, ní chuirfidh an staidéar seo in iúl dúinn faoi éifeacht na seirbhíse míleata ar mhná. Tá cinntí maidir le conas cóireálacha agus torthaí a shainmhíniú tábhachtach chomh maith. Mar shampla, ba cheart go ndéileálfaí ar chóireáil an úis ar fhónamh sa chomhrac in aghaidh na míleata nó a bheith ag fulaingt? Ar chóir toradh an tsuim a bheith ar thuilleamh nó ar shásamh an phoist? Ar deireadh thiar, ba cheart go dtiocfadh na haonaid, na cóireálacha agus na torthaí a threorú trí spriocanna eolaíocha agus beartais an staidéir.

I bhfianaise roghanna aonad, cóireálacha, agus torthaí féideartha, is é éifeacht cúiseach na cóireála ar dhuine \(i\) , \(\tau_i\) , ná

\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]

I bhfocail eile, déanfaimid comparáid idir cé mhéid duine a d' \(i\) tar éis dó a bheith ag freastal ar cé mhéad duine a d' \(i\) gan freastal. Domsa, mar sin. Is é 2.1 an bealach is gaire chun éifeacht cúiseach a shainmhíniú, agus cé go bhfuil sé thar a bheith simplí, bíonn an creat seo i gceist go ginearálta i go leor bealaí tábhachtacha agus suimiúla (Imbens and Rubin 2015) .

Agus an creat torthaí féideartha á úsáid agam, is minic a fhaigheann sé cabhrach tábla a scríobh a léiríonn na torthaí féideartha agus na héifeachtaí cóireála do na haonaid go léir (tábla 2.5). Mura bhfuil tú in ann tábla mar seo a shamhlú le haghaidh do chuid staidéir, b'fhéidir go mbeadh ort a bheith níos cruinne i do shainmhínithe ar na haonaid, na cóireálacha agus na torthaí féideartha.

Agus an éifeacht cúisiúil á shainiú ar an mbealach seo, áfach, bíonn fadhb againn. I mbeagnach gach cás, ní fheicimid na torthaí féideartha a urramú. Is é sin ná duine a sheirbheáil nó nach ndearna sé freastal air. Dá bhrí sin, breathnaímid ar cheann de na torthaí féideartha- \(Y_i(1)\) nó \(Y_i(0)\) - níl an dá rud. Is fadhb mhór é an neamhábaltacht chun na torthaí féideartha a urramú agus d'iarr an Holland (1986) an Fadhb Bunúsach ar Thosca Cúisimh .

Ar an drochuair, nuair atá taighde á dhéanamh againn, níl aon duine amháin againn; Ina áit sin, tá mórán daoine againn, agus cuireann sé seo ar bhealach ar fud an Fadhb Bunúsach ar Thorthaí Causach. In ionad iarracht a dhéanamh an éifeacht cóireála ar leibhéal aonair a mheas, is féidir linn meastachán a dhéanamh ar an éifeacht meánchóireála do gach aonad:

\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]

Tá an chothromóid seo in iúl fós i dtéarmaí an \(\tau_i\) , nach bhfuil inobservable, ach le roinnt ailgéabar (eq 2.8 de Gerber and Green (2012) ), gheobhaimid

\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]

Léiríonn sé seo, más féidir linn meastachán a dhéanamh ar thorthaí an mheáin daonra faoi chóireáil ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) agus an toradh meán daonra faoi rialú ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), ansin is féidir linn an éifeacht cóireála meán a mheas, fiú gan an éifeacht cóireála a mheas d'aon duine áirithe.

Anois go ndearna mé sainmhíniú ar ár meastachán-an rud atá á lorg againn a mheas - beidh sé ag dul go dtí conas is féidir linn meastachán a dhéanamh air i ndáiríre le sonraí. Agus ritheann muid anseo go díreach isteach sa fhadhb nach ndéanaimid ach ceann de na torthaí féideartha do gach duine a urramú; feicimid ceachtar \(Y_i(0)\) nó \(Y_i(1)\) (tábla 2.6). D'fhéadfaimis meastachán a dhéanamh ar an meán-éifeacht cóireála trí chomparáid a dhéanamh ar thuilleamh na ndaoine a sheirbheáil le tuillimh daoine nach raibh freastal orthu:

\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]

i gcás inarb é \(N_t\) agus \(N_c\) líon na ndaoine sna coinníollacha cóireála agus rialaithe. Oibreoidh an cur chuige seo go maith má tá an sannadh cóireála neamhspleách ar thorthaí féideartha, coinníoll nach dtugtar inbhuanaitheacht air uaireanta. Ar an drochuair, in éagmais turgnamh, níl neamhbhuaiteacht sásta go minic, rud a chiallaíonn go bhfuil an meastóir in eq. Ní dóigh go mbeidh meastachán maith ar 2.4. Is é bealach amháin chun smaoineamh air ná go n-éagmais sannadh cóireála randamach, eq. 2.4 nach bhfuil cosúil le cosúil leis; tá sé ag comparáid tuillimh cineálacha éagsúla daoine. Nó in iúl go bhfuil sé beagán difriúil, gan sannadh cóireála randamach, is dócha go mbaineann an leithdháileadh cóireála le torthaí féideartha.

I gcaibidil 4, cuirfidh mé síos ar conas is féidir le turgnaimh faoi rialú rialaithe randamach cabhrú le taighdeoirí meastacháin chúiseacha a dhéanamh, agus anseo cuirfidh mé síos ar conas is féidir le taighdeoirí leas a bhaint as turgnaimh nádúrtha, mar shampla an dréachtchrannchur.

Turgnaimh nádúrtha

Is é an cur chuige amháin maidir le meastacháin chúiseacha a dhéanamh gan turgnamh a reáchtáil ná rud éigin a bheith ag tarlú ar fud an domhain a thug cóireáil duit duit go randamach. Tugtar turgnaimh nádúrtha ar an gcur chuige seo. I go leor cásanna, ar an drochuair, ní thugann an nádúr an chóireáil a theastaíonn uait don daonra spéise a sheachadadh go randamach. Ach uaireanta, tugann an cineál cóireáil a bhaineann le chéile go randamach. Go háirithe, breithneoidh mé an cás ina bhfuil roinnt cóireála tánaisteach a spreagann daoine chun an phríomhchóireáil a fháil . Mar shampla, d'fhéadfaí an dréacht a mheas mar chóireáil thánaisteach a bhí sannadh go randamach a spreag daoine áirithe chun an phríomhchóireáil a ghlacadh, a bhí ag freastal ar an míleata. Tugtar dearadh spreagadh ar an dearadh seo uaireanta. Agus is minic a dtugtar athróg ionstraimí ar an modh anailíse a chuirfidh mé síos chun an staid seo a láimhseáil. Sa suíomh seo, le roinnt boinn tuisceana, is féidir le taighdeoirí an spreagadh a úsáid chun foghlaim faoin éifeacht a bhaineann leis an gcóireáil phríomha le haghaidh fo-aonad áirithe d'aonaid.

D'fhonn an dá chóireáil éagsúil a láimhseáil - an spreagadh agus an príomhchóireáil - ní mór dúinn roinnt nóta nua. Cuir isteach go bhfuil roinnt daoine dréachtaithe go randamach ( \(Z_i = 1\) ) nó nach bhfuil dréachtaithe ( \(Z_i = 0\) ); Sa chás seo, is minic a dtugtar \(Z_i\) ionstraim .

I measc na ndaoine a dréachtaíodh, sheirbheáil roinnt ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) agus ní raibh roinnt ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) ). Ar an gcuma chéanna, d'fhreastail roinnt díobh ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) agus ní raibh cuid acu ( \(Z_i = 0, W_i = 0\) ). Is féidir na torthaí féideartha do gach duine a leathnú anois chun a stádas a thaispeáint don spreagadh agus don chóireáil araon. Mar shampla, lig \(Y(1, W_i(1))\) an tuilleamh duine \(i\) má dréachtaíodh é, áit a bhfuil \(W_i(1)\) a stádas seirbhíse má dhréachtaítear é. Thairis sin, is féidir linn an daonra a roinnt i gceithre ghrúpa: comhlíontóirí, neamhchabhálaithe, defiers, agus lucht leanúna i gcónaí (tábla 2.7).

Sula ndéanaimid plé a dhéanamh ar éifeacht na cóireála (ie, seirbhís mhíleata), is féidir linn dhá éifeachtaí an spreagadh a shainiú (ie, á dréachtú). Ar dtús, is féidir linn éifeacht an spreagadh ar an gcóireáil phríomha a shainmhíniú. Sa dara háit, is féidir linn éifeacht an spreagadh ar an toradh a shainmhíniú. Tabharfaidh sé amach gur féidir na dá éifeachtaí seo a chomhcheangal le meastachán a thabhairt ar éifeacht na cóireála ar ghrúpa áirithe daoine.

Gcéad dul síos, is féidir éifeacht an spreagadh ar chóireáil a shainiú do dhuine \(i\) mar

\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]

Ina theannta sin, is féidir an chainníocht seo a shainmhíniú thar an daonra iomlán mar atá

\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]

Ar deireadh, is féidir linn meastachán a dhéanamh ar \(\text{ITT} _{W}\) ag úsáid sonraí:

\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]

i gcás inarb é \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) an ráta cóireála a breathnaíodh dóibh siúd a spreagadh agus \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) an ráta cóireála a breathnaíodh dóibh siúd nár spreagadh iad. Uaireanta glactar leis an ráta glacadh \(\text{ITT}_W\) uaireanta.

Ansin, is féidir éifeacht an spreagadh ar an toradh a shainiú do dhuine \(i\) mar:

\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]

Ina theannta sin, is féidir an chainníocht seo a shainmhíniú thar an daonra iomlán mar atá

\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]

Ar deireadh, is féidir linn meastachán a dhéanamh ar \(\text{ITT}_{Y}\) ag úsáid sonraí:

\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]

i gcás inarb é an toradh a breathnaíodh ((eg, tuillimh) dóibh siúd a spreagadh (m.sh., dréachtaithe) agus \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) \(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) an toradh a breathnaíodh dóibh siúd nár spreagadh iad.

Mar fhocal scoir, cuirimid ár n-aird ar éifeacht an úis: éifeacht an chóireáil phríomha (m.sh., seirbhís mhíleata) ar an toradh (m.sh., tuilleamh). Ar an drochuair, cuirtear in iúl nach féidir leis, i gcoitinne, an éifeacht seo a mheas ar na haonaid go léir. Mar sin féin, le roinnt boinn tuisceana, is féidir le taighdeoirí meastachán a dhéanamh ar éifeacht na cóireála ar chomhlíontóirí (.i. Daoine a sheirbheáil má dhéantar iad a dhréachtú agus daoine nach bhfreastalóidh iad mura ndéantar dréachtú orthu, tábla 2.7). Glaoim ar an meastachán seo an éifeacht cúisigh mheánmhéadaigh (CACE) (ar a dtugtar an t-éifeacht cóireála meán áitiúil , LATE) ar uaireanta:

\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]

i gcás ina \(G_i\) an grúpa duine \(i\) (féach tábla 2.7) agus is é \(N_{\text{co}}\) líon na gcomhlíontóirí. I bhfocail eile, eq. Déanann 2.11 tuilleamh na \(Y_i(1, W_i(1))\) atá dréachtaithe \(Y_i(1, W_i(1))\) agus nach bhfuil dréachtaithe ann \(Y_i(0, W_i(0))\) . An meastachán i gceart. Is cosúil go bhfuil sé deacair meastachán a dhéanamh ar shonraí a breathnaíodh ós rud é nach bhfuil sé indéanta comhchleacaithe a aithint ag baint úsáide as sonraí a breathnaíodh ach amháin (go mbeadh a fhios acu má tá duine comhlíontach de dhíth ort, ba cheart duit a urramú cibé an raibh sé ag feidhmiú nuair a bhí sé á dréachtú agus an raibh sé ag feidhmiú nuair nach raibh sé dréachtaithe)

Tharlaíonn sé beagán ionadh-más rud é go bhfuil aon chomhlíontóirí ann, ansin soláthraítear trí bhreosla breise, is féidir meastachán a dhéanamh ar CACE ó shonraí a breathnaíodh. Ar dtús, caithfidh duine glacadh leis go bhfuil an sannadh chun cóireála randamach. I gcás an dréachtchrannchuir tá sé seo réasúnta. Mar sin féin, i roinnt suíomhanna nach bhfuil turgnamh nádúrtha ag brath ar randomization fisiceach, d'fhéadfadh go mbeadh an toimhde seo níos deacra. Sa dara háit, caithfidh duine glacadh leis nach bhfuil aon defiers acu (is éard atá i gceist leis an toimhde seo an toimhde monotonicity a bheith ann freisin). I gcomhthéacs an dréachta, is cosúil go bhfuil sé réasúnta glacadh leis nach bhfuil ach beagán daoine nach seirbheálfaidh siad más rud é go ndréachtófar iad agus go bhfreastalóidh siad mura ndéantar iad a dhréachtú. Tríú, agus ar deireadh, a thagann an toimhde is tábhachtaí ar a dtugtar an srian eisiaimh . Faoin srian eisiaimh, caithfidh duine a bheith ag glacadh leis go ndéanfar an éifeacht go léir a bhaineann leis an sannadh cóireála tríd an gcóireáil féin. I bhfocail eile, caithfidh duine glacadh leis nach bhfuil aon éifeacht dhíreach ann maidir le torthaí a spreagadh. I gcás an dréachtchrannchuir, mar shampla, ní mór ceann a ghlacadh leis nach bhfuil aon éifeacht ag dréacht-stádas ar thuilleamh seachas trí sheirbhís mhíleata (figiúr 2.11). D'fhéadfaí an srian eisiaimh a shárú más rud é, mar shampla, gur chaith daoine a dréachtaíodh níos mó ama sa scoil chun seirbhís a sheachaint nó más rud é nach raibh fostóirí níos lú seans ann daoine a bhí dréachtaithe a fhostú.

Fíor 2.11: Éilíonn an srian eisiaimh go mbeidh éifeacht ag an spreagadh (dréachtchrannchur) ar an toradh (tuilleamh) ach amháin tríd an gcóireáil (seirbhís mhíleata). D'fhéadfaí an srian eisiaimh a shárú más rud é, mar shampla, gur chaith daoine a bhí dréachtaithe níos mó ama sa scoil chun seirbhís a sheachaint agus gur tharla an t-am méadaithe seo sa scoil tuilleamh níos airde.

Má chomhlíontar na trí choinníoll seo (sannadh randamach ar chóireáil, gan defiers, agus an srian eisiaimh), ansin

\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]

ionas gur féidir linn CACE a mheas:

\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]

Is é bealach amháin chun smaoineamh ar CACE gurb é an difríocht atá ann i dtorthaí idir na daoine a spreagadh agus iad siúd nár spreagadh iad, agus an ráta glacadh iontu.

Tá dhá caveats tábhachtacha ann a choinneáil i gcuimhne. Ar dtús, is tuiscint láidir é an srian eisiata, agus ní mór é a bheith údar maith ar bhonn cás ar chás, a éilíonn go minic saineolas an ábhair. Ní féidir leis an srian eisiaimh a bheith údar leis an spreagadh a dhéanamh go randamach. Sa dara háit, tagann dúshlán praiticiúil coitianta le hanailís athróg ionstraimí nuair nach mbíonn tionchar beag ag an spreagadh maidir le hiontráil na cóireála (nuair a bhíonn \(\text{ITT}_W\) beag). Tugtar ionstraim lag air seo , agus tá fadhbanna éagsúla ann (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) . Is é bealach amháin chun smaoineamh ar an bhfadhb le hionstraimí lag ná gur féidir le \(\widehat{\text{CACE}}\) a bheith íogair do chlaontais bheaga i \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) -potentially mar gheall ar sáruithe ar an srian eisiaimh-toisc go bhfuil na claonta seo níos \(\widehat{\text{ITT}_W}\) ag beag \(\widehat{\text{ITT}_W}\) (féach ar \(\widehat{\text{ITT}_W}\) 2.13). Go hiondúil, mura mbíonn tionchar mór ag an gcóireáil a thugann an dúlra ar an gcóireáil a bhfuil cúram ort, ansin beidh an-deacracht agat ag foghlaim faoin gcóireáil a bhfuil cúram ort.

Féach caibidil 23 agus 24 de Imbens and Rubin (2015) le haghaidh leagan níos foirmiúla den phlé seo. De ghnáth, cuirtear an cur chuige eacnamaíoch traidisiúnta maidir le hathróga ionstraimí in iúl i dtéarmaí cothromóidí a mheas, ní torthaí féideartha. Chun tabhairt isteach ón bpeirspictíocht eile seo, féach Angrist and Pischke (2009) , agus chun comparáid a dhéanamh idir an dá chur chuige, féach alt 24.6 de Imbens and Rubin (2015) . Soláthraítear cur i láthair malartach, beagán níos lú foirmiúil ar an gcur chuige athróg ionstraimí i gcaibidil 6 de Gerber and Green (2012) . Le haghaidh tuilleadh ar an srian eisiaimh, féach D. Jones (2015) . Aronow and Carnegie (2013) cur síos ar shraith bhreise de thuisceana a fhéadfar a úsáid chun meastachán a dhéanamh ar ATE seachas CACE. Chun tuilleadh eolais a fháil ar an gcaoi a bhféadfadh turgnaimh nádúrtha a bheith an-deacair a léirmhíniú, féach Sekhon and Titiunik (2012) . Chun réamhrá níos ginearálta a thabhairt ar thurgnaimh nádúrtha-cuireann ceann amháin a théann níos faide ná an cur chuige athróg ionstraimí chun dearadh a chur san áireamh chomh maith le neamhshuim ar aischéimniúcháin - féach Dunning (2012) .