Noti matematii

In questu appendix, aghju sunturà parechji idee nantu à fà a inferenza causale di datu non-esperimenti in una forma pocu più matematica. Ci sò dui approcqui principali: u marcu di grafichi causali, a più assuciata à Ghjudeja Pearl è i culleghji, è u marcu di u rispettu potenzale, a più assuciatu à Donald Rubin è i culleghi. Intrazzià u marcatu di u rispettu potenziale perchè hè più vicinu à l'idee in i notamenti matematichi à u fini di u Chapter 3 è 4. Per più nantu à u graficu di i grafichi causali, ricorda Pearl, Glymour, and Jewell (2016) (introdutori ) è Pearl (2009) (avanzatu). Per un trattamentu di longu di libru di inferenza causale chì combina u marcu d'outcome potenziale è u marcu graficu causale, ricordu Morgan and Winship (2014) .

L'aiutu di questu appendix hè di aiutà à aiutà cun l'notazione è l'u stilu di a tradizione di u rispettu potenziale in modu chì pudete passà à qualchissia di u più materiale tècnicu scrittu annantu à questu tema. Prima, aghju scrivutu u marcu di surviglii pratichi. Allora, anu da utilizà à discussà l'esperimenti naturali cum'è quellu di Angrist (1990) nantu à l'effettu di u servitariu militari nantu à u livellu. Questu appendix si basa assai in Imbens and Rubin (2015) .

Elementu u prugrammu potenzali

U marcu d'outcome potenziale hè parechje elementi principalità: unità , trattamenti è punti di forza . Per esse illustrati sti elementi, considerate una versione stilizata di a quistione indirizzata in Angrist (1990) : Cumu hè l'effettu di u servitariu militari nantu à a prufitti? In questu casu, pudemu definisce l' unità cum'è esse eliggiuti à l'abbozzu di u 1970 in i Stati Uniti, è pudemu indiziarse queste persone per \(i = 1, \ldots, N\) . I tratti in questu casu pò esse "sirvintu in l'esercitu" o "micca à serve in l'esercitu". Vi vùagliu chjamà queste u trattamentu è e cundizioni di cuntrollu, è scrive \(W_i = 1\) se a persona \(i\) hè in a cundizione di trattamentu è \(W_i = 0\) se a persona \(i\) hè in a cundizione di cuntrollu. Infine, i viulenti chì ponu esse più cuncettualmenti difficiule perchè invistiscenu i risultati "potenzali"; cose chì puderanu succorsu. Per ogni persona eliggiuta per l'abbozzu di u 1970, puderemu imagine a quantità chì anu da esse earned in 1978 si servevanu in l'esercitu, chì chjamarà \(Y_i(1)\) , è a quantità chì anu avutu da guadagnatu in 1978 si ùn avè micca serve in l'esercitu, chjamatu \(Y_i(0)\) . In u marcu di u rispettu potenziale, \(Y_i(1)\) è \(Y_i(0)\) sò cunziddi quantità fissi, mentre \(W_i\) hè una variable aleativi.

A scelta di unità, trattamentu è rializazione hè critica perchè elaburà ciò chì pò, è ùn pò micca, d'apprendre da u studiu. L'scelta di unità-persona cum'è eligai à l'abbozzu di u 1970, ùn manca micca e donne, è cusì senza esvisioni supplementari, stu studiu ùn ci dirà micca nantu à l'effettu di u servizio militare à e donne. E decisioni quantu a definizione di trattamenta è i ricerca sò impurtanti ancu. Per esempiu, u trattamentu di l'interessu fussinu nantu à serve in u militariu o battistini cunfirsivu? Hè u risultatu di interessu sò u earnings o a satisfacazione per u travagliu? In ultimamente, l'scelta di unità, trattamentu è i riflettori deve esse guidati da i scopu scientificu è politicu di l'estudo.

Dati l'elegimi di unità, trattamentu è punti di valutate, l'effettu causale di u trattamentu à a persona \(i\) , \(\tau_i\) hè

\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]

In autri paroli, si componemu quantu a persona persone \(i\) hè stata guidata dopu à serve à quantu persone \(i\) anu aghjustatu senza esse. À mè, eq. U 2.1 hè a modu più chjaru di definisce un effettu causale, è ancu sèmpricu simplice, questu marcu torna generalizable in assai manere impurtanti è interessanti (Imbens and Rubin 2015) .

Quandu l'usu di u marcu di survimenti possibili, averaghju truvatu aiutà à scrivà una tavulera chì mostra i punti di valuteghja potenti è l'effetti di trattamentu per tutti l'unità (tola 2.5). Se ùn pudete fà imagine una tola cum'è questu per u vostru studiu, pudete avè bisognu à esse più precisamente in i vostri difinizzioni di e vostre unità, trattamenti, è rivenuti pussibuli.

Quandu definisce l'effettu causale in questu modu, però, run run un problema. In quasi tutti i casi, ùn anu micca bisognu à i risultati potenzjali. Hè ciò chì hè una persona specifica o serve o ùn serve. Eccu, osservammu unu di i punti di \(Y_i(1)\) pussibuli- \(Y_i(1)\) o \(Y_i(0)\) -but not both. L'incapacità di observà i risultati possittivi hè un quistu problema chì Holland (1986) chjamatu u Problemari fundamentale di a inferenza causale .

Fortunatamente, quandu avemu fattu a ricerca, ùn avemu micca solu una persona; Piuttostu, avemu tanti persone, è questu offerte un modu in u Circundante di Problemà Fundamentale di a inferenza causale. Invece di pruvà à estimà l'effettu di trattamentu individuale, pudemu avè stimi l' effettu mediu di trattamentu per ogni unità:

\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]

Questa equazzioni hè sempre espressa à termine di u \(\tau_i\) , chì sò unobservable, ma cun algebra (eq 2.8 di Gerber and Green (2012) )

\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]

Questa si mostra chì si puderemu avè stimiu u prugramma migliu di a pupulazione sottu u trattamentu ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) è u prugramma migliu di a populazione sottu cuntrollu ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), pudemu avè stimi l'effettu mediu di u trattamentu, ancu senza stimà l'effettu di trattamentu per ogni persona particulare.

Avà chì l'aghju definitu a nostra estimanda-a cosa chì avemu prova di stima-vi daraghju turnà cumu pudemu esaminà stima cù dati. E eccu avemu noi diretta direttamente in u prublema ch'è no rispundimu solu unu di i punti di valutate per ogni persona; vede o \(Y_i(0)\) o \(Y_i(1)\) (tola 2.6). Pudaremu stimà l'effettu mediu di trattamentu cumparendu u beneficu di e persone chì sirvìanu à i pagi di i persone chì ùn servenu micca:

\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]

induve \(N_t\) è \(N_c\) sò i numeri di i persone in i cundizioni di trattamentu è di cuntrollu. Stu approcciu viaghjarà bè eccu l'assicuranza di tratta hè indipindenza di e rispettu potenzali, una cundizzioni chjamata chjamata ignuribilità . Per disgrazia, in l'absenza di un esperimentu, l'ignorabilità ùn hè spessu persone, chì significa chì l'estimatore in eq. 2,4 hè micca prubabile di pruduce bonu stima. Una manera di penserà hè ch'ella esse in a mancanza di cession assignmentu, eq. 2,4 hè micca paragunatu cum'è simili; hè a paraguna di i earnings di e diverse tipi di persone. O manifestaziu pocu diffirenti, senza l'assignmentu aleatu di u trattamentu, l'assicuranza di trattamentu hà prubabile bellu crescente cù e rispunsèvuli.

In u capiddu 4, aghju scrivutu chì l'esperimenti controlati da u aleatoriu pò aiutà i circunsidenti facenu estimi causale, è aghju descrizanu cumu i ricchieri puderanu prufittà di l'esperimenti naturali, cum'è l'esversione di lottere.

Esperimenti naturali

Un accostu à fà estimi causale senza esse u prucedimentu hè di circà una cosa chì succede in u mondu chì hà attaccatu un attachetu di trattu. Stu approcciu hè chjamatu esperimentu naturali . In parechji situazione, sfurtunatamenti, a natura ùn furnisce micca a liberazione di u trattamentu chì vulete a populazione d'interessu. Ma certe volte, a natura aghja un trattamentu assuciatu. In particulare, aghju da cunsiderà u casu induve hè qualchì trattamentu securitariu chì incuraghjenu e persone per riceve u trattamentu primariu . Per esempiu, u scriveu puderia esse cunsideratu un trattamentu secundariu assignatu aleatoriu chì stimulò à certi pirsuni per piglià u trattamentu primariu, chì serve in l'armata. Stu disignu veni spissu chjamatu u prugettu di stimulamentu . U metudu di analisi chì scriviemu per trattà sta situazione hè qualchì volta u cambiamentu instrumentale . In questu paràmetu, cù alcune suppositivu, i circhuli ponu utilizà l'impegnu à amparà l'effettu di u trattamentu primariu per un settore particulari di unità.

Per trattà e dui trattamenti differenti: l'impegnu è u trattamentu primariu, avemu bisognu di qualchì notazione nova. Eppo supponi chì certi persone sò scriveci aleatoriamente ( \(Z_i = 1\) ) o micca scrivutu ( \(Z_i = 0\) ); in questa situazione, \(Z_i\) hè qualchì tempu chjamata instrumentu .

Quelli chì sò scritti, alcuni sirvìanu ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) è parechji ùn \(Z_i = 1, W_i = 0\) ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) ). Cumu a listessa di quelli chì ùn sò micca scrivevanu, alcuni sirvìanu ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) è certi anu micca ( \(Z_i = 0, W_i = 0\) ). I travaglii pratichi per ogni persone pò esse sviluppatu per esse u so status per u sustegnu è u trattamentu. Per esempiu, let \(Y(1, W_i(1))\) hè u prufittu di a persona \(i\) si hè statu redactatu, induve \(W_i(1)\) hè u so statutu di serviziu si falla. In più, pudemu sparte a populazione in quattru gruppi: cumpatori, mai-takers, defiers, è sempre-takers (table 2.7).

Prima di discussà l'estimazione di l'effettu di u trattamentu (per esempiu, u servizio militare), pudemu prima definisce dui effetti di l'impulse (ie, chì hè statu redattatu). Prima, pudemu definisce l'effettu di l'impegnu nantu à u trattamentu primariu. Sicunna, pudemu definisce l'effettu di l'impegnu à u risultatu. Quandu resultarà chì i dui effetti sò cumbinati per furnisce una stima di l'effettu di u trattamentu nantu à un gruppu specificu di persone.

Prima, l'effettu di l'impetu di u trattamentu pò esse definitu per a persona \(i\) as

\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]

In più, questa kwantità pò esse definita nantu à tutta a pupulazione cum'è

\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]

Infine, pudemu avè stimatu \(\text{ITT} _{W}\) cù a data:

\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]

unni \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) hè a tarifa osservata di trattamentu per quelli chì anu stimulati è \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) hè a rata osservata di trattamentu per quelli chì ùn sò micca stimulati. \(\text{ITT}_W\) hè ancu dinò chjamatu u rate di uptake .

Cumplementu, l'effettu di l'impegnu à u risultatu pò esse definitu per a persona \(i\) cum'è:

\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]

In più, questa kwantità pò esse definita nantu à tutta a pupulazione cum'è

\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]

Infine, pudemu avè stimatu \(\text{ITT}_{Y}\) cù a data:

\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]

unni \(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) hè u risultatu osservatu (per esempiu, earnings) per quelli chì anu stimulatu (per esempiu, redaczione) è \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) hè u risultatu osservatu per quelli chì ùn sò micca stimulati.

Infine, vultemu a nostra attenzioni à l'effettu di interessu: l'effettu di u trattamentu primariu (per esempiu, u servizio militare) nantu à u risultatu (per esempiu, ingranzioni). Sfurtunatamente, resulta chì ùn si pò micca, in generale, stima stu effetti in tutti i unità. In ogni modu, cù alcune suppositivu, i circhificatori puderà calculà l'effettu di u trattamentu nantu à i cumplimente (ie, i persone chì sanu esse scrive è e persone chì ùn devenu micca esse scrivutu, table 2.7). Intrazzu chjamà questu stimandu l' uperazione causale mediu cumpletu (CACE) (chì hè ancu dinò à l'occasione di u trattamentu mediu lucale ) LATE):

\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]

induve \(G_i\) donate u gruppu di persona \(i\) (vede a tabel 2.7) è \(N_{\text{co}}\) hè u nùmeru di cumplienti. In altre parolle, eq. 2.11 compara l'ingaghjamentu di i cumplienti chì sò scrivite \(Y_i(1, W_i(1))\) è micca ripropenu \(Y_i(0, W_i(0))\) . L'estimand in eq. U 2.11 pare micca difficiuli di stimi di i dati amparati, perchè ùn hè micca pussibule identificà cumprendenti chì utilizanu solu e dati osservati (per sapè chì qualchissia hè cumpletu, avete bisognu d'avè esse attentatu quan scrivite è se sirvete quandu ùn hè statu redattatu).

Questu hè stata surprisingly-chì si ci sò qualsiasi cumplimentaria, da chì unu furnisce 3 suppositions supplementari, ponu calculà CACE da data osservata. Prima, unu deve di assume chì l'assignmentu à u trattamentu hè casuale. In u casu di u scopu di lotterà questu hè prudente. In ogni casu, in issi settings chì l'esperimenti naturali ùn anu micca di basatu in l'aleatoriu fisicu, questa supostu pò esse più problematica. Sicunna, unu ha d'assumisce chì i so ùn sò micca difirenti (din supposizione hè ancu dinò a suleta a suposizione monotonicita). In u cuntestu di u sughjettu pare chì raghjonu per presumintari chì ci sò assai poveri chì ùn devenu esse scrittu è si sirunu si micca scrittu. Terzu, è finarmenti, vene a supposizione più impurtante chì hè chjamata a restrizzioni d'exclusion . Sutta a restrizzioni d'exclusionu, unu deve per presumintari chì tutti l'effetti di l'assignazione di trattamentu hè passatu per u trattamentu stessu. In altri dritti, unu deve per presumintari chì ùn ci hè nimu l'effettu direttu di l'attitudini nantu à i ricerca. In u casu di u scopu di lotterie, per esempiu, deve avè assume chì u statutu di prufunimentu ùn hà micca effetti nant'à un ingaghjamentu altru à l'usu militari (figura 2.11). A restrizzioni di l'exclusioni pò esse violati se, per esempiu, i persone chì sò stati scriveni passanu più tempu in l'scola per esse u servitore o s'ellu ùn anu prestu micca prusericatu di chjamà i persunalizati.

Figura 2.11: A restrizzioni di l'exclusioni precisa chì l'alogenu (scrive di lotterie) hà un effettu nantu à u risultatu (pruiezioni) solu cù u trattamentu (servizio militare). A restrizzioni d'exclusioni pò esse violati, se per esempiu, i persone chì sò stati scriveni passanu più tempu in l'scola per esse u servitore è chì quandu u più tempu in a scola guverna à i pagamenti più altimi.

Sì sti trè cunnings (assignazione aleatoria à u trattamentu, senza difierti, è a restrizzioni d'exclusioni) sò accaduti

\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]

cusì ci pudemu estimà CACE:

\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]

Una manera di penserà à CACE hè chì hè a diffarenza di i viaghji trà quelli chì eranu stimulati è quelli chì ùn anu stimulati, infliottu da a taxa di uptake.

Ci sò dui caveati impurtanti per guardà in mente. Prima, a restrizzioni d'exclusionu hè un supposu forte, è deve esse ghjustificata nantu à una basa case-by-case, chì spessu precisa un expertise in l'assignatura. A restrizzioni d'exclusionu pò esse ghjustificate da l'aleatoriu di l'impegnu. Sicunna, un prubleu pratiche cumuni cun l'analisi variàbbille strumentali hè quandu u sustegnu hà pocu effettu nantu à l'uptake di trattamentu (quandu \(\text{ITT}_W\) hè chjucu). Questu hè chjamatu un strumentu debbulu , è porta à una varietà di prublemi (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) . Una manera di penserà u prublema cù l' \(\widehat{\text{CACE}}\) dèvuli hè chì \(\widehat{\text{CACE}}\) pò esse sensibule à \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) in \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) -Potalmentu duvutu viulazione di a restrizzioni d'exclusioni, perchè sti \(\widehat{\text{ITT}_W}\) cù un petit \(\widehat{\text{ITT}_W}\) (vede e 2.13). In più, se u trattamentu chì a nature assignassi ùn hè micca un grande impattu in u trattamentu chì preoccupatu, perchè ellu hà da travaglià impeghjinu nantu à u trattamentu chì vi importa.

Vede u 23 è 24 di Imbens and Rubin (2015) per una versione formale di questa discussione. L'accostu ecetratu eccetricu à e varichetu strumentali hè spressu in termi di ecuazzioni estimulante, senza risultati potenzjali. Per una intro duzzione da questa perspettiva, vede Angrist and Pischke (2009) , è per una paragina trà i dui approcqui, vede a seccion 24.6 di Imbens and Rubin (2015) . Una alternativa, una presentazione pocu informale di l'attraversu variatori instrumentale hè furnuta in u capitulu 6 di Gerber and Green (2012) . Per più nantu à a restrizzioni d'exclusioni, vede D. Jones (2015) . Aronow and Carnegie (2013) detti un suppurtu di supposizioni chì pò esse usatu per stima ATE in quantu CACE. Per sapè quantu l'esperimenti naturali si ponu esse cusciatti di interpretà, vede Sekhon and Titiunik (2012) . Per una introduzione più generale à l'esperimenti naturali-una chì si passa solu da l'attruversa variàbbili strumentali à l'altri includenu disegni com regressione discontinuità-vede Dunning (2012) .