গাণিতিক নোট

এই পরিশিষ্টে, আমি কিছু প্রমানিত তথ্য থেকে সামান্য আরো গাণিতিক আকারে কার্যকারিতার পরিমাপ করা সম্পর্কে কিছু ধারণা সমার্থক করব। দুটি প্রধান দৃষ্টিভঙ্গি আছে: কার্যকারিতা গ্রাফ কাঠামো, অধিকাংশই জুডিয়ার পার্ল এবং সহকর্মীদের সাথে যুক্ত, এবং সম্ভাব্য ফলাফল কাঠামো, ডোনাল্ড রুবিন এবং সহকর্মীদের সাথে সর্বাধিক সংযুক্ত। আমি সম্ভাব্য ফলাফল ফ্রেমওয়ার্কটি পেশ করবো কারণ এটি অধ্যায় 3 এবং 4 এর শেষের দিকে গাণিতিক নোটের ধারণাগুলির সাথে আরও ঘনিষ্ঠভাবে সংযুক্ত রয়েছে। কার্যকারিতার গ্রাফ ফ্রেমওয়ার্কের জন্য আরও আমি Pearl, Glymour, and Jewell (2016) (প্রচলিত ) এবং Pearl (2009) (উন্নত)। কার্যকারিতার পরিপ্রেক্ষিতে একটি বই-দৈর্ঘ্যের চিকিত্সার জন্য যা সম্ভাব্য ফলাফল ফ্রেমওয়ার্ক এবং কার্যকারিতার গ্রাফ কাঠামোকে সংহত করে, আমি Morgan and Winship (2014) সুপারিশ করি।

এই পরিশিষ্টের লক্ষ্যটি হল সম্ভাব্য ফলাফলের ঐতিহ্যের অনুকরণ এবং শৈলী সহ আরামদায়ক হতে সহায়তা করা যাতে আপনি এই বিষয়ের উপর লেখা আরও কিছু প্রযুক্তিগত সামগ্রীগুলির মধ্যে রূপান্তর করতে পারেন। প্রথম, আমি সম্ভাব্য ফলাফল কাঠামো বর্ণনা করব তারপর, আমি উপার্জন পদ্ধতিতে সামরিক সেবা প্রভাব উপর Angrist (1990) দ্বারা এক মত প্রাকৃতিক পরীক্ষা আরও আলোচনা করতে এটি ব্যবহার করব। এই পরিশিষ্ট Imbens and Rubin (2015) উপর ব্যাপকভাবে আকৃষ্ট।

সম্ভাব্য ফলাফল কাঠামো

সম্ভাব্য ফলাফল কাঠামো তিনটি প্রধান উপাদান: ইউনিট , চিকিত্সা , এবং সম্ভাব্য ফলাফল । এই উপাদানগুলির চিত্রিত করার জন্য, আসুন আমরা Angrist (1990) এ প্রশ্নের সাথে একটি স্বচ্ছকৃত সংস্করণ বিবেচনা করি: আয়ের উপর সামরিক পরিষেবাটির প্রভাব কী? এই ক্ষেত্রে, আমরা যুক্তরাষ্ট্রে 1970 খসড়া জন্য যোগ্য মানুষ হতে ইউনিট সংজ্ঞায়িত করতে পারেন, এবং আমরা \(i = 1, \ldots, N\) দ্বারা এই মানুষ ইনডেক্স করতে পারেন। এই ক্ষেত্রে চিকিত্সা "সামরিক সেবা" বা "সামরিক মধ্যে পরিসেবা না" হতে পারে। আমি এই চিকিৎসা এবং নিয়ন্ত্রণ শর্ত কল করব, এবং আমি লিখবো \(W_i = 1\) যদি ব্যক্তি \(i\) চিকিত্সা অবস্থায় এবং \(W_i = 0\) যদি ব্যক্তি \(i\) নিয়ন্ত্রণ অবস্থায় থাকে। অবশেষে, সম্ভাব্য ফলাফলগুলি আরও বেশি ধারণাগতভাবে কঠিন কারণ তারা "সম্ভাব্য" ফলাফলগুলি জড়িত; কিছু ঘটেছে যে হতে পারে। 1970 এর খসড়া জন্য যোগ্য প্রতিটি ব্যক্তি জন্য, আমরা তারা 1978 সালে অর্জিত হয়েছে যে পরিমাণ কল্পনা করতে পারেন সামরিক মধ্যে পরিসেবা, যা আমি কল করবে \(Y_i(1)\) , এবং তারা অর্জিত হবে যে পরিমাণ 1978 সালে যদি তারা সামরিক বাহিনীতে কাজ না করে, তবে আমি যাবো \(Y_i(0)\) । সম্ভাব্য ফলাফল কাঠামোর মধ্যে, \(Y_i(1)\) এবং \(Y_i(0)\) নির্দিষ্ট পরিমাণ বিবেচিত হয়, যখন \(W_i\) একটি র্যান্ডম পরিবর্তনশীল।

ইউনিট, চিকিত্সা, এবং ফলাফলগুলির পছন্দটি সমালোচনামূলক কারণ এটি সংজ্ঞা দেয় যে- এবং কীভাবে অধ্যয়ন থেকে শিখেছি না। ইউনিটের পছন্দের - 1970 খসড়া জন্য যোগ্য ব্যক্তিরা - মহিলাদের অন্তর্ভুক্ত নয়, এবং তাই অতিরিক্ত অনুমান ছাড়াই, এই গবেষণায় মহিলাদের সম্পর্কে সামরিক সেবা প্রভাব সম্পর্কে কিছুই বলবেন না। কিভাবে চিকিত্সা এবং ফলাফল সংজ্ঞায়িত করা যায় সেই বিষয়ে সিদ্ধান্তগুলিও গুরুত্বপূর্ণ। উদাহরণস্বরূপ, সুদের চিকিত্সা সামরিক বা অভিজ্ঞ যুদ্ধে পরিসেবা উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করা উচিত? সুদের ফলাফল কি উপার্জন বা কাজের সন্তুষ্টি হতে হবে? পরিশেষে, ইউনিট, চিকিত্সা, এবং ফলাফলের পছন্দ গবেষণার বৈজ্ঞানিক এবং নীতি লক্ষ্য দ্বারা চালিত করা উচিত।

ইউনিট, চিকিত্সা, এবং সম্ভাব্য ফলাফলের পছন্দ দেওয়া, ব্যক্তি \(i\) , \(\tau_i\) , উপর চিকিত্সার কার্যকারিতা প্রভাব হল

\[ \tau_i = Y_i(1) - Y_i(0) \qquad(2.1)\]

অন্য কথায়, আমরা তুলনা \(i\) ব্যক্তিকে \(i\) পরিবেশন ছাড়াই অর্জিত হবে \(i\) ব্যক্তিকে \(i\) উপার্জনের পরে অর্জন করেছি? আমার কাছে, eq 2.1 একটি কার্যকারিতা প্রভাব সংজ্ঞায়িত করার সবচেয়ে পরিষ্কার উপায়, এবং যদিও অত্যন্ত সহজ, এই কাঠামো অনেক গুরুত্বপূর্ণ এবং আকর্ষণীয় উপায় (Imbens and Rubin 2015) মধ্যে generalizable আউট সক্রিয়।

সম্ভাব্য ফলাফল ফ্রেমওয়ার্ক ব্যবহার করার সময়, আমি সর্বদা সম্ভাব্য ফলাফল এবং সমস্ত ইউনিট (টেবিল 2.5) জন্য চিকিত্সা প্রভাব দেখাচ্ছে একটি টেবিল লিখতে এটি সহায়ক। যদি আপনি আপনার গবেষণার জন্য এই মত একটি টেবিলের কল্পনা করতে পারবেন না, তাহলে আপনার ইউনিট, চিকিত্সা, এবং সম্ভাব্য ফলাফলগুলির আপনার সংজ্ঞাগুলির মধ্যে আপনাকে আরো সুনির্দিষ্ট হতে হবে।

এই পদ্ধতিতে কার্যকারিতার প্রভাব নির্ধারণ করার সময়, তবে, আমরা একটি সমস্যা মধ্যে চালানো। প্রায় সব ক্ষেত্রে, আমরা উভয় সম্ভাব্য ফলাফল পালন করতে না। যে, একটি নির্দিষ্ট ব্যক্তি পরিসেবা বা পরিবেশন না করেনি অতএব, আমরা সম্ভাব্য ফলাফলগুলির একটি পালন \(Y_i(1)\) বা \(Y_i(0)\) না উভয়। উভয় সম্ভাব্য ফলাফল পালন করতে অসমর্থতা যেমন একটি বড় সমস্যা Holland (1986) এটি প্রচলিত কারণ মৌলিক সমস্যা বলা

সৌভাগ্যবশত, আমরা যখন গবেষণা করছি, তখন আমাদের একমাত্র ব্যক্তি নেই; বরং, আমরা অনেক মানুষ আছে, এবং এই কারণ ইনফরমেশন মৌলিক সমস্যা চারপাশে একটি উপায় প্রস্তাব। পৃথক স্তরের চিকিত্সা প্রভাব অনুমান করার চেষ্টা করার পরিবর্তে, আমরা সমস্ত ইউনিট জন্য গড় চিকিত্সা প্রভাব অনুমান করতে পারেন:

\[ \text{ATE} = \bar{\tau} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \tau_i \qquad(2.2)\]

এই সমীকরণটি এখনও \(\tau_i\) এর শর্তে প্রকাশ করা হয়, যা অদৃশ্য, কিন্তু কিছু বীজগাণিতার সাথে ( Gerber and Green (2012) এর ২8 \(\tau_i\) ), আমরা পাই

\[ \text{ATE} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(1) - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i(0) \qquad(2.3)\]

এই দেখায় যে, যদি আমরা জনসংখ্যার গড় পরিচর্যা চিকিত্সার অধীনে অনুমান করতে পারি ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ) এবং জনসংখ্যার গড় ফলাফল নিয়ন্ত্রণের ( \(N^{-1} \sum_{i=1}^N Y_i(1)\) ), তাহলে আমরা কোনও নির্দিষ্ট ব্যক্তির জন্য চিকিত্সা প্রভাব অনুমান ছাড়াও, গড় চিকিত্সা প্রভাব অনুমান করতে পারি।

এখন যে আমরা আমাদের অনুমিত সংজ্ঞায়িত করেছি - আমরা যে জিনিসটি অনুমান করার চেষ্টা করছি তা-ই করবো কিভাবে আমরা আসলে এটি ডেটা দিয়ে অনুমান করতে পারি। এবং এখানে আমরা সমস্যার মধ্যে সরাসরি চালানো যে আমরা শুধুমাত্র প্রতিটি ব্যক্তির জন্য সম্ভাব্য ফলাফল এক; আমরা দেখতে পাই \(Y_i(0)\) বা \(Y_i(1)\) (টেবিল 2.6)। আমরা যারা মানুষের পরিচর্যায় পরিবেশন করতাম তাদের উপার্জনের তুলনা করে গড় চিকিত্সা প্রভাব অনুমান করতে পারি:

\[ \widehat{\text{ATE}} = \underbrace{\frac{1}{N_t} \sum_{i:W_i=1} Y_i(1)}_{\text{average earnings, treatment}} - \underbrace{\frac{1}{N_c} \sum_{i:W_i=0} Y_i(0)}_{\text{average earnings, control}} \qquad(2.4)\]

যেখানে \(N_t\) এবং \(N_c\) হয় চিকিত্সা এবং নিয়ন্ত্রণ অবস্থানে মানুষের সংখ্যা। এই পদ্ধতিটি ভাল কাজ করবে যদি চিকিত্সা কাজটি সম্ভাব্য ফলাফল থেকে স্বাধীন হয়, একটি শর্ত যা কখনও কখনও অজ্ঞতা বলে । দুর্ভাগ্যবশত, একটি পরীক্ষা অনুপস্থিতিতে, অজ্ঞতা প্রায়ই সন্তুষ্ট হয় না, যার মানে eq মধ্যে অনুমানকারী 2.4 ভাল অনুমান উৎপাদনের সম্ভাবনা নেই। এটি সম্পর্কে চিন্তা করার এক উপায় হল যে চিকিত্সা র্যান্ডম নিয়োগের অনুপস্থিতিতে, eq। 2.4 মত মত তুলনা হয় না; এটা বিভিন্ন ধরণের আয় উপার্জন তুলনা করা হয়। বা চিকিত্সা র্যান্ডম নিয়োগ ছাড়া, সামান্য ভিন্ন প্রকাশ, চিকিত্সা বরাদ্দ সম্ভবত সম্ভাব্য ফলাফল সাথে সম্পর্কিত হয়।

4 অধ্যায়ে, আমি বর্ণনা করব কিভাবে র্যান্ডমাইজড নিয়ন্ত্রিত গবেষণায় গবেষকরা কার্যকরী অনুমান করতে সাহায্য করতে পারেন, এবং এখানে আমি বর্ণনা করব যে গবেষকরা কীভাবে প্রাকৃতিক পরীক্ষার সুবিধা গ্রহণ করতে পারেন, যেমন খসড়া লটারি।

প্রাকৃতিক পরীক্ষাগুলি

একটি পরীক্ষা চালানো ছাড়া কার্যকরী আনুমানিক তৈরি করার একটি পদ্ধতি হল আপনার জন্য একটি চিকিত্সা নিয়োগ করা হয়েছে যে বিশ্বের কিছু ঘটছে জন্য সন্ধান করা হয়। এই পদ্ধতিটি প্রাকৃতিক পরীক্ষাকে বলা হয়। অনেক পরিস্থিতিতে, দুর্ভাগ্যবশত, প্রকৃতির চিকিত্সা যে আপনি আগ্রহের জনসংখ্যার চান র্যান্ডমভাবে বিতরণ না। কিন্তু কখনও কখনও, প্রকৃতি এলোমেলোভাবে একটি সম্পর্কিত চিকিত্সা বিতরণ। বিশেষ করে, আমি এমন কিছু ক্ষেত্রে বিবেচনা করব যেখানে কিছু প্রাথমিক চিকিত্সা রয়েছে যা মানুষকে প্রাথমিক চিকিত্সা গ্রহণের জন্য উত্সাহিত করে। উদাহরণস্বরূপ, খসড়াটিকে এলোমেলোভাবে নির্ধারিত সেকেন্ডারি চিকিত্সা হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে যা কিছু লোককে প্রাথমিক চিকিত্সা গ্রহণ করার জন্য উত্সাহিত করেছিল, যা সামরিক বাহিনীতে কাজ করছিল। এই নকশা কখনও কখনও একটি অনুপ্রেরণা নকশা বলা হয়। এবং বিশ্লেষণ পদ্ধতি যে আমি এই পরিস্থিতিটি পরিচালনা করতে বর্ণনা করবো মাঝে মাঝে উল্লেখযোগ্য ভেরিয়েবল বলা হয় । এই সেটিংসে, কিছু অনুমানের সাথে, গবেষকরা ইউনিটগুলির একটি নির্দিষ্ট উপসেটের প্রাথমিক চিকিত্সার প্রভাব সম্পর্কে জানতে শিখতে পারেন।

দুটি ভিন্ন চিকিত্সা পরিচালনার জন্য- উৎসাহ এবং প্রাথমিক চিকিত্সা - আমাদের কিছু নতুন অনুকরণ প্রয়োজন। ধরুন কিছু লোক এলোমেলোভাবে খসড়া ( \(Z_i = 1\) ) বা খসড়া না ( \(Z_i = 0\) ); এই পরিস্থিতিতে, \(Z_i\) কখনও কখনও একটি যন্ত্র বলা হয়।

যারা খসড়া ছিল, কিছু পরিবেশন ( \(Z_i = 1, W_i = 1\) ) এবং কিছু ( \(Z_i = 1, W_i = 0\) )। অনুরূপভাবে, যারা খসড়া ছিল না, কিছু পরিবেশন ( \(Z_i = 0, W_i = 1\) ) এবং কিছু ( \(Z_i = 0, W_i = 0\) ) না। প্রতিটি ব্যক্তির জন্য সম্ভাব্য ফলাফলগুলি এখন উত্সাহ এবং চিকিত্সা উভয়ের জন্য তাদের অবস্থা প্রদর্শন করতে প্রসারিত করা যেতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যাক \(Y(1, W_i(1))\) ব্যক্তি আয় হতে \(i\) যদি তিনি ড্রাফট হয়, এটি কোথায় \(W_i(1)\) তার সেবা অবস্থা হলে নেয়। উপরন্তু, আমরা জনসংখ্যার চারটি গ্রুপে বিভক্ত করতে পারি: অভিযোগকারী, কখনো গ্রহণকারী, প্রতিবিম্ব, এবং সর্বদা গ্রহণকারী (টেবিল 2.7)।

চিকিত্সার প্রভাব (অর্থাত, সামরিক পরিষেবা) এর মূল্যায়ন নিয়ে আলোচনা করার আগে, আমরা প্রথমে উত্সাহের দুটি প্রভাব (যেমন, খসড়া তৈরি করা) সংজ্ঞায়িত করতে পারি। প্রথমত, আমরা প্রাথমিক চিকিত্সা উৎসাহের প্রভাবকে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। দ্বিতীয়ত, আমরা ফলাফল উপর উত্সাহ প্রভাব প্রভাব সংজ্ঞায়িত করতে পারেন। এটি চালু হবে যে, এই দুটি প্রভাব মানুষের একটি নির্দিষ্ট গ্রুপের চিকিত্সার প্রভাবের একটি অনুমান প্রদান করতে মিলিত হতে পারে।

প্রথমত, চিকিত্সার উত্সাহের প্রভাবটি ব্যক্তি \(i\) হিসাবে হিসাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে

\[ \text{ITT}_{W,i} = W_i(1) - W_i(0) \qquad(2.5)\]

উপরন্তু, এই পরিমাণ সমগ্র জনসংখ্যার উপর সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে

\[ \text{ITT}_{W} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [W_i(1) - W_i(0)] \qquad(2.6)\]

অবশেষে, আমরা তথ্য ব্যবহার করে \(\text{ITT} _{W}\) অনুমান করতে পারি:

\[ \widehat{\text{ITT}_{W}} = \bar{W}^{\text{obs}}_1 - \bar{W}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.7)\]

যেখানে \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) তাদের উৎসাহিত হারের \(\bar{W}^{\text{obs}}_1\) এবং উৎসাহিত হয় এবং \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) হল যারা উত্সাহিত না ছিল জন্য চিকিত্সা পরিদর্শন হার। \(\text{ITT}_W\) কখনও কখনও \(\text{ITT}_W\) হার বলা হয়।

পরবর্তী, ফলাফলের উপর উৎসাহের প্রভাবটি ব্যক্তির \(i\) হিসাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে:

\[ \text{ITT}_{Y,i} = Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0)) \qquad(2.8)\]

উপরন্তু, এই পরিমাণ সমগ্র জনসংখ্যার উপর সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে

\[ \text{ITT}_{Y} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N [Y_i(1, W_i(1)) - Y_i(0, W_i(0))] \qquad(2.9)\]

অবশেষে, আমরা ডাটা ব্যবহার করে \(\text{ITT}_{Y}\) অনুমান করতে পারি:

\[ \widehat{\text{ITT}_{Y}} = \bar{Y}^{\text{obs}}_1 - \bar{Y}^{\text{obs}}_0 \qquad(2.10)\]

যেখানে \(\bar{Y}^{\text{obs}}_1\) হল উত্সাহিত (যেমন, খসড়া) এবং \(\bar{W}^{\text{obs}}_0\) যারা উত্সাহিত না হয় জন্য পরিদর্শন ফলাফল।

অবশেষে, আমরা আগ্রহের প্রভাব আমাদের মনোযোগ ঘুরিয়েছি: প্রাথমিক চিকিত্সার প্রভাব (যেমন, সামরিক সেবা) ফলাফল (যেমন, আয়)। দুর্ভাগ্যবশত, এটা দেখা যাচ্ছে যে, এক, সাধারণভাবে, সমস্ত ইউনিট এই প্রভাব অনুমান করতে পারে না। যাইহোক, কিছু ধারণা সঙ্গে, গবেষকরা compliers উপর চিকিত্সার প্রভাব অনুমান করতে পারেন (অর্থাত্, যারা খসড়া যদি পরিবেশন করবে এবং যারা পরিবেশন করা না হলে যারা পরিবেশন করা হবে না, টেবিল 2.7)। আমি এই অনুমান এবং complier গড় কার্যকারিতা প্রভাব (CACE) (যা কখনও কখনও স্থানীয় গড় চিকিত্সা প্রভাব , লেট বলা হয়) কল করব:

\[ \text{CACE} = \frac{1}{N_{\text{co}}} \sum_{i:G_i=\text{co}} [Y(1, W_i(1)) - Y(0, W_i(0))] \qquad(2.11)\]

যেখানে \(G_i\) ব্যক্তি গোষ্ঠীকে দান করে \(i\) (টেবিল ২.7 দেখুন) এবং \(N_{\text{co}}\) হল সংখ্যার সংখ্যা। অন্য কথায়, eq 2.11 সম্মিলিত ব্যক্তিদের উপার্জনের তুলনা করে যারা খসড়া \(Y_i(1, W_i(1))\) এবং খসড়া না \(Y_i(0, W_i(0))\) । Eq এর অনুমান 2.11 পর্যবেক্ষণকৃত তথ্য থেকে অনুমান করা কঠিন মনে হয় কারণ এটি শুধুমাত্র পর্যবেক্ষণকৃত তথ্য ব্যবহার করে বোঝা সম্ভব নয় (যদি কেউ তা জেনে থাকে তবে আপনাকে পর্যবেক্ষণ করতে হবে যে তিনি যখন খসড়াটি সম্পাদন করেছিলেন এবং কিনা সে খসড়া না পরে কিনা)।

এটি দেখা যায়- কিছুটা আশ্চর্যজনকভাবে- যদি কোনও অভিযোগ থাকে, তবে সরবরাহকৃত একটি অতিরিক্ত তিনটি অনুমান উপলব্ধ করে, পরিদর্শন করা ডেটা থেকে CACE অনুমান করা সম্ভব। প্রথমত, একটিকে অনুমান করা উচিত যে চিকিত্সার দায়িত্বটি র্যান্ডম। খসড়া লটারি ক্ষেত্রে এই যুক্তিসঙ্গত হয়। যাইহোক, কিছু সেটিংস যেখানে প্রাকৃতিক পরীক্ষাগুলি শারীরিক র্যান্ডমাইজেশনে নির্ভর করে না, এই ধারণাটি আরো সমস্যাযুক্ত হতে পারে। দ্বিতীয়ত, তাদের অনুমান করা হয় যে তাদের কোন ডিফিয়ার নেই (এই ধারণাকেও কখনও কখনও একধরনের ধারণা বলা হয়)। খসড়া প্রেক্ষাপটে মনে হয় যুক্তিসঙ্গত বলে মনে হয় যে খুব অল্প সংখ্যক লোক আছে যারা খসড়া বা পরিবেশন করবে না এবং খসড়া না হলে পরিবেশন করবে না। তৃতীয়, এবং পরিশেষে, সর্বাধিক গুরুত্বপূর্ণ ধাপে আসে যা বর্জনের সীমাবদ্ধতা বলে । বহিঃসংযোগের সীমাবদ্ধতার অধীনে, একজন অনুধাবন করতে হবে যে চিকিত্সার দায়িত্বের সমস্ত প্রভাব চিকিত্সার মাধ্যমে গৃহীত হয়। অন্য কথায়, এক অনুমান করা হয় যে ফলাফল উপর উত্সাহ কোন সরাসরি প্রভাব নেই। খসড়া লটারীর ক্ষেত্রে, উদাহরণস্বরূপ, একটিকে অনুমান করতে হবে যে খসড়া স্ট্যাটাসের সামরিক পরিষেবা (চিত্র ২.11) ছাড়া অন্য কোনও উপার্জনে কোন প্রভাব নেই। উদাহরণস্বরূপ, বহিষ্কারের সীমাবদ্ধতা লঙ্ঘিত হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, পরিষেবাগুলি এড়ানোর জন্য নথিভুক্ত করা হয়েছে এমন ব্যক্তিরা স্কুলে আরো বেশি সময় কাটায় বা নিয়োগকর্তারা ড্রাফ্ট করা হয়েছে যারা ভাড়া করা সম্ভবত কম ছিল।

চিত্র 2.11: বহিঃসংযোগের সীমাবদ্ধতার জন্য উদ্দীপনা (খসড়া লটারি) এর ফলাফলটি শুধুমাত্র চিকিত্সা (সামরিক পরিষেবা) মাধ্যমে ফলাফল (আয়ের) উপর প্রভাব ফেলে। উদাহরণস্বরূপ, বহিষ্কারের সীমাবদ্ধতা লঙ্ঘিত হতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, পরিষেবাগুলি এড়াতে স্কুলে যাতে আরো বেশি সময় কাটানো হয়েছে এবং স্কুলে এই বর্ধিত সময়টি উচ্চ আয়ের দিকে পরিচালিত হয়েছিল।

যদি এই তিনটি শর্ত (চিকিত্সার জন্য র্যান্ডম অ্যাসাইনমেন্ট, কোন ডিফিয়ার এবং বহিঃসংযোগ সীমাবদ্ধতা) পূরণ করা হয়, তাহলে

\[ \text{CACE} = \frac{\text{ITT}_Y}{\text{ITT}_W} \qquad(2.12)\]

তাই আমরা CACE অনুমান করতে পারি:

\[ \widehat{\text{CACE}} = \frac{\widehat{\text{ITT}_Y}}{\widehat{\text{ITT}_W}} \qquad(2.13)\]

CACE সম্পর্কে চিন্তা করার এক উপায় হচ্ছে, যারা উৎসাহিত হয়েছে এবং উত্সাহিত না হওয়ায় তাদের মধ্যে ফলাফলের মধ্যে পার্থক্য হল, উজ্জ্বলতার হারের কারণে।

মনে রাখা দুটি গুরুত্বপূর্ণ caveats আছে। প্রথমত, বহিষ্কারের সীমাবদ্ধতা একটি দৃঢ় ধারণা, এবং এটি একটি কেস বাই কেস ভিত্তিতে ন্যায়সঙ্গত করা প্রয়োজন, যা প্রায়শই বিষয় এলাকা দক্ষতার প্রয়োজন উত্সাহ সীমাবদ্ধতা উত্সাহ র্যান্ডমাইজেশন সঙ্গে ন্যায়সঙ্গত করা যাবে না। দ্বিতীয়ত, উপকরণ পরিবর্তনশীল বিশ্লেষণের সাথে একটি সাধারণ প্রাতিষ্ঠানিক চ্যালেঞ্জ দেখা দেয় যখন \(\text{ITT}_W\) চিকিত্সার গতির উপর সামান্য প্রভাব ফেলে (যখন \(\text{ITT}_W\) ছোট হয়)। এই একটি দুর্বল যন্ত্র বলা হয়, এবং এটি বিভিন্ন সমস্যা বাড়ে (Imbens and Rosenbaum 2005; Murray 2006) । দুর্বল যন্ত্রের সমস্যা সম্পর্কে চিন্তা করার এক উপায় হল যে \(\widehat{\text{CACE}}\) ক্ষুদ্র পক্ষপাতের জন্য সংবেদনশীল হতে পারে \(\widehat{\text{ITT}_Y}\) কারণে বহিষ্কারের বিধিনিষেধের লঙ্ঘন-কারণ এই \(\widehat{\text{ITT}_W}\) একটি ছোট \(\widehat{\text{ITT}_W}\) ((eq দেখুন 2.13) দ্বারা \(\widehat{\text{ITT}_W}\) । মোটামুটিভাবে, যদি প্রকৃতির চিকিত্সাগুলি আপনার চিকিত্সার উপর বড় প্রভাব রাখে না, তাহলে আপনি যা চিকিত্সার যত্ন নিয়েছেন সে সম্পর্কে শেখার একটি কঠিন সময় আছে।

এই আলোচনার একটি আরো আনুষ্ঠানিক সংস্করণ জন্য Imbens and Rubin (2015) অধ্যায় 23 এবং 24 দেখুন বাদ্যযন্ত্র ভেরিয়েবলের ঐতিহ্যগত অর্থনীতির পদ্ধতিটি সাধারণত সমীকরণগুলির অনুমানের ক্ষেত্রে প্রকাশ পায়, সম্ভাব্য ফলাফলগুলি নয়। এই অন্যান্য দৃষ্টিকোণ থেকে একটি ভূমিকা জন্য, Angrist and Pischke (2009) , এবং দুটি পন্থা মধ্যে তুলনা জন্য, অধ্যায় 24.6 Imbens and Rubin (2015) । একটি বিকল্প, উপকরণ ভেরিয়েবল পদ্ধতির সামান্য কম আনুষ্ঠানিক উপস্থাপনা Gerber and Green (2012) এর অধ্যায় 6 দেওয়া হয়। বর্জনের সীমাবদ্ধতার উপর আরও দেখুন, D. Jones (2015) । Aronow and Carnegie (2013) একটি অতিরিক্ত অনুমানের সেট বর্ণনা করে যা CACE এর পরিবর্তে ATE এর অনুমান করতে ব্যবহার করা যায়। কিভাবে প্রাকৃতিক পরীক্ষা ব্যাখ্যা করতে খুব কঠিন হতে পারে, Sekhon and Titiunik (2012) । প্রাকৃতিক পরীক্ষার জন্য আরও সাধারণ প্রবর্তনের জন্য- এক যে কেবল ভৌত ভেরিয়েবলের প্রেক্ষাপটে প্রবর্তিত হয় যেমন রেগ্রেনিয়ন ডিসঅন্টুইউটি-ডিজাইন সহ ডিজাইন অন্তর্ভুক্ত - Dunning (2012) ।